1、1第五讲 离散型随机变量及其分布一、选择题1将三颗骰子各掷一次，记事件 A“三个点数都不同” ， B“至少出现一个 6 点” ，则条件概率 P(A|B)， P(B|A)分别是( )A. ， B. ，6091 12 12 6091C. ， D. ，518 6091 91216 12解析： P(A|B)的含义是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，即在“至少出现一个 6 点”的条件下， “三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个 6 点”有66655591 种情况， “至少出现一个 6 点，且三个点数都不相同”共有C 5460 种情况，所以 P(A|B) .P(B|A)的含义是在事件
2、 A 发生的情况下，事件 B136091发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下， “至少出现一个 6 点”的概率，所以P(B|A) .12答案：A2(2018包头铁路一中调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是( )233425A. B.25 1130C. D.715 16解析：三人中恰有两人合格的概率 P (1 ) (1 ) (1 )23 34 25 23 34 25 23 ，故选 C.34 25 715答案：C3投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该
3、同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432C0.36 D0.312解析：3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k2)C 0.62(10.6)，投中 3 次的概率为23P(k3)0.6 3，所以通过测试的概率为 P(k2) P(k3)C 0.62(10.6)2320.6 30.648.答案：A4若随机变量 X N( ， 2)( 0)，则有如下结论：P( X )0.682 6， P( 2 X 2 )0.954 4， P( 3 X 3 )0.997 4.高三(1)班有 48 名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为 120，方差为 100，理论上说在 130 分以上人数约为( )A3
4、2 B24C16 D8解析：因为数学成绩服从正态分布 N(120,102)，则 P(|x120|10)1 P(|x120|10)0.317 4，由正态曲线的对称性知在 130 分以上的概率是P(|x120|10)的一半，所以人数约为 0.317 4488，故选 D.12答案：D5(2018厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( )A100 B200C300 D400解析：将“没有发芽的种子数”记为 ，则 1,2,3，1 000，由题意可知 B(1 000,0.1)，所以 E(
5、 )1 0000.1100，又因为 X2 ，所以 E(X)2 E( )200，故选 B.答案：B6已知抛物线 y ax2 bx c(a0)的对称轴在 y 轴的左侧其中a， b， c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，若随机变量 X| a b|，则 X 的数学期望 E(X)( )A. B.89 35C. D.25 13解析：对称轴在 y 轴的左侧( a 与 b 同号)的抛物线有 2C C C 126 条， X 的可能取值131317有 0,1,2.P(X0) ， P(X1) ， P(X2) ， E(X) ，67126 13 87126 49 47126 29 89故选 A.答案：A二、填
6、空题7在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布3N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为_附：若 X N( ， 2)，则 P( X )0.682 6，P( 2 X 2 )0.954 4.解析：由 P(1 X1)0.682 6，得 P(0 X1)0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为 10 000 3 413.0.341 311答案：3 4138从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是_解析：设事件 A 为“抽到的两张都是假钞” ，
7、事件 B 为“抽到的两张至少有一张假钞” ，则所求的概率为 P(A|B)，因为 P(AB) P(A) ， P(B) ，C25C20 119 C25 C15C15C20 1738所以 P(A|B) .P ABP B1191738 217答案：2179同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在两次试验中成功次数 X 的均值是_解析：此试验满足二项分布，其中 p ，所以在两次试验中成功次数 X 的均值为 E(X)34 np2 .34 32答案：32三、解答题102018 年某企业举办产品创新研发创意大赛，经评委会初评，有两个优秀方案入选，最后组委会决定请车间 10
8、0 名经验丰富的技工对这两个方案进行等级评价(等级从高到低依次为 A， B， C， D， E)，评价结果对应的人数统计如下表：4等级编号A B C D E1 号方案 8 41 26 15 102 号方案 7 33 20 20 20(1)若从对 1 号方案评价为 D， E 的技工中任选 3 人，求这 3 人中至少有 1 人对 1 号方案评价为 D 的概率；(2)在 C 级以上(包含 C 级)，可获得 2 万元的奖励， D 级奖励 0.5 万元， E 级无奖励若以此表格数据估计概率，随机请 1 名技工分别对两个方案进行独立评价，求两个方案获得的奖励总金额 X(单位：万元)的分布列和数学期望解析：(
9、1)由表格可知，对 1 号方案评价为 D 的技工有 15 人，评价为 E 的技工有 10人记事件“这 3 人中至少有 1 人对 1 号方案评价为 D”为事件 M，则 为“这 3 人对 1 号M方案的评价都为 E”所以 P( ) ，故 P(M)1 P( )1 .MC310C325 6115 M 6115 109115即所求概率为 .109115(2)由表格知，1 号方案评价在 C 级以上的概率为 ，8 41 26100 34评价为 D 的概率为 ，评价为 E 的概率为 ；15100 320 10100 1102 号方案评价在 C 级以上的概率为 ，7 33 20100 35评价为 D 的概率为
10、，评价为 E 的概率为 .20100 15 20100 15随机变量 X(单位：万元)的所有可能取值为 4,2.5,2,1,0.5,0.P(X4) ， P(X2.5) ，34 35 920 34 15 320 35 625P(X2) ， P(X1) ，34 15 110 35 21100 320 15 3100P(X0.5) ， P(X0) .320 15 110 15 120 110 15 150所以 X 的分布列为X 4 2.5 2 1 0.5 0P 920 625 21100 3100 120 1505故 E(X)4 2.5 2 1 0.5 0 .920 625 21100 3100 1
11、20 150 23811(2018昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店 1 月份其中 5 天的日营业额 y(单位：万元)与该地当日最低气温 x(单位：)的数据，如下表：x 2 5 8 9 11y 1.2 1 0.8 0.8 0.7(1)求 y 关于 x 的线性回归方程 x ；y b a (2)判断 y 与 x 之间是正相关还是负相关，若该地 1 月份某天的最低气温为 6，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地 1 月份的日最低气温 X N( ， 2)，其中 近似为样本平均数 ， 2近x似为样本方差 s2，求 P(3.8 X13.4)附：回归方程 x 中， ，
12、.y b a b ni 1xiyi nxyni 1x2i nx2 a y b x 3.2， 1.8.若 X N( ， 2)，则 P( X )0.682 10 3.27， P( 2 X 2 )0.954 5.解析：(1) (258911)7，x15 (1.210.80.80.7)0.9.y154256481121295，5i 1x2iiyi2.456.47.27.728.7，5i 1x 0.056，b 5 i 1xiyi 5xy5i 1x2i 5x2 28.7 570.9295 572 2.850 0.9(0.056)71.292.a y b x线性回归方程为 0.056 x1.292.y (2
13、) 0.0560， y 与 x 之间是负相关b 6当 x6 时， 0.05661.2920.956.y 该店当日的营业额约为 9 560 元(3)样本方差 s2 (2541416)10，15最低气温 X N(7,3.22)， P(3.8 X10.2)0.682 7，P(0.6 X13.4)0.954 5， P(10.2 X13.4) (0.954 50.682 7)0.135 9.12 P(3.8 X13.4) P(3.8 X10.2) P(10.2 X13.4)0.682 70.135 90.818 6.12由腾讯游戏开发并运行的一款运营在 Android， iOS 平台上的 MOBA 类手
14、游，受到越来越多人的喜欢某机构对不同年龄的人员对玩此手游的态度进行调查，随机抽取了 50人，他们年龄的频数分布及对玩此手游赞成人数如下表.年龄/岁 15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75频数 4 10 16 9 5 6赞成人数 2 9 15 6 2 2(1)若以“年龄”45 岁为分界点，由以上统计数据完成下面 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为玩此手游的态度与人的年龄有关；年龄低于 45岁的人数年龄不低于45 岁的人数合计赞成不赞成合计(2)若从年龄在25,35)和55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取 6 人进行跟踪调查，并给予其中 3
15、人“红包”奖励，记 3 人中年龄在55,65)的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望附：P(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2 ，其中 n a b c d.n ad bc 2 a b c d a c b d解析：(1)根据条件得如下 22 列联表：7年龄低于 45岁的人数年龄不低于45 岁的人数合计赞成 26 10 36不赞成 4 10 14合计 30 20 50所以 K2的观测值 k 8.0037.879，50 2610 104 22030
16、3614所以有 99.5%的把握认为玩此手游的态度与人的年龄有关(2)由分层抽样的方法可知，从年龄在55,65)的被调查人中抽取的人数为6 2，510 5从年龄在25,35)的被调查人中抽取的人数为 6 4，1010 5所以 的可能取值为 0,1,2，由题意知， P( 0) ， P( 1) ， P( 2) ，C34C36 15 C24C12C36 35 C14C2C36 15故随机变量 的分布列为 0 1 2P 15 35 15所以 E( )0 1 2 1.15 35 1513(2018揭阳模拟)某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成
17、的日泄流量 X(单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知 X0,120，历年中日泄流量在区间30,60)的年平均天数为 156，一年按 364 天计(1)请把频率分布直方图补充完整；(2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行，但每 30 万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如 60X90 时才够运行两台发电机若运行一台发电机，每天可获利润为84 000 元；若不运行，则该台发电机每天亏损 500 元以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？解析：(1)在区间30,60)的频率为 ， .156364 3
18、7 频 率组 距 3730 170设在区间0,30)上， a，频 率组 距则( a )301，170 1105 1210解得 a .1210补充完整的频率分布直方图如图所示(2)记水电站日利润为 Y 元由(1)知，无法运行发电机的概率为 ，恰好运行一台发电17机的概率为 ，恰好运行两台发电机的概率为 ，恰好运行三台发电机的概率为 .37 27 17若安装一台发电机，则 Y 的所有可能取值为500,4 000，其分布列为Y 500 4 000P 17 67E(Y)500 4 000 .17 67 23 5007若安装两台发电机，则 Y 的所有可能取值为1 000,3 500,8 000，其分布列为Y 1 000 3 500 8 000P 17 37 37E(Y)1 000 3 500 8 000 .17 37 37 33 5007若安装三台发电机，则 Y 的所有可能取值为1 500,3 000,7 500,12 000，其分布列为Y 1 500 3 000 7 500 12 0009P 17 37 27 17E(Y)1 500 3 000 7 500 12 000 .17 37 27 17 34 5007因为 ，34 5007 33 5007 23 5007所以要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装三台发电机
