1、空间向量及其运算,从建筑物上找向量的影子,在空间里既有大小又有方向的量叫做空间向量。,阅读教材填写下表,平面向量,空间向量,具有大小和方向的量,具有大小和方向的量,几何表示法,几何表示法,字母表示法,字母表示法,向量的大小,向量的大小,长度为零的向量,长度为零的向量,模为1的向量,模为1的向量,长度相等且方向 相反的向量,长度相等且方向 相反的向量,长度相等且方向相同 的向量,长度相等且方向相同的向量,定义,表示法,向量的模,零向量,单位向量,相反向量,相等向量,一：空间向量的基本概念,例1、给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量 满足 ，则 ； （
2、3）在正方体 中，必有 ； （4）若空间向量 满足 ，则 ； （5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是,（1）（2）（5）,3,O,A,B,结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， ，成为同一平面内的两个向量。,思考：平面是否唯一？,探究一：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？,O,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形
3、法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,O,A,B,C,探究二：空间向量如何进行加减运算？,空间向量的数乘,O,A,B,C,空间向量加法交换律：,探究三：空间向量的加法是否满足交换律？,b + a,a + b,=,O,A,B,C,O,A,B,C,(空间向量),空间向量的加法是否满足结合律？,=,加法交换律：,加法结合律：,空间向量的加法的运算律：,数乘分配律,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减
4、与数乘运算,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,加法交换律,数乘分配律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,A,B,规定零向量与任何向量共线,空间向量共线定理：对于空间任意的两个向量，a,b,(a0），b与a共线的充要条件是存在实数，使b= a,A,B,B,零向量的方向是任意的,如何理解零向量的方向？,共线向量:,零向量与任意向量共线.,共面向量:,1.共面向量:能平移到同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。,平面向量基本定理的内容,存 在
5、性,唯 一 性,如果,是同一平面内的两个不共线向量，,那么对于这一平面的任意向量,一对实数，,使,有且只有,2.共面向量定理 :如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使,推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有,例题1.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且,求证：MN平面CBE,G,H,例2 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式（其中 ）的四点P、A、B、 C是否共面？,例3 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定
6、在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？,已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）求证：BD平面EFGH；(1）要证E、F、G、H四点共面，可寻求x,y使（2）由向量共线得到线线平行，进而得到线面平行.,练习3,证明 （1）连接BG，则由共面向量定理的推论知： E、F、G、H四点共面. （2）因为所以EHBD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH.,复习平面向量的基本定理,如果 ， 是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有 一对实数t1，t2，使,O,C,M,
7、N,对向量 进行分解：,空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗？,二、空间向量的基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯 一的有序实数组(x，y，z)，使,A,B,D,C,O,思路：作,E,如果三个向量 不共面,那么空间的每一个向量都可由向量 线性表示.把 称为空间的一个基底,基底:,基向量:,如果空间一个基底的三个向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.,正交基底:,单位正交基底:,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底.,通常用 表示,设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组( x，y，z)，使,O,A,B,C,P,P,P,注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底 如：,推论：,例：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底 表示向量,O,A,B,C,M,N,G,解：在OMG中，,
