1、1第一讲 直线与圆考点一 直线的方程1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则l1 l2k1 k2， l1 l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2两个距离公式(1)两平行直线 l1： Ax By C10， l2： Ax By C20 间的距离 d .|C1 C2|A2 B2(2)点( x0， y0)到直线 l： Ax By C0 的距离公式 d .|Ax0 By0 C|A2 B2对点训练1(2018东北三校联考)过点(5,2)，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是( )A2 x y120B2
2、x y120 或 2x5 y0C x2 y10D x2 y10 或 2x5 y0解析 当直线过原点时，由题意可得直线方程为 2x5 y0；当直线不经过原点时，可设出其截距式为 1，再由过点(5,2)即可解出 2x y120，故选 B.xa y2a答案 B2直线 l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线 l 的距离为 ，则直线 l 的方程是( )10A3 x y40 B3 x y40C3 x y40 D x3 y40解析 由已知，设直线 l 的方程为 y2 k(x2)，即 kx y22 k0，所以 ，解得 k3，所以直线 l 的方程为 3x y40.故选 C.|5k 1 2 2k|k2 12 1
3、0答案 C3(2018湖北孝感五校联考)已知直线 y2 x 是 ABC 中 C 的平分线所在的直线，2若点 A， B 的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点 C 的坐标为( )A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)解析 设 A(4,2)关于直线 y2 x 的对称点为 A( x， y)，则Error!解得Error! 即A(4，2)，直线 A C 即 BC 所在直线的方程为 y1 (x3)，即 2 14 33x y100.又知点 C 在直线 y2 x 上，联立Error!解得 Error!则 C(2,4)，故选 C.答案 C4(2018湖南东部十校联考)经过两条直线 2x3 y1
4、0 和 x3 y40 的交点，并且垂直于直线 3x4 y70 的直线方程为_解析 解法一：由方程组Error!解得Error!即交点为 ，(53， 79)所求直线与直线 3x4 y70 垂直，所求直线的斜率为 k .43由点斜式得所求直线方程为 y ，79 43(x 53)即 4x3 y90.解法二：由垂直关系可设所求直线方程为 4x3 y m0，由方程组Error!可解得交点为 ，(53， 79)代入 4x3 y m0 得 m9，故所求直线方程为 4x3 y90.解法三：由题意可设所求直线的方程为(2 x3 y1) (x3 y4)0，即(2 )x(33 )y14 0，又因为所求直线与直线 3
5、x4 y70 垂直，所以 3(2 )4(33 )0所以 2，代入式得所求直线方程为 4x3 y90.答案 4 x3 y90快速审题 看到直线方程的求解，想到直线方程的五种形式，想到每种形式的适用条件求直线方程的两种方法3(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数考点二 圆的方程1圆的标准方程当圆心为( a， b)，半径为 r 时，其标准方程为( x a)2( y b)2 r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2 y2 r2.2圆的一般方程x2 y2
6、 Dx Ey F0，其中 D2 E24 F0，表示以 为圆心，(D2， E2)为半径的圆D2 E2 4F2对点训练1(2018福建漳州模拟)圆( x1) 2( y2) 21 关于直线 y x 对称的圆的方程为( )A( x2) 2( y1) 21B( x1) 2( y2) 21C( x2) 2( y1) 21D( x1) 2( y2) 21解析 点 P(x， y)关于直线 y x 对称的点为 P( y， x)，(1,2)关于直线 y x 对称的点为(2,1)，圆( x1) 2( y2) 21 关于直线 y x 对称的圆的方程为( x2) 2( y1) 21，故选 A.答案 A2(2018广东珠
7、海四校联考)已知圆 C 与直线 x y0 及 x y40 都相切，圆心在直线 x y0 上，则圆 C 的标准方程为( )A( x1) 2( y1) 22 B( x1) 2( y1) 22C( x1) 2( y1) 22 D( x1) 2( y1) 22解析 由题意设圆心坐标为( a， a)，则有 ，即|a a|2 |a a 4|2|a| a2|，解得 a1.故圆心坐标为(1，1)，半径 r ，所以圆 C 的标准方程22 2为( x1) 2( y1) 22.故选 B.答案 B3(2018重庆一模)若 P(2,1)为圆( x1) 2 y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方4程为( )A
8、x y10 B2 x y30C x y30 D2 x y50解析 圆心 C 的坐标为(1,0)，所以直线 PC 的斜率为 kPC 1，所以直线 AB 的1 02 1斜率为1，故直线 AB 的方程为 y1( x2)，即 x y30，故选 C.答案 C4原创题在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx y2 m10( mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析 解法一：由题意得：半径等于 |m 1|m2 1 m 12m2 1 1 2mm2 1 1 2|m|m2 1，当且仅当 m1 时取等号，所以半径最大为 r ，所求圆为( x1) 2 y22.2 2解法二：直线 mx
9、 y2 m10 过定点(2，1)，当切点为(2，1)时圆的半径最大，此时半径 r ，故所求圆的方程为 (x1) 2 y22.1 22 0 12 2答案 ( x1) 2 y22快速审题 看到圆的方程，想到圆心与半径，看到含参数的直线方程，想到直线是否过定点求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1判断直线与圆的位置关系的方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 来讨论位置关
10、系： 0相交； 0相切； r相离2与圆的切线有关的结论(1)过圆 x2 y2 r2上一点 P(x0， y0)的切线方程为 x0x y0y r2.(2)过圆( x a)2( y b)2 r2上一点 P(x0， y0)的切线方程为( x0 a)(x a)( y0 b)(y b) r2.(3)过圆 x2 y2 r2外一点 P(x0， y0)作圆的两条切线，切点为 A， B，则过 A、 B 两点的直线方程为 x0x y0y r2.解析 (1)由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为 2，则 AOB 的边长为 2，所以AOB 的高为 ，即圆心到直线 x y a0 的距离为 ，所以 ，解得 a3 3| a|
11、12 12 3.6(2)当直线斜率不存在时，明显满足题意，此时直线 l 的方程为 x1.当直线斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y5 k(x1)，再由圆心到直线的距离等于半径，得2，解得 k ，所以直线 l 的方程为 4x3 y190.|3k 1 k 5|1 k2 43综上，直线 l 的方程为 x1 或 4x3 y190.(3)直线 l 的方程为 y kx1，圆心 C(2,3)到直线 l 的距离d ，|2k 3 1|k2 1 |2k 2|k2 1由 R2 d2 2(12|MN|)得 1 ，2k 22k2 1 15解得 k2 或 ，12所求直线 l 的方程为 y2 x1 或 y x1.12答案
12、 (1)B (2) x1 或 4x3 y190 (3) y2 x1 或 y x1126探究追问 1 在本例(3)中若把条件“| MN| ”，改为 12，其中 O 为坐标255 OM ON 原点，则| MN|_.解析 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，由题意得直线 l 的方程为 y kx1，代入方程( x2) 2( y3) 21，整理得(1 k2)x24(1 k)x70，所以 x1 x2 ， x1x2 ，41 k1 k2 71 k2 x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 k(x1 x2)1 8，OM ON 4k1 k1 k2由题设可知 812，解得 k1，4k1 k1 k2所以直线
13、 l 的方程为 y x1，故圆心 C 在直线 l 上，所以| MN|2.答案 2探究追问 2 在本例(3)中若圆 C 的方程不变，且过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的取值范围是_解析 由题意知直线 l 的方程为 y kx1，要使直线 l 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，只需直线 l 与圆 C：( x2) 2( y3) 24 有公共点，所以 2，即 2，解得 k0.|2k 3 1|k2 12 |2k 2|1 k2答案 0，)直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与
14、圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建7立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示， l2 (其中 l 为弦长， r 为圆的r2 d2半径， d 为圆心到直线的距离)对点训练1(2018福建福州一模)已知圆 O： x2 y24 上到直线 l： x y a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a 的取值范围为( )A(3 ，3 )2 2B(，3 )(3 ，)2 2C(2 ，2 )2 2D3 ，3 2 2解析 由圆的方程可知圆心为
15、 O(0,0)，半径为 2，因为圆上的点到直线 l 的距离等于 1 的点至少有 2 个，所以圆心到直线 l 的距离 dr121，则 d 3，| a|12 12 |a|2解得 a(3 ，3 )，故选 A.2 2答案 A2已知圆 C1： x2 y22 x10 y240 和圆 C2： x2 y22 x2 y80，则两圆的公共弦长为_解析 联立两圆的方程得Error!两式相减整理得 x2 y40，即为两圆公共弦所在直线的方程解法一：设两圆相交于点 A， B，则 A， B 两点的坐标满足方程组Error!解得Error!或Error!所以| AB| 2 ，0 42 2 02 5即公共弦长为 2 .5解法
16、二：由 x2 y22 x10 y240，得圆心坐标为(1，5)，半径 r5 .2圆心到直线 x2 y40 的距离 d 3 ，|1 2 5 4|12 225设两圆的公共弦长为 l，由 r2 d2 2，(l2)得 l2 2 2 ，r2 d2 522 352 5即两圆的公共弦长为 2 .5答案 2 581(2016全国卷)圆 x2 y22 x8 y130 的圆心到直线 ax y10 的距离为1，则 a( )A B C. D243 34 3解析 由已知可得圆的标准方程为( x1) 2( y4) 24，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得 d 1，解得 a ，故选 A.|a 4 1|a2 1
17、 43答案 A2(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆(x2) 2 y22 上，则 ABP 面积的取值范围是( )A2,6 B4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2解析 由圆( x2) 2 y22 可得圆心坐标为(2,0)，半径 r ， ABP 的面积记为2S，点 P 到直线 AB 的距离记为 d，则有 S |AB|d，易知| AB|2 ， dmax 12 2 |2 0 2|12 12 3 ， dmin ，所以 2 S6，故选 A.2 2|2 0 2|12 12 2 2答案 A3(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(
18、cos ，sin )到直线x my20 的距离当 ， m 变化时， d 的最大值为( )A1 B2 C3 D4解析 解法一：由点到直线的距离公式得 d，cos msin |cos msin 2|1 m2，1 m2(11 m2cos m1 m2sin )令 sin ，cos ，11 m2 m1 m2cos msin sin( )， d 11 m2| 1 m2 2|1 m2 1 m2 21 m2，21 m2当 m0 时， dmax3，故选 C.9解法二：cos 2 sin 2 1， P 点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又 x my20 表示过点(2,0)且斜率不为 0 的直线，如图，可得点(1,0
19、)到直线 x2 的距离即为 d 的最大值故选 C.答案 C4(2018江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l： y2 x 上在第一象限内的点， B(5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若 0，则点 A 的横坐标为AB CD _解析 由题意易得 BAD45.设直线 DB 的倾斜角为 ，则 tan ，12tan ABOtan( 45)3， kABtan ABO3. AB 的方程为 y3( x5)，由Error!得 xA3.答案 35(2016全国卷)已知直线 l： mx y3 m 0 与圆 x2 y212 交于 A， B 两点，3过 A， B 分别作 l
20、 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点若| AB|2 ，则| CD|_.3解析 由题意可知直线 l 过定点(3， )，该定点在圆 x2 y212 上，不妨设点310A(3， )，由于| AB|2 ， r2 ，所以圆心到直线 AB 的距离为3 3 3d 3，又由点到直线的距离公式可得 d ， 3，232 32|3m 3|m2 1 |3m 3|m2 1解得 m ，所以直线 l 的斜率 k m ，即直线 l 的倾斜角为 30.如图，过33 33点 C 作 CH BD，垂足为 H，所以| CH|2 ，在 Rt CHD 中， HCD30，所以| CD|34.23cos30答案 41.近两年圆的方程成为高
21、考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查2直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上热点课题 14 与圆有关的最值问题11感悟体验1(2018厦门模拟)已知圆 C1：( x2) 2( y3) 21，圆 C2：( x3) 2( y4)29， M， N 分别是圆 C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则| PM| PN|的最小值为( )A5 4 B. 1 C62 D.2 17 2 17解析 两圆的圆心均在第一象限，先求| PC1| P
22、C2|的最小值，作点 C1关于 x 轴的对称点 C 1(2，3)，则(|PC1| PC2|)min| C 1C2|5 ，所以(| PM|2|PN|)min5 (13)5 4.故选 A.2 2答案 A2(2018宁夏银川一中检测)过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C：( x3) 2( y4) 225 交于 A， B 两点， C 为圆心，当 ACB 最小时，直线 l 的方程是_解析 验证得 M(1,2)在圆内，当 ACB 最小时，直线 l 与 CM 垂直，又圆心为(3,4)，则 kCM 1，则 kl1，故直线 l 的方程为 y2( x1)，整理得 x y30.4 23 1答案 x y30专题跟踪
23、训练(二十四)1(2018合肥检测)直线 x( a21) y10 的倾斜角的取值范围是( )A. B.0， 4 34， )C. D. 0， 4 ( 2， ) 4， 2) 34， )解析 由直线方程可得该直线的斜率为 ，又1 0，所以倾斜角的1a2 1 1a2 112取值范围是 .故选 B.34， )答案 B2(2018沈阳质量监测)已知直线 l 过圆 x2( y3) 24 的圆心，且与直线x y10 垂直，则直线 l 的方程为( )A x y20 B x y20C x y30 D x y30解析 由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为 1，由直线方程的斜截式得，y x3，即 x y30，
24、故选 D.答案 D3(2018河北五个一联盟联考)已知直线 l1： mx2 y10， l2： x( m1)y10，则“ m2”是 l1平行于 l2的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 当 m2 时，直线 l1：2 x2 y10，直线 l2： x y10，此时直线 l1与l2平行，所以充分性成立；当 l1 l2时， m(m1)20，即 m2 m20， m2 或m1，经检验 m1 时，直线 l1与直线 l2重合，故 l1 l2时， m2，故必要性成立综上， “m2”是 l1平行于 l2的充分必要条件故选 C.答案 C4(2018陕西西安高三质检)圆： x
25、2 y22 x2 y10 上的点到直线 x y2 距离的最大值是( )A1 B22C1 D2222 2解析 将圆的方程化为( x1) 2( y1) 21，即圆心坐标为(1,1)，半径为 1，则圆心到直线 x y2 的距离 d ，故圆上的点到直线 x y2 距离的最大值为|1 1 2|2 21 d1 ，故选 A.2答案 A5(2018宁夏银川质检)已知圆 C1： x2 y24，圆 C2： x2 y26 x8 y160，则圆 C1与圆 C2的位置关系是( )A相离 B外切 C相交 D内切解析 易知圆 C2的标准方程为( x3) 2( y4) 29，则圆 C1与 C2的圆心的距离为135，又两圆半径
26、之和为 235，所以圆 C1与圆 C2外切，故选 B.32 42答案 B6(2018辽宁第一次质量监测)已知直线 l： y k(x )和圆 C： x2( y1) 21，3若直线 l 与圆 C 相切，则 k( )A0 B. C. 或 0 D. 或 0333 3解析 因为直线 l 与圆 C 相切，所以圆心 C 到直线 l 的距离 d 1，即| 1 3k|1 k2|1 k| ，解得 k0 或 k ，故选 D.3 1 k2 3答案 D7(2018长春二检)圆( x2) 2 y24 关于直线 y x 对称的圆的方程是( )33A( x )2( y1) 243B( x )2( y )242 2C x2(
27、y2) 24D( x1) 2( y )243解析 解法一：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可设所求圆的圆心坐标为( a， b)，则Error!解得Error!所以圆( x2) 2 y24 的圆心关于直线 y x 对称的点的坐标为(1，33)，从而所求圆的方程为( x1) 2( y )24，故选 D.3 3解法二：由于两圆关于直线对称，因此两圆心的连线必与该直线垂直，则两圆心连线的斜率为 ，备选项中只有选项 D 中的圆心与已知圆的圆心连线的斜率为 ，故选 D.3 3答案 D8已知直线 2x( y3) m40( mR)恒过定点 P，若点 P 平分圆x2 y22 x4 y4
28、0 的弦 MN，则弦 MN 所在直线的方程是( )A x y50 B x y30C x y10 D x y10解析 对于直线方程 2x( y3) m40( mR)，取 y3，则必有 x2，所以该直线恒过定点 P(2,3)设圆心是 C，则易知 C(1,2)，所以 kCP 1，3 22 1由垂径定理知 CP MN，所以 kMN1.14又弦 MN 过点 P(2,3)，故弦 MN 所在直线的方程为 y3( x2)即 x y50.答案 A9(2018福州质检)过点 P(1，2)作圆 C：( x1) 2 y21 的两条切线，切点分别为 A， B，则 AB 所在直线的方程为( )A y B y34 12C
29、y D y32 14解析 圆( x1) 2 y21 的圆心为 C(1,0)，半径为 1，以| PC|2 为直径的圆的方程为( x1) 2( y1) 21，将两圆的方程相减得1 12 2 02AB 所在直线的方程为 2y10，即 y .故选 B.12答案 B10(2018河南名校第二次联考)已知 m， n， a， bR，且满足3m4 n6,3 a4 b1，则 的最小值为( )m a2 n b2A. B. C1 D.3 212解析 此题可理解为点 A(m， n)和点 B(a， b)分别在直线 l1：3 x4 y6 与l2：3 x4 y1 上，求 A、 B 两点距离的最小值，| AB| ，因为 l1
30、 l2，m a2 n b2所以| AB|min 1，故选 C.|6 1|32 42答案 C11(2018四川成都二模)已知直线 l 的方程是 y k(x1)2，若点 P(3,0)在直线 l 上的射影为 H， O 为坐标原点，则| OH|的最大值是( )A5 B322 2C. D. 35 2 3 2解析 因为直线 l 的方程是 y k(x1)2，所以直线 l 过定点 M(1，2)则点P(3,0)在直线 l 上的射影 H 在以 PM 为直径的圆上|PM| 2 ，1 32 22 515线段 PM 的中点即圆心 C(1，1)，则| OC| .2因此，当 O， C， H 三点共线时，| OH|取得最大值
31、 .5 2答案 C12(2018安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线l： y2 x4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上若圆 C 上存在点 M，使| MA|2| MO|，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围是( )A. B0,10，125C. D.1，125 (0， 125)解析 因为圆心在直线 y2 x4 上，所以圆 C 的方程为( x a)2 y2( a2) 21.设点 M(x， y)，因为| MA|2| MO|，所以 2 ，化简得x2 y 32 x2 y2x2 y22 y30，即 x2( y1) 24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径
32、的圆上由题意，点 M(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21| CD|21，即 1 3.a2 2a 32由 1 得 5a212 a80，解得 aR；a2 2a 32由 3 得 5a212 a0，解得 0 a .a2 2a 32125所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 .故选 A.0，125答案 A二、填空题13若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_16解析 由题意，得 kOP 2，则该圆在点 P 处的切线方程的斜率为 ，所以所2 01 0 12求切线方程为 y2 (x1)，即 x2 y50.12答案 x2 y5014若圆 C1
33、： x2 y21 与圆 C2： x2 y26 x8 y m0 外切，则实数 m 的值为_解析 因为圆 C2：( x3) 2( y4) 225 m，又因为圆 C1与圆 C2外切，所以 15，解得 m9.25 m答案 915(2018衡水中学模拟)已知直线 ax y10 与圆 C：( x1) 2( y a)21 相交于 A， B 两点，且 ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为_解析 因为 ABC 是等腰直角三角形，所以圆心 C(1， a)到直线 ax y10 的距离 d rsin45 ，即 d ，所以 a1.22 1a2 1 22答案 116(2018南宁测试)过动点 M 作圆：( x2)
34、 2( y2) 21 的切线 MN，其中 N 为切点，若| MN| MO|(O 为坐标原点)，则| MN|的最小值是_解析 解法一：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为 1.设 M(x， y)，则| MO|，| MN| .由| MN| MO|，得 4x4 y70，即 y x，所x2 y2 x 22 y 22 174以| MN| MO| ，当 x 时，x2 y2x2 (74 x)2 2x2 72x 4916 2(x 78)2 4932 78|MN|取得最小值 .4932 728解法二：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为 1.设 M(x， y)，则| MO| ，x2 y2|MN| .由| MN| MO|，得 4x4 y70，即点 M 的轨迹为x 22 y 22 14x4 y70，则由题意知，要使| MN|取得最小值，即| MO|取得最小值，此时| MO|的最小值就是原点到直线 4x4 y70 的距离，即 ，故| MN|的最小值为 .742 42 728 728答案 728
