1、1第 2课时 基本不等式的应用课后篇巩固探究A组1.函数 f(x)=x+-1的值域是( )A.(- ,-35, + )B.3,+ )C.(- ,-53, + )D.(- ,-44, + )解析 当 x0时, x+-12 -1=3,当且仅当 x=2时,取等号 ;当 x2)在 x=a处取最小值,则 a=( )1-2A.1+ B.1+2 3C.3 D.4解析 f(x)=x+ =x-2+ +2.1-2 1-2x 2,x- 20.f (x)=x-2+ +22 +2=4,1-2 (-2) 1-2当且仅当 x-2= ,1-2即 x=3时,等号成立 .又 f(x)在 x=a处取最小值,a= 3.答案 C3.周
2、长为 4+2 的直角三角形的面积的最大值是( )2A.2 B.1 C.4 D. 2解析 设两条直角边长分别为 a,b,则斜边长为 ,于是依题意有 a+b+ =4+2 .2+2 2+2 2由基本不等式知 a+b+ =4+2 2 ,即 2,所以 ab4,当且仅当2+2 2 +2 a=b=2时,取等号 .故三角形的面积 S=ab2 .答案 A4.若 x,y0,且 xy-(x+y)=1,则有( )A.x+y2( +1)2B.xy +12C.x+y( +1)22D.xy2( +1)22解析 由 xy-(x+y)=1,得 xy=1+(x+y) ,即( x+y)2-4(x+y)-40 .因为 x0,y0,所
3、以(+2 )2解得 x+y2 +2 =2( +1),当且仅当 x=y时,取等号 .2 2答案 A5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架,在下面四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 mC.7 m D.7.2 m解析 设两条直角边长分别为 a m,b m,直角三角形框架的周长为 l m,则斜边长为 m, 2+2ab=2,即 ab=4.所以 l=a+b+ 2 =4+2 6 .828,当且仅当 a=b=2时,取等2+2 +2 2号 .由于要求够用且浪费最少,故选 C.答案 C6.若正数 x,y满足 x+4y=4,则 xy的最
4、大值为 . 解析 由基本不等式可得 x+4y2 =4 ,于是 4 4, xy1,当且仅当 x=4y时,取等号 .故4 xy的最大值为 1.答案 17.要建造一个容积为 18 m3,深为 2 m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为 200元和 150元,那么水池的最低造价为 元 . 解析 设水池底的长为 x m,宽为 y m,则有 2xy=18,即 xy=9.这时水池的造价 p=200xy+1502(2x+2y),即 p=1 800+600(x+y),于是 p1 800 +6002 =1 800+6002 =5 400,当且仅当 x=y=3时,等号成立 . 9故水池的最低造价为
5、5 400元 .答案 5 4008.已知不等式 k 对所有正数 x,y都成立,则 k的最小值是 . + +解析 因为 x0,y0,所以 x+y2 2(x+y)( )2 ,即 + 2(+)+,要使 k 对所有正数 x,y都成立,即 k ,故 k ,即+2 + + (+) 2k的最小值为 .2答案 29.求函数 y= (x1)的最大值 .22+7-12+3解 函数 y= =2+ .22+7-12+3 =22+6+-12+3 -1(+3)令 x-1=t(t0),则 x=1+t.所以 y=2+ =2+ 2 + =2+ ,(+1)(+4) 1+4+515+24 19=1993当且仅当 t=2,即 x=3
6、时,函数取得最大值 .19910. 导学号 04994089为了夏季降温和减少能源消耗,某体育馆外墙需要建造可使用 30年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造成本为 2万元,设每年的能源消耗费用为C(单位:万元),隔热层的厚度为 x(单位:cm),二者满足函数关系式: C(x)= (0 x15, k为常数) .已知隔热层的厚度为 10 cm时,每年的能源消耗费用是 1万元 .设+5f(x)为隔热层建造费用与 30年的能源消耗费用之和 .(1)求 k的值及 f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求出最小值 .解 (1) 当 x=10时, C(x)=1,k= 15,即
7、C(x)= ,15+5f (x)=30 +2x= +2x(0 x15) .15+5 450+5(2)f (x)= +2x= +2(x+5)-102 -10=50,450+5 450+5 450+52(+5)当且仅当 =2(x+5),即 x=10时,取等号 .450+5故当隔热层修建 10 cm厚时,总费用达到最小值 50万元 .B组1.若 a0,y0,x+2y+2xy=8,则 x+2y的最小值是 ( )A.3 B.4 C. D.112解析 由于 x0,y0,所以 2xy=x2y ,当且仅当 x=2y=2时,取等号 .因为 2xy=8-(+22 )2(x+2y),于是有 8-(x+2y) .令
8、x+2y=t,则 t2+4t-320,解得 t4 或 t -8(舍去),(+22 )2因此 x+2y4,即 x+2y的最小值是 4,故选 B.答案 B43.已知函数 y=loga(x+3)-1(a0,且 a1)的图象恒过定点 A,若点 A在直线 mx+ny+2=0上,其中 m0,n0,则 的最小值为( )2+1A.2 B.4 C. D.252解析 当 x=-2时, y=loga1-1=-1, 函数 y=loga(x+3)-1(a0,且 a1)的图象恒过定点 A(-2,-1). 点 A在直线 mx+ny+2=0上, - 2m-n+2=0,即 2m+n=2.m 0,n0, (2m+n)2+1=12
9、(当且仅当 时,等号成立 ).(2+1)=12(5+2+2)92 2=2答案 D4.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽 2 dm,左右空白各宽 1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2. 解析 设阴影部分的长为 x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是 y dm2.由题意,得72y=(x+4) -72=8+2 8 +22 =56.(72+2) (+144) 144当且仅当 x= ,即 x=12时, 等号成立 .144答案 565.若 2x+2y=1,则 x+y的取值范围是 . 解析 2x+2y=12 , 2 x+y,即 2x+
10、y2 -2.x+y -2,当且仅当 x=y=-1时,取等号 .故2+ (12)2x+y的取值范围是( - ,-2.答案 (- ,-26.若 x1时,不等式 m2+1恒成立,则实数 m的取值范围是 . 2+3-1解析 由于 =(x-1)+ +22 +2=6,当且仅当 x=32+3-1=(-1)2+2(-1)+4-1 4-1 4时,取等号 .所以要使不等式恒成立,应有 m2+10,0,3=+1.(1)因为 x0,y0,所以 3xy=x+y+12 +1,所以 3xy-2 -10,即 3( )2-2 -10 . 所以(3 +1)( -1)0 . 所以 1,所以 xy1 .当且仅当 x=y=1时,等号成立 .所以 xy的最小值为 1.(2)因为 x0,y0,所以 x+y+1=3xy3 ,(+2 )2所以 3(x+y)2-4(x+y)-40,所以3( x+y)+2(x+y)-20 .所以 x+y2 .当且仅当 x=y=1时,取等号 .所以 x+y的最小值为 2.
