1、1.3.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的定义与判定,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入 函数f(x)=x2-1,f(x)=- ,f(x)=2x的图象分别如图所示.,想一想 1:(1)导入中三个函数的定义域分别是什么?它们有什么共同特点?,(R;(-,0)(0,+);R.关于原点对称),(2)对于导入中的三个函数计算f(-x),观察对定义域内每个x,f(-x)与f(x)有怎样的关系?,(f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x). f(-x)= ,f(-x)=-f(x). f(-x)=-2x,f(-x)=-f(x),想一想 2:导入中的三个函数的图象具有怎样的对
2、称性?,(图象关于y轴对称;图象关于原点对称),知识探究,奇函数、偶函数的定义 (1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有,那么函数f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数. 探究1:若函数具有奇偶性,则它的定义域有何特点? 答案:定义域关于原点对称.,任意,f(-x)=f(x),任意,f(-x)=-f(x),探究2:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a)是y=f(x)图象上一点,点(-a,-f(a)是否在函数图象上? 答案:由f(-a)=-f(a)知点(-a,-f(a)一定在函数
3、y=f(x)图象上.,【拓展延伸】 判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: 定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域关于原点对称,再判断f(-x)是否等于 f(x),或判断f(x)f(-x)是否等于零,或判断 f(-x)0是否等于1. 图象法:通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性.,性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数;两个奇函数的商(分母不为零)为偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 对于复合函数F(x)=f(g(x):
4、若g(x)为偶函数,f(x)为偶函数,则F(x)为偶函数; 若g(x)为奇函数,f(x)为奇函数,则F(x)为奇函数; 若g(x)为偶函数,f(x)为奇函数,则F(x)为偶函数; 若g(x)为奇函数,f(x)为偶函数,则F(x)为偶函数.,注意:利用上述结论时要注意各函数的定义域必须关于原点对称. (2)用定义判断函数奇偶性的步骤: 定义域(关于原点对称)验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)下结论. (3)判断分段函数奇偶性的步骤: 先看分段函数的定义域(各段自变量范围的并集)是否关于原点对称. 根据奇偶性定义,要判断f(-x)与f(x)的关系,需求出f(-x),因此要判断-x的取
5、值范围,所以要根据x0与x0时,f(-x)要用-x0的解析式. 奇函数的定义要求是对定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),此处对x分x0与x0已讨论完毕.,自我检测,1.(偶函数定义)已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,3a上的偶函数,那么a+ b的值是( ),C,2.(奇函数定义)已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)的值是( ) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)2,A,3.(偶函数定义)f(x)为定义在R上的偶函数,若f(2)=3,则f(-2)等于( ) (A)-3 (B)-2 (C)3 (D)2,C,4.(判断奇偶性)若函数f(x)= 则f(x)为( ) (A
6、)偶函数 (B)奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数,5.(由奇偶性求参数)若函数f(x)= +k是奇函数,则k等于 .,B,答案:0,题型一,函数奇偶性的判定,课堂探究素养提升,规范解答:(1)函数的定义域为R,关于原点对称. 1分 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),2分 因此函数f(x)是奇函数. 3分,【例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x;,规范解答:(2)由 得x2=1,即x=1. 因此函数的定义域为-1,1,关于原点对称. 4分 又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数
7、. 6分,(3)函数f(x)的定义域是(-,-1)(-1,+), 7分 不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 9分,方法技巧 判断函数奇偶性的方法 (1)函数图象法. (2)定义法:求函数f(x)的定义域; 判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步; 结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式; 求f(-x); 根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性:奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,xA,A是关于原点对称的非空数
8、集.,解:(1)因为对于任意的xR,都有f(-x)=(-x)4-1=x4-1=f(x),所以函数f(x)=x4-1是偶函数.,解:(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.因为对于任意的xR,都有f(-x) =2|-x|=2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数. (4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R. 因为f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2f(x)且f(-x)-f(x). 所以函数f(x)是非奇非偶函数.,(3)f(x)=2|x|; (4)f(x)=(x-1)2.,题型二,函数奇偶性的图象特征,【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为-5,5,且在区间0,5上的图象
9、如图所示. (1)画出在区间-5,0上的图象;,(2)写出使f(x)0的x的取值集合.,解:(2)由图象知,使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).,方法技巧 (1)奇函数与偶函数的图象的特点 偶函数的图象关于y轴对称,反之,若f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)为偶函数. 奇函数的图象关于原点对称,反之,若f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数. (2)根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时,应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象,根据图象特征求解问题.,即时训练2-1:如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值是5
10、,则f(x)在-7,-3上是( ) (A)增函数,最小值为-5 (B)增函数,最大值是-5 (C)减函数,最小值为-5 (D)减函数,最大值是-5,解析:由奇函数的图象关于原点对称(如图)可知:f(x)在-7,-3上单调递增,且f(x)max=f(-3)=-f(3)=-5.故选B.,【备用例2】 (2018永州高一期中)已知f(x+1)是偶函数,且f(x)在1,+)上单调递减,若f(2)=0,则f(x)0的解集为( ) (A)(-1,1) (B)(0,1) (C)(1,2) (D)(0,2),解析:因为f(x+1)在R上是偶函数, 所以f(-x+1)=f(x+1),则函数f(x)关于直线x=1
11、对称, 因为f(x)在1,+)上单调递减,且f(2)=0, 所以f(x)在(-,1上单调递增,f(0)=0, 画出函数的示意图.由图得,f(x)0的解集是(0,2),故选D.,题型三,利用函数奇偶性求参数,【例3】 (1)设函数f(x)= 为奇函数,则a= ;,答案:(1)-1,(2)已知函数f(x)= 是奇函数,则a= .,解析:(2)(特值法) 由f(x)为奇函数,得f(-1)=-f(1), 即a(-1)2+(-1)=-(-12+1), 整理得a-1=0, 解得a=1. 答案:(2)1,变式探究:是否存在实数a使函数f(x)= 为偶函数,说明理由.,误区警示 由函数的奇偶性求参数应注意两点
12、 (1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用. (2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.,【备用例3】 已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为m-1,2m. (1)求m,n的值.,解:(1)因为函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数, 所以函数的定义域关于原点对称. 又因为函数f(x)的定义域为m-1,2m. 所以m-1+2m=0,解得m= . 又因为函数f(x)是偶函数, 所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n,解得n=0.,(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值.,题型四 易错辨析奇偶性判断错误致误,【例4】 判断函数f(x)=(x-1) 的奇偶性.,纠错:忽视了函数f(x)的定义域,盲目化简变形,误认为定义域为-1,1,扩大了x的取值范围.,正解:函数f(x)的定义域为-1,1),不关于原点对称, 故函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数.,谢谢观赏！,
