1、- 1 -第 6 课时 直线与平面、平面与平面垂直的判定基础达标(水平一 )1.若平面 外的直线 a 与平面 所成的角为 ,则 的取值范围是( ).A. B. C. D.(0,2) 0,2) (0,2 0,2【解析】当 a 时, = 0;当 a 时, = ;当 a 和 斜交时, 的取值范围是 .综2 (0,2)上, 的取值范围是 .0,2【答案】D2.下列命题: 两个相交平面组成的图形叫作二面角; 异面直线 a,b 分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补; 二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个平面内作射线所成的角的最小角; 二面角的大小与其平面角的
2、顶点在棱上的位置没有关系 .其中正确的是( ).A. B. C. D.【解析】由二面角的定义知, 错误; a,b 分别垂直于两个平面,则 a,b 都垂直于二面角的棱,故 正确; 中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故 错误;由定义知 正确 .故选 B.【答案】B3.如图所示,如果 MC菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( ).A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直【解析】因为 ABCD 是菱形,所以 BD AC.又 MC平面 ABCD,所以 BD MC.因为 AC MC=C,所以 BD平面 AMC.又 MA平面 AMC,所以 MA BD.显然直线 MA
3、与直线 BD 不共面,故选 C.【答案】C4.在正四面体 P-ABC 中, D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下列结论不成立的是( ).A.BC平面 PDFB.DF平面 PAEC.平面 PDF平面 ABCD.平面 PAE平面 ABC- 2 -【解析】如图, DF BC,DF平面 PDF,BC平面 PDF,BC 平面 PDF,故选项 A 成立 .AE BC,PE BC,DF BC,DF AE,DF PE,DF 平面 PAE,故选项 B 成立 .又 DF平面 ABC,平面 PAE平面 ABC,故选项 D 成立 .若平面 PDF平面 ABC,而由 DF AE,则 AE平面PDF,AE P
4、F,又 PF AC,PF 平面 ABC;同理, PD平面 ABC.这样过平面外一点就有两条直线垂直于同一个平面,这是不可能的, 选项 C 不成立 .【答案】C5.如图, BCA=90,PC平面 ABC,则在 ABC, PAC 的边所在的直线中:(1)与 PC 垂直的直线有 ; (2)与 AP 垂直的直线有 . 【解析】(1) PC 平面 ABC,AB,AC,BC平面 ABC.PC AB,PC AC,PC BC.(2) BCA=90,BC AC.又 BC PC,AC PC=C,BC 平面 PAC,BC AP.【答案】(1) AB,AC,BC (2)BC6.在一个倾斜角为 60的斜坡上,沿着与坡脚
5、面的水平线成 30角的道路上坡,行走 100 m,实际升高了 m . 【解析】如图,构造二面角 -AB- ,在直道 CD 上取一点 E,过点 E 作 EG平面 于点 G,过点 G 作 GF AB 于点 F,连接 EF,则 EF AB. EFG 为二面角 -AB- 的平面角,即 EFG=60.EG=EF sin 60=CEsin 30sin 60=100 =25 m.12 32 3【答案】25 37.如图,在矩形 ABCD 中, AB= AD,E 是 AD 的中点,沿 BE 将 ABE 折起至 ABE 的位置,使12AC=AD.求证:平面 ABE平面 BCDE.- 3 -【解析】如图,取 CD
6、的中点 M,BE 的中点 N,连接 AM,AN,MN,则 MN BC.AB= AD,E 是 AD 的中点,12AB=AE ,即 AB=AE.AN BE.AC=AD ,AM CD.在四边形 BCDE 中, CD MN.又 MN AM=M,CD 平面 AMN,CD AN.DE BC,且 DE= BC,BE 与 CD 必相交 .12AN 平面 BCDE.又 AN平面 ABE, 平面 ABE平面 BCDE.拓展提升(水平二)8.已知 ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论错误的是( ).A.BD平面 CB1D1 B.AC1 BDC.AC1平面 CB1D1 D.AC1 BD1【解析】在正方体 A
7、BCD-A1B1C1D1中, BD B1D1,因此 BD平面 CB1D1,选项 A 正确;由 BD AC,BD CC1可得 BD平面 ACC1,因此 BD AC1,选项 B 正确;由以上可得 AC1 B1D1,同理 AC1 D1C,因此 AC1平面 CB1D1,选项 C 正确;因为四边形 ABC1D1不是菱形,所以 AC1 BD1不正确 .故选 D.【答案】D9.如图所示,在三棱锥 A-SBC 中, BSC=90, ASB= ASC=60,SA=SB=SC,则直线 AS 与平面SBC 所成的角为( ).A.120 B.60C.45 D.30【解析】因为 ASB= ASC=60,SA=SB=SC
8、,所以 ASB 与 SAC 都是等边三角形 .所以 AB=AC.如图所示,取 BC 的中点 D,- 4 -连接 AD,SD,则 AD BC.设 SA=a,则在 Rt SBC 中, BC= a,CD=SD= a.222在 Rt ADC 中, AD= = a.2-222则 AD2+SD2=SA2,所以 AD SD.又 BC SD=D,所以 AD平面 SBC.因此 ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所成的角 .在 Rt ASD 中, SD=AD= a,22所以 ASD=45,即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45.【答案】C10.正方形 ABCD 的边长为 12 cm,PA平面 ABC
9、D,且 PA=12 cm,则点 P 到 BD 的距离为 . 【解析】连接 AC,BD 交于点 O,易得 PO BD,则 OP 为点 P 到 BD 的距离 .又 PA=12 cm,AO= AB=6 cm,222PO= =6 cm.2+2 6【答案】6 cm611.如图, A 是平面 BCD 外的一点, ABD, ACD 都是以 D 为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD, BAC=60.求证: BD平面 ADC.【解析】令 AD=BD=CD=a, 在 Rt ABD 中, AB= a,2在 Rt ACD 中, AC= a.2 在 BAC 中, BAC=60,且 AB=AC= a,2BC= a,2BC 2=BD2+CD2, BDC=90,BD DC.又 BD AD,AD DC=D,BD 平面 ADC.
