1、1第二讲 三角恒等变换与解三角形年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养卷 利用正、余弦定理解三角形T 17卷二倍角公式应用及余弦定理解三角形T6三角变换求值T 42018卷解三角形T 9卷 三角变换与正弦定理解三角形T 17卷 三角变换与余弦定理解三角形T 172017卷 利用余弦定理解三角形及面积问题T 17卷 三角恒等变换求值问题T 9三角恒等变换求值问题T 52016 卷解三角形(正、余弦定理)T 8命题分析三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难
2、度不大学科素养三角变换及解三角形在学生能力考查中主要考查逻辑推理及数学运算两大素养，通过三角恒等变换及正、余弦定理来求解相关问题.三角恒等变换授课提示：对应学生用书第22页悟通方法结论三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin 2 cos 2 tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2 2cos 2 (sin 2 cos 2 )cos 2 ， ( ) 等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦全练快速解答21(2018合肥模拟)sin 18sin 78cos 162cos 78( )A B C. D.3
3、2 12 32 12解析：sin 18sin 78cos 162cos 78sin 18sin 78cos 18cos 78cos(7818)cos 60 ，故选D.12答案：D2(2018高考全国卷)若sin ，则cos 2 ( )13A. B. C D89 79 79 89解析：sin ，cos 2 12sin 2 12 2 .13 (13) 79故选B.答案：B3(2018沈阳模拟)已知tan 2，则 sin 2 的值为( )sin cos sin A. B. C. D.195 165 2310 1710解析：原式 sin 2 sin cos sin sin cos sin sin2si
4、n2 cos2 ，将tan 2代入，得原式 ，故选C.tan 1tan tan2tan2 1 2310答案：C4(2017高考全国卷)已知 (0， )，tan 2，则cos( )_. 2 4解析： (0， )，tan 2，sin ，cos 2 255 ， cos( )cos cos sin sin ( ) .55 4 4 4 22 255 55 31010答案：31010三角函数式的化简方法及基本思路(1)化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等(2)化简基本思路“一角二名三结构”，即：3一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理
5、地拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于sin cos 的齐次分式化切等；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等解三角形的基本问题及应用授课提示：对应学生用书第22页悟通方法结论正、余弦定理、三角形面积公式(1) 2 R(R为 ABC外接圆的半径)asin A bsin B csin C a b csin A sin B sin C变形： a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C；sin A ，sin B ，sin C ；a2R b
6、2R c2Ra b csin Asin Bsin C.(2)a2 b2 c22 bccos A， b2 a2 c22 accos B， c2 a2 b22 abcos C.推论：cos A ，cos B ，cos C .b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab变形： b2 c2 a22 bccos A， a2 c2 b22 accos B， a2 b2 c22 abcos C.(3)S ABC absin C acsin B bcsin A.12 12 12(1)(2017高考全国卷) ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知sin Bsin
7、 A(sin Ccos C)0， a2， c ，则 C( )2A. B.12 6C. D. 4 34解析：因为sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin( A C)sin Asin Csin Acos C0，所以 sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C(sin Acos A)0，因为sin C0，所以 sin Acos A0，所以tan A1，因为 A(0，)，所以 A ，由正弦定理得sin 34C ，又 01， AC AB ，当 ABC的周长最12短时， BC的长是_解析：设 AC b， AB c， BC a， A
8、BC的周长为 l，由 b c ，得 l a b c a2 c .12 12又cos 60 ，即 ab a2 b2 c2，a2 b2 c22ab 12得 a a2 2 c2，(c12) (c 12)即 c .a2 12a 14a 1l a2 c a 12 2a2 a 12a 1 12 3a 12 43(a 1) 12a 1 123 a 1 12a 1 43 1263 ，2a 1 12a 1 43 12当且仅当 a1 时， ABC的周长最短，12a 1此时 a1 ，即 BC的长是1 .22 22答案：122解三角形的综合问题授课提示：对应学生用书第23页悟通方法结论三角形中的常用结论(1)A B
9、C， .A B2 2 C2(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在 ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(A， B， C ) 2(2017高考全国卷)(12分) ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知(1) ；求 cos B(2)若 ， ，求 b.a c 6 ABC的 面 积 为 2 学审题条件信息 想到方法 注意什么信息：两角和与半角的三角等式关系三角形内角和定理及倍角公式(1)三角形中的三角恒等关系式化简时，三角形内角和定7信息：求cos B 化已知条件为cos B的关系式信息
10、： a c6寻找平方后与余弦定理中 a2 c2的关系式信息：三角形面积为2 利用面积公式来求 ac的值理及倍角公式的正确使用(2)转化与化归思想、整体代入思想在解题过程中的应用规范解答 (1)由题设及 A B C得sin B8sin 2 ，B(2分)即sin B4(1cos B)， (3分)故17cos 2B32cos B150， (4分)解得cos B ，cos B1(舍去) (6分)1517(2)由cos B ，得sin B ， (7分)1517 817故 S ABC acsin B ac. (8分)12 417又 S ABC2，则 ac . (9分)172由余弦定理及 a c6得b2 a
11、2 c22 accos B( a c)22 ac(1cos B) (10分)362 172 (1 1517)4. (11分)所以 b2. (12分 )1与三角形面积有关的问题的解题模型2学科素养：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两大素养8练通即学即用(2018长郡中学模拟)在锐角 ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，且4sin Acos2A cos(B C)sin 3A .3 3(1)求 A的大小；(2)若 b2，求 ABC面积的取值范围解析：(1) A B C，cos( B C)cos A ，3 A2 A A，sin 3 Asin(2 A A
12、)sin 2 Acos Acos 2 Asin A ，又sin 2 A2sin Acos A ，cos 2A2cos 2A1 ，将代入已知，得2sin 2 Acos A cos Asin 2 Acos Acos 2 Asin A ，3 3整理得sin A cos A ，即sin ，3 3 (A 3) 32又 A ，(0， 2) A ，即 A . 3 23 3(2)由(1)得 B C ， C B，23 23 ABC为锐角三角形， B 且 B ，23 (0， 2) (0， 2)解得 B ，( 6， 2)在 ABC中，由正弦定理得 ，2sin B csin C c 1，2sin Csin B 2si
13、n(23 B)sin B 3tan B又 B ， ， c(1,4)，( 6， 2) 1tan B (0， 3) S ABC bcsin A c， S ABC .12 32 (32， 23)授课提示：对应学生用书第124页9一、选择题1(2018合肥调研)已知 x ，且cos sin 2x，则tan 等于( (0， ) (2x 2) (x 4)A. B C3 D313 13解析：由cos sin 2x得sin 2 xsin 2x，(2x 2) x(0，)，tan x2，tan .(x 4) tan x 11 tan x 13答案：A2(2018成都模拟)已知sin ， ，则cos 的值为( )1
14、010 (0， 2) (2 6)A. B.43 310 43 310C. D.4 3310 33 410解析：sin ， ，cos ，1010 (0， 2) 31010sin 2 2sin cos 2 ，1010 31010 610 35cos 2 12sin 2 12 21 ，(1010) 15 45cos .(2 6) 45 32 35 12 43 310答案：A3(2018昆明三中、五溪一中联考)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 ABC的面积为 S，且2 S( a b)2 c2，则tan C等于( )A. B.34 43C D43 34解析：因为2 S(
15、 a b)2 c2 a2 b2 c22 ab，由面积公式与余弦定理，得 absin C2 abcos C2 ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，104，sin2C 4sin Ccos C 4cos2Csin2C cos2C所以 4，tan2C 4tan C 4tan2C 1解得tan C 或tan C0(舍去)43答案：C4在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 0，cos B BDC ， 4所以 BCA ，所以cos BCA . 6 32在 ABC中，AB2 AC2 BC22 ACBCcos BCA262 2，2 632所以 AB
16、 ，所以 ABC ，2 6在 BCD中， ，BCsin BDC CDsin DBC即 ，解得 CD .622CD12 3答案： 3三、解答题13(2018武汉调研)在锐角 ABC中，内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，满足cos 142Acos 2 B2cos cos 0.( 6 B) ( 6 B)(1)求角 A的值；(2)若 b 且 b a，求 a的取值范围3解析：(1)由cos 2 Acos 2 B2cos cos 0，( 6 B) ( 6 B)得2sin 2B2sin 2A2 0，(34cos2B 14sin2B)化简得sin A ，又 ABC为锐角三角形，故 A .32
17、3(2) b a， c a， C ， B ，3 3 2 6 3 sin B .12 32由正弦定理 ，asin A bsin B得 ， a ，a32 3sin B32sin B由sin B 得 a ，3)(12， 32 314(2018唐山模拟)在 ABC中， AB2 AC2， AD是 BC边上的中线，记 CAD ， BAD .(1)求sin sin ；(2)若tan sin BAC，求 BC.解析：(1) AD为 BC边上的中线， S ACD S ABD， ACADsin ABADsin ，12 12sin sin AB AC21.(2)tan sin BACsin( )，sin sin(
18、)cos ，2sin sin( )cos ，2sin( ) sin( )cos ，sin( )cos 2cos( )sin ，sin( )2cos( )tan ，又tan sin BACsin( )0，15cos( )cos BAC ，12在 ABC中， BC2 AB2 AC22 ABACcos BAC3， BC .315(2018广州模拟)已知 a， b， c是 ABC中角 A， B， C的对边，且3cos Bcos C23sin Bsin C2cos 2A.(1)求角 A的大小；(2)若 ABC的面积 S5 ， b5，求sin Bsin C的值3解析：(1)由3cos Bcos C23si
19、n Bsin C2cos 2A，得3cos( B C)22cos 2A，即2cos 2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A 或cos A2(舍去)12因为0 A，所以 A . 3(2)由 S bcsin A bc5 ，得 bc20，12 34 3因为 b5，所以 c4.由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A，得 a22516220 21，12故 a .21根据正弦定理 ，asin A bsin B csin C得sin Bsin C sin A sin A .ba ca 5716(2018山西八校联考)在 ABC中， a， b， c分别是内角 A，
20、 B， C的对边，且( a c)2 b23 ac.(1)求角 B的大小；(2)若 b2，且sin Bsin( C A)2sin 2 A，求 ABC的面积解析：(1)由( a c)2 b23 ac，整理得 a2 c2 b2 ac，由余弦定理得cos B ，a2 c2 b22ac ac2ac 120 B， B . 3(2)在 ABC中， A B C，即 B( A C)，故sin Bsin( A C)，16由已知sin Bsin( C A)2sin 2 A可得sin( A C)sin( C A)2sin 2 A，sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin
21、 Acos A，整理得cos Asin C2sin Acos A.若cos A0，则 A ， 2由 b2，可得 c ，2tan B 233此时 ABC的面积 S bc .12 233若cos A0，则sin C2sin A，由正弦定理可知， c2 a，代入 a2 c2 b2 ac，整理可得3 a24，解得 a ， c ，233 433此时 ABC的面积 S acsin B .12 233综上所述， ABC的面积为 .23317(2018常德市模拟)已知函数 f(x) sin x mcos 2x ( 0， m0)的最小值为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求 和 m的值；(2)若 f ，
22、 ，求 f 的值( 2) 65 ( 4， 34) ( 8)解析：(1)易知 f(x) sin(x )( 为辅助角)，2 m2 f(x)min 2， m .2 m2 2由题意知函数 f(x)的最小正周期为， ，2 2.(2)由(1)得 f(x) sin 2x cos 2x2 22sin ，(2x 4) f 2sin ，( 2) ( 4) 65sin .( 4) 35 ， ，( 4， 34) 4 ( 2， )cos ，( 4) 1 sin2( 4) 4517sin sin sin cos cos sin ，( 4 4) ( 4) 4 ( 4) 4 7210 f 2sin( 8) 2( 8) 42sin 2cos 2 2(12sin 2 )(2 2)2 .1 2(7210)2 4825
