1、1五大技巧，简化解析几何运算解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键技巧一 利用定义，回归本质例 1 (1)已知点 F 为抛物线 y28 x 的焦点， O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点， A在抛物线上，且 AF4，则 PA PO 的最小值是_答案 2 13解析 如图，可求 A ，再求 A 关于抛物线
2、的准线 x2 的对称点 A ，( 2， 4) ( 2， 4) (6， 4)因此 PA PO PA PO，当 O， P， A三点共线时 PA PO 取到最小值即min A O 2 .(PA PO) 62 42 13(2)如图， F1， F2是椭圆 C1： y21 与双曲线 C2的公共焦点， A， B 分别是 C1， C2在第二、x24四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是_2答案 62解析 由已知，得 F1( ，0)， F2( ，0)，3 3设双曲线 C2的实半轴长为 a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得Error! 解得 a22，故 a .所以双曲线 C2的离心率 e
3、.232 62跟踪演练 1 (1)已知椭圆 1 内有两点 A(1,3)， B(3,0)， P 为椭圆上一点，则x225 y216PA PB 的最大值为_答案 15解析 由椭圆方程可知点 B 为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为 B，由椭圆的定义可知 PB2 a PB10 PB，则 PA PB10 ，(PA PB )很明显， max AB(PA PB ) 5，( 3 1)2 (0 3)2据此可得 PA PB 的最大值为 10515.(2)抛物线 y24 mx(m0)的焦点为 F，点 P 为该抛物线上的动点，若点 A( m,0)，则 的PFPA最小值为_答案 22解析 设点 P 的坐标为( xP， y
4、P)，由抛物线的定义，知 PF xP m，又 PA2( xP m)2 y2P( xP m)24 mxP，则 2(PFPA) (当且仅当 xP m 时取等号)，xp m2xp m2 4mxP 11 4mxPxP m2 11 4mxP2xPm2 12所以 ，所以 的最小值为 .PFPA 22 PFPA 223技巧二 设而不求，整体代换例 2 (1)已知直线 l 交椭圆 4x25 y280 于 M， N 两点，椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点，若 BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线 l 的方程是_答案 6 x5 y280解析 由 4x25 y280 得 1，x220 y216椭圆上顶点为
5、 B(0,4)，右焦点 F(2,0)为 BMN 的重心，故线段 MN 的中点为 C(3，2)直线 l 的斜率存在，设为 k，点 M(x1， y1)， N(x2， y2)在椭圆上，Error!4( x1 x2)(x1 x2)5( y1 y2)(y1 y2)0， k .y1 y2x1 x2 45 x1 x2y1 y2 45 6 4 65直线 l 的方程为 y2 (x3)，即 6x5 y280.65(2)设椭圆 C： 1 与函数 ytan 的图象相交于 A1， A2两点，若点 P 在椭圆 C 上，x24 y23 x4且直线 PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是_答案 38
6、， 34解析 由题意，得 A1， A2两点关于原点对称，设 A1(x1， y1)， A2( x1， y1)， P(x0， y0)，则 1， 1，x214 y213 x204 y203即 y (4 x )， y (4 x )，2134 21 20 34 20两式相减整理，得 .y0 y1x0 x1 34 x0 x1y0 y1 34 1kPA1因为直线 PA2的斜率的取值范围是2，1，所以2 1，y0 y1x0 x14所以2 1PAk1，解得 1PAk34 38 34跟踪演练 2 (2018全国大联考江苏卷)已知椭圆 M: 1( ab0)的离心率为 ，过x2a2 y2b2 22其左焦点 F( c,
7、0)的直线交椭圆 M 于 A， B 两点，若弦 AB 的中点为 D(4,2)，则椭圆 M 的方程是_答案 1x272 y236解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由中点坐标公式得 x1 x28， y1 y24.将 A， B 的坐标分别代入 M 的方程中得Error!两式相减，化简得 ，y1 y2x1 x2 2b2a2又因为 A， B， D， F 四点共线，所以 ，所以 a2 b2(c4)2 0c 4 y1 y2x1 x2 2b2a2由Error! 解得Error!所以椭圆 M 的方程为 1.x272 y236技巧三 根与系数的关系，化繁为简例 3 已知椭圆 ： 1( ab0)的
8、左、右焦点分别为 F1， F2，短轴的两个顶点与x2a2 y2b2F1， F2构成面积为 2 的正方形(1)求椭圆 的方程；(2)直线 l 与椭圆 在 y 轴的右侧交于点 P， Q，以 PQ 为直径的圆经过点 F2， PQ 的垂直平分线交 x 轴于 A 点，且 ，求直线 l 的方程OA 611OF2 解 (1)因为椭圆 C 的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以 b c，因为 S a22，所以 a ， b c1，25故椭圆 的方程为 y21.x22(2)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，直线 l 的斜率存在，设直线 l： y kx m，显然 k0，由Error! 得(12 k
9、2)x24 kmx2( m21)0，因为 x1,2 4km82k2 m2 121 2k2所以 x1 x2 ， x1x2 ， 4km1 2k2 2m2 11 2k2 8(2 k2 m21)0，(*)y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2 ，m2 2k21 2k2y1 y2 kx1 m kx2 m k(x1 x2)2 m ，2m1 2k2由 0，得( x11)( x21) y1y20，PF2 QF2 即 x1x2( x1 x2)1 y1y20，得 3m214 km0，即 k ，1 3m24mPQ 的中点为点 C ，( 2km2k2 1， m2k2 1)所以线
10、段 PQ 的中垂线 AB 的方程为 ym2k2 1 ，1k(x 2km2k2 1)令 y0，可得 A ，( km2k2 1， 0)由 ，得 ，OA 611OF2 km2k2 1 611将 k 代入上式，得 ，1 3m24m 3m4 m29m4 2m2 1 311即 6m417 m230，解得 m23，所以 m ， k 或 m ， k ，3233 3 233经检验满足(*)式，所以直线 PQ 的方程为2x y30 或 2x y30.3 3跟踪演练 3 (2018连云港期末)过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A, B 两点，若 2 ，则直线 AB 的斜率为_FA BF 答案 2
11、 26解析 当直线 AB 的斜率不存在时，不满足题意抛物线 C 的焦点 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 y k(x1)，联立Error! 可得 k2x22(2 k2)x k20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1,2 ，22 k242 k22 4k42k2则 x1 x2 ， x1x21，2(2 k2)k2y1 y2 k(x1 x22) ，4k ( x11， y1)， (1 x2， y2)，FA BF 2 ，即Error!Error!FA BF 联立可得， x2 ， y2 ，k2 4k2 4k代入抛物线方程 y24 x 可得 k28，故 k2 .2技巧四 平几助力，事半
12、功倍例 4 (1)已知直线 y kx1( k0)交抛物线 x24 y 于 E， F 两点，以 EF 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为 2 ，则 k_.7答案 1解析 直线 y kx1 恒过定点 ，(k 0) (0， 1)则 EF yE yF p，圆心到 x 轴的距离为 d ，圆的半径为 r ，yE yF2 EF2联立Error! 消去 x 得， y22 y10，(1 2k2)则 yE yF2 ，(1 2k2)所以根据垂径定理有 2 2 2，(EF2) (yE yF2 ) (7)代入计算得 k1.(2)已知 P 是抛物线 y24 x 上的动点，点 Q 在圆 C： 2 21 上，点 R 是点 P(
13、x 3) (y 3)在 y 轴上的射影，则 PQ PR 的最小值是_答案 3解析 根据抛物线的定义，可知 PR PF1，而 PQ 的最小值是 PC1，所以 PQ PR 的最小值就是 PF PC2 的最小值，7当 C， P， F 三点共线时， PF FC 最小，最小值是 CF 5 ， 3 12 3 02所以 PQ PR 的最小值是 3.跟踪演练 4 已知抛物线 y22 px 的焦点 F 与双曲线 1 的右焦点重合，抛物线的准x27 y29线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上，且 AK AF，则 AFK 的面积为_2答案 32解析 双曲线 1 的右焦点为点(4,0)，即为抛物线 y22 p
14、x 的焦点 ，所以x27 y29 (p2， 0)4，即 p8，所以抛物线的方程为 y216 x，其准线为 x4，所以 K(4,0)，过 A 作p2AM 垂直于准线，垂足为 M，则 AM AF，所以 AK AM，所以 MAK45，所以2AM MK AF，从而易知四边形 AMKF 为正方形，所以 KF AF，所以 AFK 的面积为 KF232.12技巧五 巧设参数，方便计算例 5 (2018无锡期末)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 是椭圆 C： y21 上位于x24第一象限的点， O 为坐标原点， A， B 分别为椭圆 C 的右顶点和上顶点，则四边形 OAMB 的面积的最大值为_答案 2
15、解析 S 四边形 OAMB S OAB S AMB (2 d)，其中 d 为点 M 到直线 AB 的距离，12(2 ABd) 12 5当 M 到直线 AB 距离最远时 S 四边形 OAMB取得最大值，设 M(2cos ，sin )，直线AB： x2 y20，所以 d ，故 S 四|2cos 2sin 2|5 |22sin( 4) 2|5 22 25边形 OAMB的最大值为 .2跟踪演练 5 过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，点 O 是原点，若AF3，则 AOB 的面积为_答案 3228解析 设 AFx (0 )及 BF m， AF3，点 A 到准线 l： x1 的距离为 3，23cos 3，cos ，13 m2 mcos( )， m ，21 cos 32cos ，0 ，sin ，13 223 AOB 的面积为 S OFABsin 1 .12 12 (3 32) 223 322
