1、1第9课时 抛物线（一）1抛物线x 2 y的焦点到准线的距离是( )12A2 B1C. D.12 14答案 D解析 抛物线标准方程x 22py(p0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ，故选D.142过点P(2，3)的抛物线的标准方程是( )Ay 2 x或x 2 y By 2 x或x 2 y92 43 92 43Cy 2 x或x 2 y Dy 2 x或x 2 y92 43 92 43答案 A解析 设抛物线的标准方程为y 2kx或x 2my，代入点P(2，3)，解得k ，m ，y 2 x或x 2 y，选A.92 43 92 433若抛物线yax 2的焦点坐标是(0，1)，则a(
2、)A1 B.12C2 D.14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为x 2 y，所以其焦点坐标为(0， )，则有 1，a ，故选D.1a 14a 14a 144若抛物线y 22px上一点P(2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )Ay 24x By 26xCy 28x Dy 210x答案 C解析 抛物线y 22px，准线为x .p2点P(2，y 0)到其准线的距离为4，| 2|4.p2p4，抛物线的标准方程为y 28x.5已知点A(2，3)在抛物线C：y 22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A B143C D34 122答案 C解析 因为点A在抛物线的准线
3、上，所以 2，所以该抛物线的焦点F(2，0)，所以k AF .p2 3 0 2 2 346(2018衡水中学调研卷)若抛物线y 22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )Ay 24x By 236xCy 24x或y 236x Dy 28x或y 232x答案 C解析 因为抛物线y 22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x 0，6)因为P到抛物线的焦点F( ，0)的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0 10 .因为P在抛物线上，所以362px 0 p2 p2.由解得p2，x 09或p18，x 01，则抛物线的方程为
4、y 24x或y 236x.7(2016课标全国)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2 ，则C的焦点到准线的距离为( )2 5A2 B4C6 D8答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为y 22px(p0)，由|AB|4 ，|DE|2 ，可取A( ，2 )，D( ，2 54p 2 p2)，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得 8 5，得p4，所以选B.516p2 p248(2018吉林长春调研测试)已知直线l 1：4x3y60和直线l 2：x1，抛物线y 24x上一动点P到直线l1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A. B23 55C.
5、 D3115答案 B解析 由题可知l 2：x1是抛物线y 24x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l 2的距离等于|PF|，则动点P到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l 1：4x3y60的距离，所以最小值是2，故选B.|4 0 6|59点A是抛物线C 1：y 22px(p0)与双曲线C 2： 1(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C 1x2a2 y2b2的准线的距离为p，则双曲线C 2的离心率等于( )A. B.2 3C. D.5 63答案 C解析 求抛物线C 1：y 22px(p0)与双曲线C 2： 1(a0，b0)的一条渐近线的交点为 解得
6、x2a2 y2b2 y2 2px，y bax， )所以 ，c 25a 2，e ，故选C.x 2pa2b2，y 2pab， ) 2pa2b2 p2 510(2013课标全国，理)设抛物线C：y 22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )Ay 24x或y 28x By 22x或y 28xCy 24x或y 216x Dy 22x或y 216x答案 C解析 方法一：设点M的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF|x 0 5，则x 05 .p2 p2又点F的坐标为( ，0)，所以以MF为直径的圆的方程为(xx 0)(x )(yy
7、0)y0.p2 p2将x0，y2代入得px 084y 00，即 4y 080，所以y 04.y022由y 022px 0，得162p(5 )，解之得p2或p8.p2所以C的方程为y 24x或y 216x.故选C.方法二：由已知得抛物线的焦点F( ，0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则 ( ，2)， (p2 AF p2 AM y022p，y 02)由已知得， 0，即y 028y 0160，因而y 04，M( ，4)AF AM 8p由抛物线定义可知：|MF| 5.8p p2又p0，解得p2或p8，故选C.11(2018合肥质检)已知抛物线y 22px(p0)上一点M到焦点F的
8、距离等于2p，则直线MF的斜率为( )A B13C D34 33答案 A解析 设M(x M，y M)，由抛物线定义可得|MF|x M 2p，解得x M ，代入抛物线方程可得y M p，则直线MFp2 3p2 3的斜率为 ，选项A正确yMxM p2 3pp 3412(2018太原一模)已知抛物线y 22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足 FA FB FC 0，则 ( )1kAB 1kBC 1kCAA0 B1C2 D2p答案 A解析 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，F( ，0)，则(x 1 ，y 1)(x 2 ，y 2)(x 3 ，y 3
9、)(0，0)，故y 1p2 p2 p2 p2y 2y 30. ，同理可知 ， ， 1kAB x2 x1y2 y1 12p（ y22 y12）y2 y1 y2 y12p 1kBC y3 y22p 1kCA y3 y12p 1kAB 1kBC 0.1kCA 2（ y1 y2 y3）2p13(2018河南新乡第一次调研)经过抛物线y 28x的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为_答案 3解析 圆心是x1与抛物线的交点r123.14(2018福建闽侯三中期中)已知抛物线x 24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当AFO30(O为坐标原点)时，|PF|_答案 43解析 设l与
10、y轴的交点为B，在RtABF中，AFB30，|BF|2，所以|AB| .设P(x 0，y 0)，则x 02 33，代入x 24y中，得y 0 ，从而|PF|PA|y 01 .2 33 13 4315已知定点Q(2，1)，F为抛物线y 24x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|PF|取最小值时，P的坐标为_答案 ( ，1)14解析 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF|取得最小值，即D，P，Q三点共线时|PQ|PF|最小将Q(2，1)的纵坐标代入y 24x得x ，故P的坐标为( ，1)14 1416.右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面
11、2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米答案 2 6解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 22py(p0)，由点(2，2)在抛物线上，可得p1，则抛物线方程为x 22y.5当y3时，x ，6所以水面宽为2 米617抛物线y 22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y2x，斜边长为5 ，求此抛物线方程13答案 y 24x解析 设抛物线y 22px(p0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y2x，另一直角边所在直线方程为y x.12解方程组 可得点A的坐标为 ；y 2x，y2 2px， ) (p2， p)解方程组 可得点B的
12、坐标为(8p，4p)y 12x，y2 2px， )|OA| 2|OB| 2|AB| 2，且|AB|5 ，13 (64p 216p 2)325.(p24 p2)p2，所求的抛物线方程为y 24x.18(2018上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OCAB于C，AB3米，OC4.5米(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD
13、，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0.01)6答案 (1) (2)9.5914解析 (1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为y轴，建系B(1.5，4.5)设抛物线方程为x 22py.点B(1.5，4.5)在抛物线上p .焦点到准线距离为 .14 14(2)如图，C为DE中点，OCSD，O为SE中点SCDE，OC4.5，SE2OC9.DEAB3，CE1.5.sinCSE 0.167.CESE 1.59SCE9.59.圆锥的母线与轴的夹角约为9.59.1抛物线y4x 2关于直线xy0对称的抛物线的准线方程是( )Ay1 By116Cx1 Dx116答案 D解析 抛
14、物线x 2 y的准线方程为y ，关于xy对称的准线方程x 为所求14 116 1162已知点P是抛物线y 22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3172C. D.592答案 A7解析 抛物线y 22x的焦点为F( ，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此12要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于 ，选A.（ 12）
15、2 （ 2） 2 1723抛物线y4ax 2(a0)的焦点坐标是( )A(0，a) B(a，0)C(0， ) D( ，0)116a 116a答案 C解析 抛物线方程化标准方程为x 2 y，焦点在y轴上，焦点为(0， )14a 116a4已知点A(2，3)在抛物线C：y 22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A. B.12 23C. D.34 43答案 D解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解抛物线y 22px的准线为直线x ，而点A(2，3)在准线上，所以 2，即p4，从而C：y 28x，焦p2 p2点为F(2，0)设切线方程为y3k
16、(x2)，代入y 28x得 y2y2k30(k0).由于14 (k8 k82k3)0，所以k2或k .因为切点在第一象限，所以k .12 12将k 代入中，得y8，再代入y 28x中得x8，所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为 .12 86 435(2018海口一模)过点F(0，3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为( )Ay 212x By 212xCx 212y Dx 212y答案 D6(2018湖北黄冈中学检测)若坐标原点到抛物线ymx 2的准线的距离为2，则实数m( )A8 B8C D14 18答案 D8解析 x 2 y，故由题意可得 2，所以m .1m 14|m|
17、187(2018江西吉安一中期中)已知抛物线x 24y的焦点为F，其上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)满足|AF|BF|2，则y 1x 12y 2x 22( )A4 B6C8 D10答案 D解析 |AF|BF|2，y 11(y 21)2，y 1y 22，所以y 1x 12y 2x 225(y 1y 2)10，故选D.8(2018云南昆明适应性检测)已知抛物线C：y 22px(p0)的焦点为F，点A，B在C上，且点F是AOB的重心，则cosAFB为( )A B35 78C D1112 2325答案 D解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由重心坐标公式得 ，y 1
18、y 20，故A，B关于x轴对称，则x 1x 2 p，x1 x23 p2 34所以|AF|BF| p p，|AB| 26p 2，所以由余弦定理可得cosAFB ，34 p2 54 |AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF| 2325故选D.9(2018湖南郴州第二次质检)已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 22px(p0)上，则这个正三角形的边长为( )A2 p B2p3C4 p D4p3答案 C解析 抛物线y 22px关于x轴对称，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 22px(p0)上，则A，B关于x轴对称，如图所示，直线OA的倾斜角为30
19、，斜率为 ，直线OA的方程为y x，33 33由 得 A(6p，2 p)，则B(6p，2 p)，|AB|4 p，这个正三角形的边y 33x，y2 2px， ) x 6p，y 2 3p， ) 3 3 3长为4 p.故选C.3910(2016浙江，理)若抛物线y 24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_答案 9解析 由于抛物线y 24x的焦点为F(1，0)，准线为x1，设点M的坐标为(x，y)，则x110，所以x9.故M到y轴的距离是9.11在抛物线y 24x上找一点M，使|MA|MF|最小，其中A(3，2)，F(1，0)，求M点的坐标及此时的最小值答案 M(1，2)，最小值为4解析
20、 如图点A在抛物线y 24x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|MF|MA|MH|，其中|MH|为M到抛物线的准线的距离过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B，则|MA|MF|MA|MH|AB|4，当且仅当点M在M 1的位置时等号成立此时M 1点的坐标为(1，2)12(2018黑龙江大庆一模)已知圆x 2y 2mx 0与抛物线y 24x的准线相切，则m_14答案 34解析 圆x 2y 2mx 0圆心为( ，0)，半径r ，抛物线y 24x的准线为x1.由| 1|14 m2 m2 12 m2，得m .m2 12 3413一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2ax上，另一个顶点在坐标原点，
21、若这个三角形的面积为36 ，则3a_答案 2 3解析 设正三角形边长为x，则36 x2sin60.312x12.当a0时，将(6 ，6)代入3y2ax得a2 .3当a0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，求抛物线方程答案 x 22y或x 24y解析 x 22py变形为y x2，12py .设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，xpy|xx 1 .x1p切线AM方程为yy 1 (xx 1)x1p即y x .同理BM方程为y x .x1p x122p x2p x222p又(2，2p)在两条直线上，2p ，2p .2x1p x122p 2x2p x222px 1，x 2是方程 2p0的两根x22p 2xp11即x 24x4p 20.x 1x 24，x 1x24p 2.y 1y 2 (x12x 22)12p (x1x 2)22x 1x2 (168p 2)12p 12p又线段AB中点纵坐标为6，y 1y 212，即 (168p 2)12.12p解得p1或p2.抛物线方程为x 22y或x 24y.
