1、1第7课时 离散型随机变量及其分布列1下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )答案 C2袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量，则的可能值为( )A1，2，6 B1，2，7C1，2，11 D1，2，3，答案 B解析 除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次故选B.3若某一随机变量X的概率分布如下表，且m2n1.2，则m 的值为( )n2X 0 1 2 3P 0.1 m n 0.1A.0.2 B0.2C0.1 D0.1答案 B解析 由mn0.21，m2n1.2，可得mn0.4，m 0.2
2、.n24已知随机变量X的分布列为P(Xk) ，k1，2，则P(2X4)等于( )12kA. B.316 14C. D.116 516答案 A解析 P(2X4)P(X3)P(X4) .123 124 3165若随机变量X的分布列为X 2 1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是( )A(，2 B1，2C(1，2 D(1，2)2答案 C解析 由随机变量X的分布列知：P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是(1，26袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，
3、3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )A25 B10C7 D6答案 C解析 X的可能取值为123，134，14523，15642，25734，358，459.7甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是_答案 1，0，1，2，3解析 X1，甲抢到一题但答错了；X0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；X1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；X2时，甲
4、抢到2题均答对；X3时，甲抢到3题均答对8已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球设为取出的4个球中红球的个数，则P(2)_答案 310解析 可能取的值为0，1，2，3，P(0) ，C32C42C42C62 15P(1) ，又P(3) ，C31C42 C32C21C41C42C62 715 C31C42C62 130P(2)1P(0)P(1)P(3)1 .15 715 130 3109一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一
5、张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望答案 (1) (2)67 175解析 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A) .C21C53 C22C52C74 67所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为 .673(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X1) ，P(X2) ，C33C74 135 C43C74 435P(X3) ，P(X4) .C53C74 27 C63C74 47则随机变量X的分布列是X 1 2 3 4P 135 4
6、35 27 47故随机变量X的数学期望E(X)1 2 3 4 .135 435 27 47 17510在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列答案 (1) (2)略23解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P .C41C61 C42C102 3045 23(或用间接法，即P1 1 )C62C102 1545 23(2)依题意可知，X的
7、所有可能取值为0，10，20，50，60(元)，且P(X0) ，P(X10) ，P(X20) ，P(X50) ，C40C62C102 13 C31C61C102 25 C32C102 115 C11C61C102 215P(X60) .C11C31C102 115所以X的分布列为：X 0 10 20 50 60P 13 25 115 215 11511.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率答案 (1)略 (2)31120解析 (1)由于从10件产品中任取
8、3件的结果数为C 103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C 3kC734k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(Xk) ，k0，1，2，3.所以随机C3kC73 kC103变量X的分布列是X 0 1 2 3P 724 2140 740 1120(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且AA 1A 2A 3，而P(A1) ，P(A 2)P(X2) ，P(A 3)P(X3) ，
9、C31C32C103 340 740 1120取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)P(A 1)P(A 2)P(A 3) .340 740 1120 3112012(2017大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为 ， ， .12 13 23(1)求该高中获得冠军个数X的概率分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y的概率分布列答案 (1)略 (2)略解析 (1)由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则P(X0)(1 )(1 )(1 ) ，12 13 23 19P(X1) (1 )(1 )(1
10、 ) (1 )(1 )(1 ) ，12 13 23 12 13 23 12 13 23 718P(X2) (1 )(1 ) (1 ) ，P(X3) .12 13 23 12 13 23 12 13 23 718 12 13 23 19X的分布列为X 0 1 2 3P 19 718 718 19(2)得分Y5X2(3X)63X，X的可能取值为0，1，2，3.Y的可能取值6，9，12，15.则P(Y6)P(X0) ，19P(Y9)P(X1) ，P(Y12)P(X2) ，P(Y15)P(X3) .718 718 19Y的分布列为Y 6 9 12 15P 19 718 718 19513.(2018河
11、南豫北名校联盟)中国新歌声是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出每期节目有四位导师参加导师背对歌手，若每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练已知某期中国新歌声，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：导师转身人数(人) 4 3 2 1获得相应导师转身的选手人数(人) 1 2 2 1现从这6位选手中随机抽取2人考查他们演唱完后导师的转身情况(1)求选出的2人导师为其转身的人数和为4的概率；(2)记选出的2人导师为其转身的人数之和为X，求X的分布列及数学期望E
12、(X)答案 (1) (2)E(X)515解析 (1)设6位选手中，A有4位导师为其转身，B，C有3位导师为其转知，D，E有2位导师为其转身，F只有1位导师为其转身从6人中随机抽取两人有C 6215种情况，其中选出的2人导师为其转身的人数和为4的有C 22C 21C113种，所求概率为P .315 15(2)X的所有可能取值为3，4，5，6，7.P(X3) ；P(X4) ；P(X5) ；P(X6) ；P(X7C21C11C62 215 15 1 C21C21C62 515 13 C21C11 C22C62 315 15) .C21C11C62 215X的分布列为X 3 4 5 6 7P 215
13、15 13 15 215E(X)3 4 5 6 7 5.215 15 13 15 2151由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其分布列如下：X 1 2 3 4 5 6P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20则丢失的两个数据x，y依次为_答案 2，5解析 由于0.200.10(0.1x0.05)0.10(0.10.01y)0.201，得10xy25，又因为x，y为正整数，故两个数据依次为2，5.2一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是_6答案 Y 1 2 3 4P
14、15 15 25 15解析 Y的所有可能值为1，2，3，4.P(Y1) ，P(Y2) ，15 15P(Y3) ，P(Y4) .25 15Y的分布列为Y 1 2 3 4P 15 15 25 153.一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为2，4，6，从袋中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同)(1)求取出小球中有相同编号的概率；(2)记取出的小球的最大编号为X，求随机变量X的分布列答案 (1) (2)略1935解析 (1)设“取出的小球中有相同编号的”为事件A，编号相同可分成一个相同和两个相同，则P(A) .2（ C21C31 C32） 1C74
15、 1935(2)随机变量X的可能取值为：3，4，6.P(X3) ，P(X4) ，1C74 135 C21C43 C42C74 25P(X6) ，C63C74 47随机变量X的分布列为：X 3 4 6P 135 25 474.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 .79(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列答案 (1)5个 (2)略解析 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)1 ，得到x5.故白球有5个C10 x2C102 79(2)X服从超几
16、何分布，7P(Xk) ，k0，1，2，3.C5kC53 kC103于是可得其分布列为X 0 1 2 3P 112 512 512 1125.(2015福建，理)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望答案 (1) (2)分布列略，E(X)12 52解析 (1)设“当
17、天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A) .56 45 34 12(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.又P(X1) ，P(X2) ，P(X3) 1 .16 56 15 16 56 45 23所以X的分布列为X 1 2 3P 16 16 23所以E(X)1 2 3 .16 16 23 526某中学动员学生在春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”)该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；(3)从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对
18、值，求随机变量的分布列答案 (1)2.3 (2) (3)略4199解析 根据统计图知参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10，50，40.8(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为 2.3.x 110 250 340100(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率P .C102 C502 C402C1002 4199(3)的取值为0，1，2，的分布列为 0 1 2P 4199 5099 8997.(2013重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球根据摸出4个
19、球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额一等奖 3红1蓝 200元二等奖 3红0蓝 50元三等奖 2红1蓝 10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列答案 (1) (2)略1835解析 设A i表示摸到i个红球，B j表示摸到j个蓝球，则A i(i0，1，2，3)与B j(j0，1)独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A 1) .C31C42C73 1835(2)X的所有可能的值为：0，10，50，200，则P(X200)P(A 3B1)P(A 3)P(B1) ，C3
20、3C73 13 1105P(X50)P(A 3B0)P(A 3)P(B0) ，C33C73 23 2105P(X10)P(A 2B1)P(A 2)P(B1) ，C32C41C73 13 12105 435P(X0)1 .1105 2105 435 67综上知X的分布列为X 0 10 50 200P 67 435 2105 11058.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件) 0 1 2 3频数 1 5 9 59试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货将频率视为概率(
21、1)求当天商店不进货的概率；(2)设X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和均值答案 (1) (2)310 114解析 (1)P(“当天商店不进货”)P(“当天商品销售量为0件”)P(“当天商品销售量为1件”) .120 520 310(2)由题意知，X的可能取值为2，3.P(X2)P(“当天商品销售量为1件”) ；520 14P(X3)P(“当天商品销售量为0件”)P(“当天商品销售量为2件”)P(“当天商品销售量为3件”)120 .920 520 34故X的分布列为X 2 3P 14 34X的均值为E(X)2 3 .14 34 1149设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任
22、取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列，并求其数学期望E()解析 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 32对相交棱，因此P(0) .8C32C122 8366 411(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或 ，其中距离为 的共有6对，故P( ) .2 2 26C122 111于是P(1)1P(0)P( )1 .2411 111 611所以随机变量的分布列是 0 1 2P() 411 611 111因此E()1 .611 2 111 6 2111010(
23、2018贵州遵义联考)2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量(单位：毫克)下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81(1)求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x，y满足x175，且y75，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望)答案 (1)35 (2)14 (3)45解析 (1)乙厂生产的产品总数为5 35.1498(2)样品中优等品的频率为 ，估计乙厂生产的优等品的数量为35 14.25 25(3)0，1，2，P(i) (i0，1，2)，C2iC32 iC52的分布列为 0 1 2P 310 35 110均值E()0 1 2 .310 35 110 45
