1、1第 1 讲 直线与圆考情考向分析 高考考查重点是求直线和圆的方程、直线间的平行和垂直关系、距离、直线与圆的位置关系，此类问题难度属于中档，偶尔出现解答题其中直线方程和圆的标准方程与一般方程是 C 级要求热点一 直线、圆的方程例 1 (1)在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M(1,0)的直线 l 与圆 x2 y25 交于 A， B 两点，其中点 A 在第一象限，且 2 ，则直线 l 的方程为_BM MA 答案 x y10解析 方法一 易知 l 的斜率必存在，设 l： y k(x1)由 2 ，可设BM MA BM2 t， MA t，如图，过原点 O 作 OH l 于点 H，则 BH .设 OH
2、 d，在 Rt OBH 中， d2 2 r25，在 Rt3t2 (3t2)OMH 中， d2 2 OM21，解得 d2 .所以 d2 ，解得 k1 或 k1，因为点 A(t2) 12 k2k2 1 12在第一象限， 2 ，由图知 k1，所以 l： x y10.BM MA 方法二 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 (1 x2， y2)， ( x11， y1)因为 2BM MA BM ，所以有Error!即Error!MA 又Error! 代入可得Error!解得 x12，代入可得 y11，又点 A 在第一象限，故 A(2,1)，由点 A 和点 M 的坐标可得直线 AB 的方程为
3、 x y10.(2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1： x2 的右侧，若圆 M 截直线 l1所得的弦长为 2 ，且与直线 l2：2 x y40 相切，则圆 M 的方程为_3 5答案 ( x1) 2 y242解析 由已知，可设圆 M 的圆心坐标为( a,0)， a2，半径为 r，则Error!解得Error!圆 M 的方程为( x1) 2 y24.思维升华 求具备一定条件的直线或圆的方程时，其关键是寻找确定直线或圆的两个几何要素，待定系数法也是经常使用的方法，解题时要注意平面几何知识的应用跟踪演练 1 (1)过点 P(4,0)的直线 l 与圆 C：( x1) 2 y25 相交于
4、 A， B 两点，若点 A恰好是线段 PB 的中点，则直线 l 的方程为_答案 x3y40解析 设 AB 的中点为 D，则 CD AB，设 CD d， AD x，则 PA AB2 x，在 Rt ACD 中，由勾股定理得 d2 x2 r25，在 Rt PDC 中，由勾股定理得 d29 x2 CP225，由解得 d2 .52易知直线 l 的斜率一定存在，设为 k，则 l： y k(x4)，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 d ，|5k|k2 1 102解得 k2 ， k ，19 13所以直线 l 的方程为 y (x4)，13即为 x3y40.(2)若圆上一点 A(2,3)关于直线 x2 y0
5、 的对称点仍在圆上，且圆与直线 x y10 相交的弦长为 2 ，则圆的方程为_2答案 ( x6) 2( y3) 252 或( x14) 2( y7) 2244解析 设圆的方程为( x a)2( y b)2 r2，点 A(2,3)关于直线 x2 y0 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x2 y0 上，即 a2 b0，且(2 a)2(3 b)2 r2.而圆与直线 x y10 相交的弦长为 2 ，2故 r2 22，(a b 12 )由，解得Error!或Error!所以所求圆的方程为( x6) 2( y3) 252或( x14) 2( y7) 2244.3热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系例 2 (
6、2018江苏仪征中学检测)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C： x2 y24 x0 及点 A ， B .( 1， 0) (1， 2)(1)若直线 l 平行于 AB，与圆 C 相交于 M， N 两点， MN AB，求直线 l 的方程；(2)在圆 C 上是否存在点 P，使得 PA2 PB212 ？若存在，求点 P 的个数；若不存在，请说明理由解 (1)圆 C 的标准方程为 2 y24，(x 2)所以圆心 C ，半径为 2.(2， 0)因为 l AB, A ， B ，所以直线 l 的斜率为 1，( 1， 0) (1， 2)2 01 ( 1)设直线 l 的方程为 x y m0, 则圆心 C
7、到直线 l 的距离为 d .|2 0 m|2 |2 m|2因为 MN AB 2 ，22 22 2而 CM2 d2 2，所以 4 2, (MN2) (2 m)22解得 m0 或 m4，故直线 l 的方程为 x y0 或 x y40.(2)假设圆 C 上存在点 P，设 P ，(x， y)则 2 y24，(x 2)PA2 PB2 2 2 2 212，即 x2 y22 y30，即(x 1) (y 0) (x 1) (y 2)x2 24, (y 1)因为 0，8 a35， a1.|8a 3|82 ( 6)2 12故圆 M 的方程为 2 y21.(x 1)(2)由已知可设 AC 的斜率为 k1， BC 的
8、斜率为 k2，则直线 AC 的方程为 y k1x t，直线 BC 的方程为 y k2x t6.由方程组Error!得 C 点的横坐标为 x0 .6k1 k2 AB t6 t6， S 6 ，12| 6k1 k2| 18k1 k2圆 M 与 AC 相切，1 ， k1 ，|k1 t|1 k21 1 t22t同理， k2 ， k1 k2 ，1 (t 6)22(t 6) 3(t2 6t 1)t2 6t S 6 ，5 t2，6(t2 6t)t2 6t 1 (1 1t2 6t 1)2 t31，8 t26 t14， Smax6 ， Smin6 ，(114) 152 (1 18) 274 ABC 的面积 S 的
9、最大值为 ，最小值为 .152 274A 组 专题通关1直线过点(5,4)且与坐标轴正半轴围成的三角形面积为 5，则此直线方程为_答案 2 x5 y100解析 设所求直线在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 1， a0， b0.xa yb依题意有Error!解得Error!故所求直线方程为 2x5 y100.92已知圆心在 x 轴上，半径为 的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x2 y0 相切，则圆 O5的方程是_答案 ( x5) 2 y25解析 设圆心为( a,0)(a0)，则 r ，解得 a5.|a 20|12 22 5所以圆 O 的方程是( x5) 2 y2
10、5.3在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2 y30 被圆( x2) 2( y1) 24 截得的弦长为_答案 2555解析 圆心为点(2，1)，半径 r2.圆心到直线的距离 d ，|2 2 1 3|1 4 355所以弦长为 2 2 r2 d222 (355)2 .25554已知点 P(t,2t)(t0)是圆 O： x2 y21 内一点，直线 tx2 ty m 与圆 O 相切，则直线x y m0 与圆 O 的位置关系是_答案 相交解析 由点 P(t,2t)(t0)是圆 O： x2 y21 内一点，得 |t|1.5因为直线 tx2 ty m 圆 O 相切，所以 1，|m|5|t|所以| m|1.
11、又圆 O： x2 y21 的圆心 O(0,0)到直线 x y m0 的距离 d 1 r.|m|2所以位置关系为“相交” 5过原点 O 作圆 x2 y26 x8 y200 的两条切线，设切点分别为 P， Q，则线段 PQ 的长为_答案 4解析 圆的标准方程为(x3) 2( y4) 25，可知圆心为 C(3,4)，半径为 .510如图可知， CO5， OP 2 .25 5 5设 OC 与 PQ 的交点为 M，在 Rt POC 中，OCPM OPPC， PM 2. PQ 2PM4.25556(2018无锡期末)过圆 x2 y216 内一点 P(2,3)作两条相互垂直的弦 AB 和 CD，且AB CD
12、，则四边形 ACBD 的面积为_答案 19解析 根据题意画图，连结 OP， OA ，过 O 作 OE AB ， OF CD ， E 为 AB 的中点， F 为 CD 的中点，又 AB CD ， AB CD ，四边形 EPFO 为正方形，由圆的方程得圆心 O(0,0)，半径 r4 ， OP2 23 213， OE2 ( 2)132AE2 OA2 OE216 ，132 192 AE ， AB CD ，192 38 S 四边形 ACBD ABCD19.127若 O1： x2 y25 与 O2：( x m)2 y220( mR)相交于 A， B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的
13、长度是_答案 4解析 由题意知 O1(0,0)， O2(m,0)，且 | m|3 ，5 5又 O1A AO2， m2( )2(2 )225， m5，5 511 AB2 4.52558已知圆 C1：( x2) 2( y3) 21，圆 C2：( x3) 2( y4) 29， M， N 分别是圆 C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM PN 的最小值为_答案 5 42解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求 PC1 PC2的最小值，作点 C1关于 x 轴的对称点 C1(2，3)，则( PC1 PC2)min C1 C25 .2所以( PM PN)min5 4.29已知圆 C
14、过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l： y x1 被圆 C 所截得的弦长为 2 ，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_2答案 x y30解析 由题意，设所求的直线方程为 x y m0，设圆心坐标为( a,0)，则由题意知，22( a1) 2，解得 a3 或1，(|a 1|2 )又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a3，故圆心坐标为(3,0)因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以 30 m0，即 m3，故所求的直线方程为 x y30.10已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：( x2) 2( y3) 21 交于 M， N 两点(1)求 k 的取值范围；
15、(2)若 12，其中 O 为坐标原点，求 MN.OM ON 解 (1)由题设可知，直线 l 的方程为 y kx1，因为 l 与 C 交于两点，所以 1.|2k 3 1|1 k2解得 k .4 73 4 73所以 k 的取值范围为 .(4 73 ， 4 73 )(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)将 y kx1 代入方程( x2) 2( y3) 21，整理得(1 k2)x24(1 k)x70. x1,2 ，41 k 12k2 32k 1221 k212 x1 x2 ， x1x2 .41 k1 k2 71 k2 x1x2 y1y2OM ON (1 k2)x1x2 k(x1 x2)1
16、8.4k1 k1 k2由题设可得 812，4k1 k1 k2解得 k1，所以 l 的方程为 y x1.故圆心 C 在 l 上，所以 MN2.B 组 能力提高11圆心 M 在曲线 y218 x 上，圆 M 与 y 轴相切且与圆 C：( x2) 2( y3) 21 外切，则圆 M 的方程为_答案 2( y3) 2 或( x2) 2( y6) 24(x12) 14解析 设圆 M：( x a)2( y b)2 r2， b218 a， r| a|， a ， r ，b218 b218圆心 C(2,3)， rc1，又圆 M 与圆 C 外切，则 MC r rc，即 r1，a 22 b 32即 1，( b218
17、 2)2 b 32 b218解得 b3 或 b6.圆 M 的方程为 2( y3) 2 或( x2) 2( y6) 24.(x12) 1412已知以 O 为圆心的圆与直线 l： y mx(34 m)(mR)恒有公共点，且要求圆 O 的面积最小，则圆 O 的方程为_答案 x2 y225解析 因为直线 l： y mx(34 m)过定点 T(4,3)，由题意知，要使圆 O 的面积最小， 定点 T(4,3)在圆上，所以圆 O 的方程为 x2 y225.13已知圆 O 的半径为 1， PA， PB 为该圆的两条切线， A， B 为两切点，那么 的最小PA PB 值为_答案 32 2解析 如图所示，13设
18、PA PB x(x0)， APO ，则 APB2 ， PO ，1 x2sin .11 x2 | | |cos 2 x2(12sin 2 )PA PB PA PB ，x2x2 1x2 1 x4 x2x2 1令 y，则 y ，PA PB x4 x2x2 1即 x4(1 y)x2 y0.因为 x2是实数，所以 (1 y)241( y)0，y26 y10，解得 y32 或 y32 .2 2又因为 x20，所以Error!所以 y . 3 22， 0)故( )min32 .PA PB 214(2018江苏省如皋中学月考)已知圆 O： x2 y24.(1)直线 l1： x y2 0 与圆 O 相交于 A，
19、 B 两点，求弦 AB 的长度；3 3(2)如图，设 M ， P 是圆 O 上的两个动点，点 M 关于原点的对称点为 M1，点(x1， y1) (x2， y2)M 关于 x 轴的对称点为 M2，如果直线 PM1， PM2与 y 轴分别交于 和 ，问 mn 是否为(0， m) (0， n)定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解 (1)由于圆心 到直线 l1： x y2 0 的距离 d .(0， 0) 3 3| 23|2 3圆的半径 r2，所以 AB2 2.r2 d2(2)由于 M(x1， y1)，点 M 关于原点的对称点为 M1，点 M 关于 x 轴的对称点为 M2，可得 M1 ， M2 ，( x1， y1) (x1， y1)由 M(x1， y1)， P(x2， y2)是圆 O 上的两个动点，可得 x y 4, x y 4.21 21 2 214直线 PM1的方程为 ，令 x0，y y1y2 y1 x x1x2 x1求得 y m .x1y2 x2y1x2 x1直线 PM2的方程为 ，令 x0，y y1y2 y1 x x1x2 x1求得 y n . x1y2 x2y1x2 x1mn 4.x2y21 x21y2x2 x21 x2(4 x21) x21(4 x2)x2 x21故 mn 为定值
