1、1知识点 29 等腰三角形与等边三角形一、选择题1. （2018 四川绵阳， 11，3 分） 如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB 的顶点A 在ECD 的斜边 DE 上，若 AE= 2，AD= 6，则两个三角形重叠部分的面积为A. 2 B. 23 C. 13 D. 3【答案】D【解析】解：过 A 点作 AFCE 于点 F，设 AB 与 CD 的交点为 M，过 M 点作 MNAC 于点 N，如图所示.ECD 为等腰直角三角形，E=45.AE= 2，AD= 6，AF=EF=1,CE=CD= DE= 31，CF= 3,AC= 2CFA=2，ACF=30ACD=6
2、0.设 MN=x，ABC 为等腰直角三角形，CAB=45，2AN=MN =x，CN= 3MN= x，AC=AN+CN= x+ x=2，解得 x=3- 3，S ACM = 21ACMN=3- .故选 D.【知识点】等腰直角三角形的性质，含 30角的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算2. （2018 山东临沂，11，3 分）如图， ACB90， AC BC， AD CE， BE CE，垂足分别是点D， E.AD3， BE1.则 DE 的长是( ) EDCBA第 11 题图A 32 B2 C.2 D 103【答案】 B【解析】 AD CE， BE CE， ADC= CEB=90， DAC DC
3、A=90， ACB90， ECB DCA=90， DCA= ECB， AC=CB， ACDCBE， AD=CE=3， CD=BE=1， DE=CE CD=31=2，故选 B.【知识点】等腰直角三角形 全等三角形的判定和性质3. （2018 山东省淄博市，11，4 分）如图，在 Rt ABC 中， CM 平分 ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN BC 交 AC于点 N，且 MN 平分 AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（A）4 （B） 6 （C）4 3 （D）8图1图NMB CA【答案】B【思路分析】由已知 MN BC 和 CM 平分 ACB 可证 MN=NC， ANM= ACB
4、， NMC= MCB，再由 MN 平分 AMC 可得 ANM= ACB，从而得到 ANM=2 AMN，可得 AMN=30，再利用直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 MN，进而得到 NC，求得 AC，从而求出 BC.【解题过程】 MN BC， ANM= ACB， NMC= MCB， CM 平分 ACB， MCB= MCN= 12 ACB， NMC= NCM， MN=NC， MN 平分 AMC， AMN= NMC= AMC， AMN= 12 ACB= ANM， A=90， AMN=30， AN=1， MN=2， NC=2， AC=3， B= AMN=30， BC=2AC=6，故选
5、B.【知识点】平行线的性质；等腰三角形判定；解直角三角形4. （2018 浙江湖州，5 ，3）如图， AD， CE 分别是 ABC 的中线和角平分线若 AB AC， CAD20，则 ACE 的度数是（ ）4A20 B35 C40 D70【答案】B【解析】 AB AC， AD 是 ABC 的中线， AD BC CAD20， ACD70 CE 是 ABC 的平分线， ACE35故选 B.【知识点】等腰三角形，角平分线，中线1. （2018 福建 A 卷，5，4）如图，等边三角形 ABC 中，ADBC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，EBC=45，则ACE 等于( )A15 B.30 C. 4
6、5 D. 60【答案】A【解析】解：ABC 是等边三角形， ABC=ACB=60，ADBC，BD=CD，AD 是 BC 的垂直平分线，BE=CE， EBC=ECB=45，ECA=-60-45=15.【知识点】等边三角形性质，三线合一2. （2018 福建 B 卷，5，4）如图，等边三角形 ABC 中，ADBC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，EBC=45，则ACE 等于( )A15 B.30 C. 45 D. 60【答案】A【解析】解：ABC 是等边三角形， ABC=ACB=60，ADBC，BD=CD，AD 是 BC 的垂直平分线，5BE=CE， EBC=ECB=45，ECA=-60-4
7、5=15.【知识点】等边三角形性质，三线合一3. （2018 四川雅安，10 题，3 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC，C=72，BC= 5，以点 B 为圆心，BC为半径画弧，交 AC 与点 D，则线段 AD 的长为第 10 题图A.2 B. 3 C. 5 D. 6【答案】C【解析】在ABC 中，AB=AC，C=72，所以B=72，A=36，因为 BC=BD，所以BDC=72，所以ABD=36，所以 AD=BD=BC= 5，故选 C【知识点】等腰三角形4. （2018 四川凉山州，4， 4 分）如图，在 ABC 中，按以下步骤作图：分别以 A、 B 为圆心，大于 12AB长为半径作弧，
8、两弧相交于 M、 N 两点；作直线 MN 交 BC 于 D，连结 AD若 AD AC， B25，则 C=（ ）A.70 B.60 C.50 D.406【答案】C【解析】由作图可知 MN 为线段 AB 的垂直平分线， AD BD， DAB= B25, CDA 为 ABD 的一个外角， CDA= DAB+ B50. AD AC， C= CDA=50.故选择 C.【知识点】尺规作图线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质.5. （2018 广西玉林，9 题，3 分）如图，AOB=60，OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB 方向移动，以 AC为边在右侧作
9、等边ACD，连接 BD，则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直第 9 题图【答案】A【解析】由已知得AOB 为等边三角形所以O=OAB=60易证AOCABD，得ABD=60所以OAB=ABD，所以 BDOA故选 A.【知识点】等边三角形的判定；全等三角形的判定；平行线的判定二、填空题1. （2018 四川省成都市，11，4）等腰三角形的一个底角为 50 ，则它的顶角的度数为 【答案】80【解析】解：等腰三角形的一个底角为 50 ，且两个底角相等，顶角为 18025080【知识点】等腰三角形性质，三角形的内角和71. （2018 贵州遵
10、义，14 题，4 分）如图，ABC 中，点 D 在 BC 边上，BD=AD=AC，E 为 CD 的中点，若CAE=16，则B 为_度第 14 题图【答案】37【解析】因为 AD=AC，E 为 CD 的中点，所以DAC=2CAE=32，所以ADC= 12(180-DAC)=74，因为BD=AD，所以B= 12ADC=37【知识点】等腰三角形三线合一，外角2. （2018 湖南省湘潭市，12，3 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则BAD_.【答案】30【解析】ABC 是等边三角形，BAC=60，AB=AC，D 是 BC 中点，AD 平分BAC，BAD=30.【知识点
11、】等边三角形的性质；等腰三角形的性质3. （2018 江苏淮安，13，3） 若一个等腰三角形的顶角等于 50，则它的底角等于 .【答案】65【解析】分析：本题考查等腰三角形性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质可得结果.8解：由题意得，等腰三角形的底角（180-顶角）2（180-50）265.故答案为 65【知识点】等腰三角形；等腰三角形性质；三角形内角和定理4. （2018 湖南张家界， 12，3 分）如图，将 ABC绕点 A 逆时针旋转 150，得到 ADE，这时点DCB、恰好在同一直线上，则 的度数为_【答案】15【解析】解： ABC绕点 A 逆时针旋转 150，得到 ADE，BAD
12、=150， . AB=AD.BAD 是等腰三角形. B=ADB= -2B（ 8 ） =15.【知识点】旋转的性质，等腰三角形的性质.三、解答题1. （2018 浙江绍兴，22，12 分）数学课上，张老师举了下面的例题：例 1 等腰三角形 ABC中， 10，求 B的度数.（答案： 35）例 2 等腰三角形 中， 4，求 的度数.（答案： 40或 7或 1）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形 ABC中， 80，求 B的度数.（1）请你解答以上的变式题.（2）解（1）后，小敏发现， 的度数不同，得到 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形 ABC中，设 Ax，当 B有三个
13、不同的度数时，请你探索 x的取值范围 .【思路分析】 （1）可分当 A为顶角、当 为底角两种情况讨论，当 A为顶角时， 只能为底角；当为底角时， 既可以为顶角，也可以为底角所以 B的度数有三种情况。9（2）分两种情况：当 9018x时， A只能为顶角， B的度数只有一个；当 09x时， A既可以是顶角，也可以是底角，当 是底角时， 既可以为底角，也可以为顶角，也就是 B有三个不同的度数，但是当 A=60时， B只能等于 60，所以当 有三个不同的度数时， 的取值范围是 0且60x。【解题过程】22.解：（1）当 A为顶角，则 50B，当 A为底角，若 B为顶角，则 2，若 为底角，则 80，
14、50或 2或 .（2）分两种情况：当 9018x时， A只能为顶角， B的度数只有一个.当 09x时，若 A为顶角，则 1802x，若 为底角，则 B或 ()，当 1802x且 180x且 1802x，即 60时，B有三个不同的度数.综上，当 09x且 60， B有三个不同的度数 .【知识点】等腰三角形的性质2. （2018 宁波市，23 题，10 分） 如图,在ABC 中,ACB=90,AC=BC,D 是 AB 边上一点(点 D 与 A，B 不重合,连结 CD,将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到线段 CE,连结 DE 交 BC 于点 F 连接 BE.10（1）求证:ACDBC
15、E;（2）当 AD=BF 时,求BEF 的度数.FECA BD【思路分析】【解题过程】解：（1）线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到线段 CE， DCE=90,CD=CE，又ACB=90，ACB=DCEACD=BCE在ACD 和BCE 中 =ACD=BCE=ACDBCE(SAS)（2） ACB=90,AC=BC,A=45ACDBCE,AD=BE,CBE=A=45又:AD=BFBEF=BFE= =67.5180-452【知识点】全等三角形的判定、等腰三角形的性质 1. （2018 武汉市，18，8 分）如图，点 E、 F 在 BC 上，BE CF， AB DC， B C， AF 与 DE 交于点 G，求证： GE GF.11【思路分析】如图，由已知条件证得 ABF DCE，得12，再根据等腰三角形的判定定理得 GE GF.【解题过程】 BE=CF， BE+EF=CF+EF， BF=CE，在 ABF 和 DCE 中ABDCFE， ABF DCE（ SASA） ，12， GE GF. GDCFEBA21第 18 题答图【知识点】全等三角形的判定 全等三角形的性质 等腰三角形的判定
