1、- 1 -第 1 课时 分类计数原理与分步计数原理学习目标 1.理解分类计数原理与分步计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题知识点一 分类计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有 7 个航班，6 列火车思考 1 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？思考 2 这几类方案中各有几种方法？思考 3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？梳理 (1)完成一件事有两类不同的方式，在第 1 类方式中有 m 种不同的方法，在第 2 类方式中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N_种不同的方法(2)完成一件事有 n 类不同的方
2、式，在第 1 类方式中有 m1种不同的方法，在第 2 类方式中有m2种不同的方法，在第 n 类方式中有 mn种不同的方法，则完成这件事共有N_种不同的方法知识点二 分步计数原理若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有 7 个航班，从青岛到天津每天有 6 列火车思考 1 该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？思考 2 完成每一个步骤各有几种方法？- 2 -思考 3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？梳理 (1)完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N_种不同的方法(2)完
3、成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法，则完成这件事共有 N_种不同的方法类型一 分类计数原理例 1 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有 29 人，A 型血的共有 7 人，B 型血的共有 9 人，AB 型血的共有 3 人，从中任选 1 人去献血，共有多少种不同的选法？反思与感悟 (1)应用分类计数原理时，完成这件事的 n 类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事(2)利用分类计数原理解题的一般思路- 3 -跟踪训练 1 若 x， yN *，且 x y5，则有序自然
4、数对( x， y)共有_个类型二 分步计数原理引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？例 2 一种号码锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有从 0 到 9 共十个数字，这 4 个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)反思与感悟 (1)应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可(2)利用分步计数原理解题的一般思路分步：将完成这件事的过程分成若干步计数：求出每一步中的方法数- 4 -结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果跟踪训练 2 从2，1,0,1,2,3 这六个数字中任选 3 个不重
5、复的数字作为二次函数y ax2 bx c 的系数 a， b， c，则可以组成抛物线的条数为_类型三 两个原理的综合应用例 3 现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？反思与感悟 分类讨论解决问题，必须思维清晰，保证分类标准的唯一性，这样才能保证分类不重复，不遗漏，运用两个原理解答时是先分类后分步还是先分步后分类，应视具体问题而定跟踪训练 3 某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中
6、7 人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？- 5 -1某学生在书店发现 3 本好书，决定至少买其中的 1 本，则购买方法有_种2现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为_3把 5 本书全部借给 3 名学生，有_种不同的借法45 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员现从中选出 3 名队员参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员的选法有_种(用数字作答)5某校高中三年级一班有优秀团员 8 人，二班有优秀团员 10 人，三班有优秀团员 6 人，学校组织他们去参观
7、某爱国主义教育基地(1)推选 1 人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选 1 人为小组长，有多少种不同的选法？(3)从他们中选出 2 个人管理生活，要求这 2 个人不同班，有多少种不同的选法？1使用两个原理解题的本质 分 类 将 问 题 分 成 互 相 排 斥 的 几 类 ， 逐 类 解 决 分 类 计 数 原 理 分 步 把 问 题 分 化 为 几 个 互 相 关 联 的 步 骤 ， 逐 步 解 决 分 步 计 数 原 理2利用两个计数原理解决实际问题的常用方法- 6 -列 举 法 种 数 较 少 将 各 种 情 况 一 一 列 举间 接 法 正 面 复 杂 用 总 数 减 去 不
8、满 足 条 件 的 种 数- 7 -答案精析问题导学知识点一思考 1 两类，即乘飞机、坐火车思考 2 第 1 类方案(乘飞机)有 7 种方法，第 2 类方案(坐火车)有 6 种方法思考 3 共有 7613(种)不同的方法梳理 (1) m n (2) m1 m2 mn知识点二思考 1 两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津思考 2 第 1 个步骤有 7 种方法，第 2 个步骤有 6 种方法思考 3 共有 7642(种)不同的方法梳理 (1) mn (2) m1m2mn题型探究例 1 解 从中选 1 人去献血的方法共有 4 类第一类：从 O 型血的人中选 1 人去献血，共有 29 种不同的方法；第
9、二类：从 A 型血的人中选 1 人去献血，共有 7 种不同的方法；第三类：从 B 型血的人中选 1 人去献血，共有 9 种不同的方法；第四类：从 AB 型血的人中选 1 人去献血，共有 3 种不同的方法利用分类计数原理，可得选 1 人去献血共有 2979348(种)不同的选法跟踪训练 1 10解析 当 x1 时， y1,2,3,4，共构成 4 个有序自然数对；当 x2 时， y1,2,3，共构成 3 个有序自然数对；当 x3 时， y1,2，共构成 2 个有序自然数对；当 x4 时， y1，共构成 1 个有序自然数对根据分类计数原理，共有 N432110(个)有序自然数对例 2 解 按从左到右
10、的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有 10 种拨号方式，所以 m110；第二步，有 10 种拨号方式，所以 m210；第三步，有 10 种拨号方式，所以 m310；第四步，有 10 种拨号方式，所以 m410.根据分步计数原理，共可以组成 N1010101010 000(个)四位数的号码引申探究- 8 -解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有 10 种拨号方式，即 m110；第二步，去掉第一步拨的数字，有 9 种拨号方式，即 m29；第三步，去掉前两步拨的数字，有 8 种拨号方式，即 m38；第四步，去掉前三步拨的数字，有 7 种拨号方式，即 m47.根据分步计数原理，共可以组成
11、N109875 040(个)四位数的号码跟踪训练 2 100解析 由题意知， a 不能为 0，故 a 的值有 5 种选法；b 的值也有 5 种选法；c 的值有 4 种选法由分步计数原理，得抛物线的条数为 554100.例 3 解 (1)分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法根据分类计数原理，共有 52714(种)不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种、2 种、7 种不同的选法，根据分步计数原理，共有 52770(种)不同的选法(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有 52
12、10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5735(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2714(种)不同的选法所以共有 10351459(种)不同的选法跟踪训练 3 解 由题意知，有 1 人既会英语又会日语，6 人只会英语，2 人只会日语方法一 分两类第一类：从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，有 6 种选法，则说日语的有 213(种)选法，此时共有 6318(种)选法；第二类：从不只会英语的 1 人中选 1 人说英语，有 1 种选法，则选会日语的有 2 种选法，此时有 122(种)选法所以由分类计数原理知，共有 18220(种)选法方法二 设
13、既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语第一类：甲入选(1)甲教英语，再从只会日语的 2 人中选 1 人，由分步计数原理，有 122(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的 6 人中选 1 人，由分步计数原理，有 166(种)选法，- 9 -故甲入选的不同选法共有 268(种)第二类：甲不入选，可分两步第一步，从只会英语的 6 人中选 1 人有 6 种选法；第二步，从只会日语的 2 人中选 1 人有 2 种选法由分步计数原理，有 6212(种)不同的选法综上，共有 81220(种)不同的选法当堂训练17 2.12 3.243 4.95
14、解 (1)分三类，第一类是从一班的 8 名优秀团员中产生，有 8 种不同的选法；第二类是从二班的 10 名优秀团员中产生，有 10 种不同的选法；第三类是从三班的 6 名优秀团员中产生，有 6 种不同的选法由分类计数原理可得，共有 N810624(种)不同的选法(2)分三步，第一步从一班的 8 名优秀团员中选 1 名小组长，有 8 种不同的选法，第二步从二班的 10 名优秀团员中选 1 名小组长，有 10 种不同的选法第三步是从三班的 6 名优秀团员中选 1 名小组长，有 6 种不同的选法由分步计数原理可得，共有 N8106480(种)不同的选法(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选 1 人，有 810 种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选 1 人，有 106 种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选 1 人，有 86 种不同的选法因此，共有N81010686188(种)不同的选法
