1、111.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.离散型随机变量及其分布列理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用理解2017课标全国,18;2016课标全国,19;2015天津,16;2013课标全国,19解答题 2.离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题掌握2017浙江,8;2014湖南,17;2015福建,16选择题解答题 分析解读 1.会求简单的
2、离散型随机变量的分布列,理解超几何分布.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.五年高考考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2013广东,4,5分)已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E(X)=( )A. B.2C. D.3答案 A2.(2017课标全国,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
3、)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35) 35,40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析 本题考查
4、随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.因此X的分布列为X 200 300 5002P 0.2 0.4 0.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1 2
5、00-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200nD( 2)C.E( 1)E( 2),D( 1)E( 2),D( 1)D( 2)答案 A2.(2014浙江,12,4分)随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)=,E()=1,则D()= . 答案 3.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡
6、被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=,所以X的分布列为X 1 2 3P所以E(X)=1+2+3=.教师用书专用(49)94.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,nN *,n2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,m+n).1 2
7、 3 m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X).解析 (1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P=.(2)随机变量X的概率分布为:X P 随机变量X的期望为:E(X)=.所以E(X)=(1+)=(+)=(+)=(+)=,即E(X).5.(2014湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若
8、新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.解析 记E=甲组研发新产品成功,F=乙组研发新产品成功,由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.(1)记H=至少有一种新产品研发成功,则=,于是P()=P()P()=,故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=,P(X=100)=P(F)=,P(X=120)=P(E)=,P(X=220)=P(EF)=.故所求的分布列为X 0 100 120 220P数学期望
9、为E(X)=0+100+120+220=140.6.(2014安徽,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k表示“第k局甲获胜”,B k表示“第k局乙获胜”,则P(A k)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.10(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4
10、)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=+=.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故X的分布列为X 2 3 4 5PE
11、X=2+3+4+5=.7.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析 记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1BC+A2B+A2C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A 1BC+A2
12、B+A2C)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(A0)=P()P(A0)P()=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(BA0+A0C+A1)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0
13、.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分)8.(2014江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1,x2
14、,x3,随机变量X表示x 1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).11解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P=.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.X=4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)=;X=3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)=;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-=.所以随机变量X的概率分布如下表:X 2 3 4P因此随机变量X的数学期望E(X)=2+3+4=.9.(2014北京,16,13分)李明在10场篮球
15、比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次 投篮次 数 命中次 数 场次 投篮次 数 命中次数主场1 22 12 客场1 18 8主场2 15 12 客场2 13 12主场3 12 8 客场3 21 7主场4 23 8 客场4 18 15主场5 24 20 客场5 25 12(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与的大小.(只需写出结论
16、)解析 (1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.则C=AB,A,B独立.根据投篮统计数据,P(A)=,P(B)=.P(C)=P(A)+P(B)=+=.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场
17、超过0.6,一场不超过0.6的概率为.(3)EX=.三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2017浙江杭州地区四校期中联考,13)袋中有4只红球,3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量,则P(7)= .(用分数表示结果) 答案 考点二 离散型随机变量的均值与方差2.(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主在一旅游景点设摊,在不透明口袋中装入除颜色外无差别的212个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则如下:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色,
18、则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润X(单位:元)的期望是( )A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5答案 A3.(2017安徽蚌埠二模,16)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是:参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外,其余均相同),将小球上的数字作为其赌金(单位:元),然后放回该小球,再随机摸取两个小球,将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位:元).若随机变量和分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金,则E-E= 元. 答案 34.(人教A选23,二,2-3A,2,变式)离散型随机变量的分布列如图,若E=1,则D的值为 . 0
19、1 2P 0.2 a b答案 0.4B组 20162018年模拟提升题组(满分:50分 时间:40分钟)一、选择题(共5分)1.(2018浙江重点中学模拟,8)已知随机变量满足P(=0)=,P(=1)=x,P(=2)=-x,若0x,则( )A.E()随着x的增大而增大,D()随着x的增大而增大B.E()随着x的增大而减小,D()随着x的增大而增大C.E()随着x的增大而减小,D()随着x的增大而减小D.E()随着x的增大而增大,D()随着x的增大而减小答案 C二、填空题(共5分)2.(2017山西临汾一中等五校第二次联考,16)将函数f(x)=2cos的图象向左平移3个单位后得到g(x)的图象
20、.设m,n是集合1,2,3,4,5中任意选取的2个不同的元素,记X=g(m)g(n),则随机变量X的数学期望E(X)= . 答案 三、解答题(共40分)3.(2018甘肃武威第六中学第二次阶段性过关考试,18)某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为.(1)求比赛三局甲获胜的概率;(2)求甲获胜的概率;(3)设甲比赛的次数为X,求X的数学期望.解析 记比赛n局甲获胜的概率为P n,n=3,4,5,(1)比赛三局甲获胜的概率是P 3=.(2)比赛四局甲获胜的概率是P 4=;比赛五局甲获胜的概率是P 5=,故甲获胜的概率是P 3+P4+P5=
21、.(3)记比赛n局乙获胜的概率为P n,n=3,4,5.P3=,P4=,P5=,故甲比赛的次数X的分布列为X 3 4 5P(X) P3+P3 P4+P4 P5+P513所以甲比赛的次数X的数学期望E(X)=3+4+5=.4.(2017河南商丘二模,18)有甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪为70元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成5元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 4
22、1 42天数 20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 20 20 40 10(1)现从甲公司记录的100天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于40的概率;(2)若将频率视为概率,回答下列问题:(i)记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;(ii)小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.解析 (1)记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M,则P(M)=.(2)(i)设乙公司送餐员的送餐单数为a,则当a=38时,X=385=190,当
23、a=39时,X=395=195,当a=40时,X=405=200,当a=41时,X=405+17=207,当a=42时,X=405+27=214.所以X的所有可能取值为190,195,200,207,214.故X的分布列为:X 190 195 200 207 214PE(X)=190+195+200+207+214=.(ii)依题意得,甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2+390.4+400.2+410.1+420.1=39.5.所以甲公司送餐员日平均工资为70+439.5=228元.由(i)得乙公司送餐员日平均工资为202.2元.因为202.2228,所以推荐小明去甲公司应聘.5.(201
24、7广东惠州第三次调研,18)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每名同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).P(X=0)=,P(
25、X=1)=.P(X=2)=,P(X=3)=.随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3=.C组 20162018年模拟方法题组14方法1 离散型随机变量分布列的求法1.(2017四川资阳4月模拟,18)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照50,60),60,70),90,100分成
26、5组,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中x的值;(2)已知满意度评分值在90,100内的男生数与女生数的比为21,若在满意度评分值为90,100的人中随机抽取4人进行座谈,设其中的女生人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.解析 (1)由(0.005+0.021+0.035+0.030+x)10=1,解得x=0.009.(2)满意度评分值在90,100内的有1000.00910=9人,其中男生6人,女生3人.则X的值可以为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)= =,P(X=2)=,P(X=3)=.则X的分布列如下:X 0 1 2 3P所以X的期望E(X)=0+1+2+3=.方
27、法2 求离散型随机变量的期望与方差的方法2.(2017广东肇庆第三次统考,18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花当作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布
28、列、数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.解析 (1)当日需求量n16时,y=80.当日需求量n16时,y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=(nN).(2)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.故X的分布列为X 60 70 8015P 0.1 0.2 0.7X的数学期望为EX=600.1+700.2+800.7=76.X的方差为DX=(60-76) 20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.(ii)答案不唯一.答案一:
29、花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),则Y的分布列为Y 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54Y的数学期望为EY=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.Y的方差为DY=(55-76.4) 20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04.结合(2)(i)可知DXDY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.虽然EXEY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54Y的数学期望为EY=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.结合(2)(i)可知EXEY,即购进17枝玫瑰花时平均每天的利润大于购进16枝时平均每天的利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.
