1、- 1 -第 56讲 圆的方程1圆心在直线 2x y70 上的圆 C与 y轴交于两点 A(0，4)， B(0，2)，则圆 C的方程是(A)A( x2) 2( y3) 25 B( x2) 2( y3) 25C( x2) 2( y3) 25 D( x2) 2( y3) 25线段 AB的垂直平分线为 y3，由Error!解得Error!所以圆 C的方程是( x2) 2( y3) 25.2点 P(4，2)与圆 x2 y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)A( x2) 2( y1) 21 B( x2) 2( y1) 24C( x4) 2( y2) 24 D( x2) 2( y1) 21设圆上任一点
2、为 A(x1， y1)，则 x y 4， PA连线中点的坐标为( x， y)，21 21则Error!即Error!代入 x y 4，得( x2) 2( y1) 21.21 213圆( x1) 2 y22 关于直线 x y10 对称的圆的方程是(C)A( x1) 2( y2) 2 B( x1) 2( y2) 212 12C( x1) 2( y2) 22 D( x1) 2( y2) 22圆心 (1,0)关于直线 x y10 的对称点是(1,2)，所以圆的方程是( x1) 2( y2) 22.4(2017湖南长沙二模)圆 x2 y22 x2 y10 上的点到直线 x y2 距离的最大值是(A)A1
3、 B22C1 D2222 2将圆的方程化为( x1) 2( y1) 21，圆心为(1,1)，半径为 1.则圆心到直线 x y2 的距离 d ，|1 1 2|2 2故圆上的点到直线 x y2 的最大值为 d1 1.25(2016浙江卷)已知 aR，方程 a2x2( a2) y24 x8 y5 a0 表示圆，则圆心坐标是 (2，4) ，半径是 5 .由二元二次方程表示圆的条件可得 a2 a2，解得 a2 或1.当 a2 时，方程为 4x24 y24 x8 y100，即 x2 y2 x2 y 0，配方得( x )52 122( y1) 2 0， b0)始终平分圆： x2 y24 x2 y80 的周长
4、，则 的最小值为 32 .1a 2b 2由条件知直线过圆心(2,1)，所以 2a2 b20，即 a b1.所以 ( )(a b)3 32 .1a 2b 1a 2b ba 2ab 2当且仅当 ，即 a 1， b2 时，等号成立ba 2ab 2 2- 2 -所以 的最小值为 32 .1a 2b 27(2016广东佛山六校联考)圆 C过不同的三点 P(k,0)， Q(2,0)， R(0,1)，已知圆 C在点 P处的切线斜率为 1，求圆 C的方程设圆 C的方程为 x2 y2 Dx Ey F0.则 k,2为 x2 Dx F0 的两根，所以 k2 D,2k F，即 D( k2)， F2 k，又圆 C过 R
5、(0,1)，故 1 E F0，所以 E2 k1.故所求圆方程为 x2 y2( k2) x(2 k1) y2 k0，圆心坐标为( ， )k 22 2k 12因为圆 C在 P处的切线斜率为 1，所以 kCP1 ，所以 k3.2k 12 k所以 D1， E5， F6.所以圆的方程为 x2 y2 x5 y60.8过点 P(1,1)的直线将圆形区域( x， y)|x2 y24分成两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(A)A x y20 B y10C x y0 D x3 y40当圆心与 P的连线和过点 P的直线垂直时，符合题意因为圆心 O与 P的连线的斜率为 1，所以过点 P垂直于 OP的直
6、线方程为 x y20.9(2017天津卷)设抛物线 y24 x的焦点为 F，准线为 l.已知点 C在 l上，以 C为圆心的圆与 y轴的正半轴相切于点 A.若 FAC120，则圆的方程为 ( x1) 2( y )21 .3由 y24 x可得点 F的坐标为(1,0)，准线 l的方程为 x1.由圆心 C在 l上，且圆 C与 y轴正半轴相切(如图)，可得点 C的横坐标为1，圆的半径为 1， CAO90.又因为 FAC120，所以 OAF30，所以| OA| ，3所以点 C的纵坐标为 .3所以圆的方程为( x1) 2( y )21.310已知点 P(x， y)在圆 C： x2 y26 x6 y140 上
7、(1)求 的最大值和最小值；yx(2)求 x2 y22 x3 的最大值与最小值(1)圆 C： x2 y26 x6 y140 整理得( x3) 2( y3) 24.所以圆心 C(3,3)，半径 r2.- 3 -设 k ，即 kx y0( x0)，yx则圆心到直线的距离 d r，即 2，|3k 3|1 k2整理得 5k218 k50，解得 k .9 2145 9 2145故 的最大值为 ，最小值为 .yx 9 2145 9 2145(2)x2 y22 x3( x1) 2 y22，表示点 P(x， y)到点 A(1,0)的距离的平方加上2，连接 AC，交圆 C于点 B，延长 AC，交圆 C于 D，则圆 C上的点到 A的距离中， AB最短，为| AC| r 23；16 9AD最长，为| AC| r7，故 x2 y22 x3 的最大值为 72251，最小值为 32211.
