1、19.4 双曲线及其性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.双曲线的定义及其标准方程1.了解双曲线的定义,并会用双曲线的定义进行解题2.了解求双曲线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和双曲线标准方程的基本方法(定义法和待定系数法)2016北京,12;2016浙江,13;2016天津,4;2015课标,16;2015课标,15选择题、填空题2.双曲线的几何性质1.知道双曲线的简单几何性质(如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等),并能用性质解决一些简单的双曲线问题2.理解双曲线离心率的定义,并会求双曲线的离心率2017课标全国,5;2017课标全国,5;2017北京
2、,10;2016山东,14;2015安徽,6;2014课标,4选择题、填空题分析解读从近几年的高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,分值为5分,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和基本性质是解决双曲线问题的基本方法.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想和转化与化归思想的应用.五年高考考点一 双曲线的定义及其标准方程1.(2016天津,4,5分)已知双曲线 -22=1(a0,b0)的焦距为2 ,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )22 5A. -y2
3、=1 B.x2- =1 C. - =1 D. - =124 24 3220325 325 3220答案 A 22.(2015天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-22222)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =129 213 21329 23 23答案 D 3.(2014江西,9,5分)过双曲线C: -22=1的右顶点作x轴的垂线,与 C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O22为坐标原点),则双曲线C的方程为( )A. -
4、=1 B. - =124 212 27 29C. - =1 D. - =128 28 21224答案 A 4.(2014天津,6,5分)已知双曲线 -22=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )22A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =125 220 22025 322532100 321003225答案 A 5.(2016浙江,13,4分)设双曲线x 2-=1的左、右焦点分别为F 1,F2.若点P在双曲线上,且F 1PF2为锐角三角形,则|PF 1|+|PF2|的取值范围是 23.答案 (2 ,8)
5、76.(2015课标,15,5分)已知双曲线过点(4, ),且渐近线方程为y= x,则该双曲线的标准方程为 . 312答案 -y2=1247.(2015课标,16,5分)已知F是双曲线C:x 2-=1的右焦点,P是C的左支上一点 ,A(0,6 ).当APF周长最小时 ,该三角形的面积为 .28 6答案 12 63教师用书专用(810)8.(2016北京,12,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为( ,0),则a= 2222 5;b= .答案 1;29.(2014北京,10,5分)设双曲线C的两个焦点为(- ,0),( ,0),一个顶点是(1,0),则C
6、的方程为 .2 2答案 x 2-y2=110.(2013天津,11,5分)已知抛物线y 2=8x的准线过双曲线 -22=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为 .22答案 x 2- =123考点二 双曲线的几何性质1.(2017课标全国,5,5分)已知F是双曲线C:x 2-=1的右焦点,P是C上一点,且 PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为( )23A. B. C. D.13 12 23 32答案 D 2.(2017课标全国,5,5分)若a1,则双曲线 -y2=1的离心率的取值范围是 ( )22A.( ,+) B.( ,2) C.(1, )
7、D.(1,2)2 2 2答案 C 3.(2015重庆,9,5分)设双曲线 -22=1(a0,b0)的右焦点是F, 左、右顶点分别是A 1,A2,过F作A 1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A 1BA 2C,则该22双曲线的渐近线的斜率为( )A. B. C.1 D.12 22 2答案 C 44.(2015湖南,6,5分)若双曲线 - =1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )2222A. B. C. D.73 54 43 53答案 D 5.(2015四川,7,5分)过双曲线x 2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线 ,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )2
8、3A. B.2 C.6 D.4433 3 3答案 D 6.(2014课标,4,5分)已知双曲线 - =1(a0)的离心率为2,则a=( )2223A.2 B. C. D.162 52答案 D 7.(2013浙江,9,5分)如图,F 1,F2是椭圆C 1: +y2=1与双曲线 C2的公共焦点,A,B分别是C 1,C2在第二、四象限的公24共点.若四边形AF 1BF2为矩形,则C 2的离心率是( )A. B. C. D.2 332 62答案 D 8.(2017北京,10,5分)若双曲线x 2- =1的离心率为 ,则实数 m= .2 3答案 29.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,
9、双曲线 - =1的焦距是 .27 23答案 2 1010.(2015山东,15,5分)过双曲线C: -22=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线 ,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 22.答案 2+ 3511.(2014山东,15,5分)已知双曲线 -22=1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为 A,抛物线x 2=2py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为222c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 .答案 xy=0教师用书专用(1223)12.(2015安徽,6,5分)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是( )A.x2- =1 B. -y
10、2=1 C.x2- =1 D. -y2=124 24 22 22答案 A 13.(2014湖北,8,5分)设a,b是关于t的方程t 2cos +tsin =0的两个不等实根,则过A(a,a 2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 - =1的公共点的个数为( )2222A.0 B.1 C.2 D.3答案 A 14.(2014广东,8,5分)若实数k满足00,b0)的离心率为2, 焦点到渐近线的距离为 ,则 C的焦距等于( )22 3A.2 B.2 C.4 D.42 2答案 C 16.(2013重庆,10,5分)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60的直线A 1B1和A
11、2B2,使|A 1B1|=|A2B2|,其中A 1,B1和A 2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.(233,2 233,2) (233,+) 233,+)答案 A 617.(2013山东,11,5分)抛物线C 1:y= x2(p0)的焦点与双曲线C 2: -12 23y2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p=( )A. B. C. D.316 38 233 433答案 D 18.(2013课标全国,4,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则C的渐近线方
12、程为( )2222 52A.y= x B.y= x C.y= x D.y=x14 13 12答案 C 19.(2015北京,12,5分)已知(2,0)是双曲线x 2- =1(b0)的一个焦点,则b= .22答案 320.(2014浙江,17,4分)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线 -22=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点 A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .22答案 5221.(2013湖南,14,5分)设F 1,F2是双曲线C: -22=1(a0,b0)的两个焦点.若在 C上存在一点P,使PF 1PF 2,且PF 1F2=30,则C的离心率为
13、.22答案 +1322.(2013陕西,11,5分)双曲线 - =1的离心率为 .21629答案 5423.(2013辽宁,15,5分)已知F为双曲线C: -29=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为 .216答案 44三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 双曲线的定义及其标准方程71.(2018河南顶级名校10月联考,5)已知双曲线的一个焦点与圆x 2+y2-4y=0的圆心重合,且其渐近线的方程为 xy=0,则该双曲线的标准方程为( )3A. -y2=1 B. -x2=123 23C. - =1 D. - =12
14、9 216 21629答案 B 2.(2018吉林长春调研,10)过双曲线x 2- =1的右支上一点P分别向圆C 1:(x+4)2+y2=4和圆C 2:(x-2154)2+y2=1作切线,切点分别为M、N,则|PM| 2-|PN|2的最小值为( )A.10 B.13 C.16 D.19答案 B 3.(2017广东揭阳、潮州两校联考,7)已知双曲线 -22=1(a0,b0)的一条渐近线过点 (2, ),且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x的准线上,则双曲线的方程为( 22 3 7)A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1221228 228221 23 24 24 23
15、答案 D 4.(人教A选11,二,2,A2,变式)已知双曲线的渐近线方程为y= x,且双曲线经过点A(2,-123),则双曲线的标准方程为 .答案 - =128 232考点二 双曲线的几何性质5.(2018湖北重点中学12月联考,4)双曲线C: -22=1(a0)与x轴的一个交点是 (2,0),则该双曲线的渐近线方程为( )22A.y=2x B.y= x C.y= x D.y= x12 2 22答案 D 6.(2018河北唐山期中联考,5)已知双曲线C: -22=1(m0,n0)的离心率与椭圆 + =1的离心率互为倒数,则双曲线C的渐近线方程为( )22 2252168A.4x3y=0 B.3
16、x4y=0C.4x3y=0或3x4y=0 D.4x5y=0或5x4y=0答案 A 7.(2018湖南师大附中12月联考,10)已知双曲线C: -22=1(a0,b0)的左、右焦点分别是 F1、F 2,正三角形AF 1F2的一边AF 1与双曲线左支交于点B,且 =4 ,则双22 1 1曲线C的离心率为( )A. +1 B. C. +1 D.32 3+12 133 13+13答案 D 8.(2017安徽黄山二模,8)若圆(x-3) 2+y2=1上只有一点到双曲线 -22=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为 1,则该双曲线的离心率为( )22A. B. C. D.355 334 3 5答案 A 9
17、.(2016广东肇庆三模,10)设双曲线 -22=1(ba0)的半焦距为c且直线 l过(a,0)和(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为 ,则双曲线的离心率为( 22 34)A. B. C. D.2223 2 3答案 D 10.(2017安徽池州模拟,15)已知椭圆 + =1的右焦点F到双曲线E: -216212 22=1(a0,b0)的渐近线的距离小于 ,则双曲线E的离心率的取值范围是 .22 3答案 (1,2)B组 20162018年模拟提升题组(满分:45分 时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)91.(2018河北衡水中学六调,5)已知双曲线 -24-2=1(00,b0)
18、的左、右焦点分别为 F1,F2,过F 1作倾斜角为30的直线,与y轴和双曲线的右支分别交于A,B两点22,若点A平分线段F 1B,则该双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.3 233答案 A 3.(2018广东广州调研,11)已知双曲线C: -22=1(a0,b0)的离心率为 ,左、右顶点分别为A,B,点P 是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k PA22 2,kPB,则k PAkPB=( )A.1 B. C. D.322 36答案 A 4.(2018湖南师大附中12月模拟,11)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F 1、F 2,且两条曲线在第一象
19、限的交点为P,PF 1F2是以PF 1为底边的等腰三角形,若|PF 1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e2,则e 1e2+1的取值范围是( )A.(1,+) B. C. D.(43,+) (65,+) (109,+)答案 B 5.(2017福建福州模拟,7)已知双曲线C: -22=1(a0,b0)的焦距为2 ,抛物线y= x2+ 与双曲线C的渐近线相切 ,则双曲线C的方程为( )22 5 14 14A. - =1 B. - =128 22 22 2810C.x2- =1 D. -y2=124 24答案 D 6.(2017湖北四地七校联考,10)双曲线 -22=1(a0,b0)的左、
20、右焦点分别为 F1,F2,直线l经过点F 1及虚轴的一个端点,且点F 2到直线l的距离等于实半轴22的长,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.1+ 52 3+ 54 1+ 52 3+ 52答案 D 7.(2016福建四地六校期中,9)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=24y的焦点重合,其中一条渐近线的倾斜角为30,则该双曲线的标准方程为( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =129 227 29 227 212224 224212答案 B 二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2017湖南五校联考,16)设F 1,F2是双曲线 -22=1(a0,b0)的
21、左,右焦点, 若双曲线右支上存在一点P,使( + ) =0(O为坐标原点),且|PF 1|= |PF222 2 2 3|,则双曲线的离心率为 .答案 +139.(2017江西红色七校联考,16)已知点P为双曲线 -22=1(a0,b0)右支上一点,F 1,F2分别为双曲线的左,右焦点,且|F 1F2|= ,I为PF 1F2的内心,若 =22 2 1+ 成立,则的值为 .212答案 +1211C组 20162018年模拟方法题组方法1 求双曲线标准方程的方法1.(2018辽宁五校协作体期中联考,4)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C: -22=1(a0,b0)的离心率为 ,从双曲线C的右焦点
22、F引渐近线的垂线 ,垂足为A,若AFO的面积为1,则双曲线C的22 5方程为( )A. - =1 B. -y2=1 C. - =1 D.x2- =122 28 24 24 216 24答案 D 2.(2017安徽江南十校联考,4)已知双曲线 -22=1(a0,b0)的离心率为 ,左顶点到一条渐近线的距离为 ,则该双曲线的标准方程为( )22 62 263A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =121228 21628 216212 28 24答案 D 3.(2016河北邯郸模拟,15)设动圆C与两圆C 1:(x+ )2+y2=4,C2:(x-5)2+y2=4中的一个内切,另
23、一个外切,则动圆圆心C的轨迹方程为 .5答案 -y2=124方法2 求双曲线的离心率(范围)的方法4.(2018河南开封10月定位考试,11)过双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点F(-2222c,0)作圆x 2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交双曲线于点P,若E为线段FP的中点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. +1 D.552 5 5+12答案 A 5.(2017广东广雅中学、江西南昌二中联考,12)设F为双曲线 -22=1(a0,b0)的右焦点,若线段 OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距22离为 |OF|,则双曲线的离心率为( )1212
24、A.2 B. C.2 D.32233 3答案 B 6.(2016湖南十校3月联考,11)设双曲线 -22=1(a0,b0)的两条渐近线与直线 x= 分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若600,b0)的左顶点为A, 右焦点为F,点B(0,2b),双曲线的渐近线上存在一点P,使得顺次连接A,B,F,P构成22平行四边形,则双曲线C的离心率为 .答案 3方法3 直线和双曲线位置关系问题的求解方法8.(2018豫北、豫南12月联考,11)已知直线y=x+1与双曲线 -22=1(a0,b0)交于A,B两点, 且线段AB的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率为( )22A. B. C.2 D.2 3 5答案 B 9.(2017山西太原五中模拟,6)若直线l:x+by+2=0与双曲线 - =1只有一个公共点,则直线l有( )24 23A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 C 10.(2016豫北六校联考,15)若直线y=kx+2与双曲线x 2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取值范围为 .答案 (- 153,-1)
