1、1第一章 第 3 节一元二次方程根与系数的关系专项练习三三、填空题专项训练 1：1阅读材料：设一元二次方程 cbxay+=2的两根为 1x， 2，则两根与方程系数之间有如下关系： 12bxa， 12cx根据该材料填空：已知 1， 2是方程 40的两实数根，则 21x的值为_ 2若 m、n 是一元二次方程 x25x2=0 的两个实数根，则 m+nmn= 3如果 、 是一元二次方程 31 0的两个根，那么 ；的值是24_4已 知 2 3是关于 x 的方程 x24xC=0 的根，则另一根为_，C 为_5关于 x的一元二次方程 034k有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是_6已知一元二次方程 x2
2、+3x+m=0 的一个根为-1，则另一个根为_7若 0abc， a，则方程 20axbc必有一个根是_.8设 x1，x 2是方程 x2x201 30 的两实数根，则 x132014x 22013 9已知 x1， x2是一元二次方程 x2+2（ m+1） x+m21=0 的两实数根，且满足（ x1 x2） 2=16 x1x2，实数 m 的值为_10 （关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根为 2，则它的另一个根为 11已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 的两实根，那么 m+n 的最大值是_.12如果关于 x 的方程 m2x2（m2）x+1=0 的两个实数根互为倒数，那么 m
3、=_.13已知 a 是方程 +3x6=0 的一个根，则代数式 3a（2a+1）（2a+1） （2a1）的值为 14已知 a，b 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根，则 a2b10+ab 2的值为_15若关于 x 的方程（k-1）x 2-4x+5=0 有实数根, 则 k 的取值范围是_.16若关于 x 的一元二次方程（m1）x 2+2x2=0 有实数根，则 m 满足_217阅读材料：设一元二次方程 20axbc (a0)的两根为 1x， 2，则两根与方程的系数之间有如下关系： 1x+ 2 ba， 1x 2 c.根据该材料完成下列填空：已知 m， n是方程 015260x的两根，则（1） m+
4、 n_, n_；（2） （ 27m） （ 2017n）_.18关于 x 的方程 x2(2 m1) x m210 的两实数根为 x1、 x2，且 3，则 m_.19设一元二次方程 x23 x10 的两根分别是 x1， x2，则 x1 x2( 3 x2)_.20已知 、 是一元二次方程 x2-4x-3=0 的两实数根，则(-3)(-3)_21已知 x1，x 2是关于 x 的方程（x2） （x3）=（n2） （n3）的两个实数根则：（1）两实数根 x1，x 2的和是_；（2）若 x1，x 2恰是一个直角三角形的两直角边的边长，那么这个直角三角形面积的最大值是_22已知 x1， x2是关于 x 的一元
5、二次方程 x25 x a0 的两个实数根，且 10，则a_23设 m， n 是一元二次方程 x22 x70 的两个根，则 m23 m n_.24设 x1，x 2是一元二次方程 x2+5x3=0 的两根，且 2x1（x 22+6x23）+a=4，则 a=_25如果 m、 n 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式_ 26己知 、 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是_.34答案：16试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值解：根据题意得 1x + 2=-4， 1x 2=2，2
6、1x= -2=8-2=6故答案为 627试题分析：根据根与系数的关系得到 m+n=5，mn=2，然后利用整体代入的方法计算即可解：根据题意得 m+n=5，mn=2，所以 m+nmn=5（2）=7故答案为 73 （1）-3；（2）-2试题分析：因为 、 是一元二次方程 231 0x的两个根，所以 3ba，20，所以 23，所以 24(3)()1242- 31试题解析：关于 x 的方程 x2-4x+C=0 的一个根是 2+ ，设方程的另一根为 t，则 2+ 3+t=4，解得，t=2- 3根据根与系数的关系得：C=（2+ ）（2- 3）= 4-3=155k 43且 k0试题分析：本题主要考查了一元二
7、次方程的根的判别式解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为 0”这一条件根据一元二次方程 kx2-4x+3=0 有两个不相等的实数根，知=b 2-4ac0，然后据此列出关于 k 的方程，解方程即可解：kx 2-4x+3=0 有两个不相等的实数根，=16-12k0，且 k0，解得，k 43且 k0；故答案是：k 且 k0考点：根的判别式6-2试题分析：设另一个根是 x，由根与系数的关系可得：x+（-1）=-3，所以 x=-27 1x试题分析：观察所给条件和原方程，试根可得有一根必为 1x.82014解析：关于两根的对称式，我们可以利用根与系数的关系求出它的值此题中待求的式子不是两根的对称式，因
8、此需转化根据根的定义得到等式，这个等式是解题的关键，利用它既可以把x1的 3 次降为 x1的 1 次，又可以把不对称的式子转化为对称的式子依题意可知 x1x 21，x 1x22013，且 x12x 120130x 12x 12013将式两边同时乘以 x1，得 x13x 122013x 1将代入，得x132014x 12013x 132014x 220132014x 120132014x 220132014(x 1x 2)201491解：由题意有=2（ m+1） 24（ m21）0，整理得 8m+80，解得 m1，由两根关系，得x1+x2=2（ m+1） ， x1x2=m21， （ x1 x2）
9、 2=16 x1x2（ x1+x2） 23 x1x216=0，2（ m+1） 23（ m21）16=0， m2+8m9=0，解得 m=9 或m=1 m1， m=1104试题分析：设方程的另一个根为 t，根据根与系数的关系得 2+t=2，然后解一次方程即可解：设方程的另一个根为 t，根据题意得 2+t=2，6所以 t=4故答案为：4114分析：根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系进行分析解答即可.详解：关于 x 的一元二次方程 有两个实数根，= ，解得： ，m、n 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根， ，当 时，m+n 的值最大，最大值为 4.故答案为：4.点拨：解答本题
10、有以下两个要点：（1）一元二次方程 有实数根的条件是“根的判别式 ”；（2）若一元二次方程 有两个实数根 m、n，则 .12-1解析：设关于 x的方程 210mx的两根是： 12x、 ，则 12，又原方程的两根互为倒数， 2m，解得： 12， .当 时，原方程为： 10x，此时方程没有实数根；当 时，原方程为： 23，此时方程有实数根； 1.137.试题分析：首先把代数式 3a（2a+1）（2a+1） （2a1）去括号合并同类项得到 2a+3a+1，然后把 a 代入方程 2x+3x6=0 得到 2a+3a=6，所以 2a+3a+1=6+1=7.即代数式 3a（2a+1）（2a+1） （2a1）
11、的值为 7.7故答案为：7140试题解析： 是方程 的两个实数根.15k 95且 k1试题分析：根据一元二次方程的定义和的意义得到 k-10，即 k1，且0，然后求出这两个不等式解的公共部分即为 k 的取值范围试题解析：关于 x 的方程（k-1）x 2-4x+5=0 有两个实数根，k-10，即 k1，且0，即 42-4（k-1）50，解得 k 95，k 的取值范围为 k 95且 k116m 12且 m1解析：一元二次方程有实数根， m10，即 m1； b24 ac=224（ m1）（2）=8 m40，即 m 12； m 1且 m1.故答案为 m 2且 m1.点拨：（1）一元二次方程二次项系数不
12、能为 0；（2）若一元二次方程有两个不相等的实数根，那么 b24 ac0；若一元二次方程有两个相等的实数根，那么 b24 ac=0；若一元二次方程没有实数根，那么 b2 4ac0.17 2015 2016 2解：（1）根据题意得 m+n=2015， mn=2016；（2） m， n 是方程 x22015 x+2016=0 的两根， m22015 m+2016=0， n22015 n+2016=0， m2=2015m2016， n2=2015n2016，（ m22016 m+2017） （ n22016 n+2017）=（2015 m2016-2016 m+2017） （2015 n2016-2
13、016 n+2017）=（ m+1） （ n+1）8=mn（ m+n）+1=20162015+1=2故答案为：2015，2016，2点拨：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1， x2，则 x1+x2= ba， x1x2= c也考查了一元二次方程的解，注意通过降次代入简化计算180分析：根据方程 x2-（2m-1）x+m 2-1=0 的两实数根为 x1，x 2，得出 x1+x2与 x1x2的值，再根据x12+x22=3，即可求出 m 的值详解：方程 x2-（2m-1）x+m 2-1=0 的两实数根为 x1，x 2，x 1+x2=2m-1，x
14、 1x2=m2-1，x 12+x22=（x 1+x2） 2-2x1x2=（2m-1） 2-2（m 2-1）=3，解得：m 1=0，m 2=2（不合题意，舍去） ，m=0；故答案为：0点拨：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=- ， x1x2= ，求出两根之和与两根之积，再根据完全平方式变形代入即可求解，是中档题.193解析：一元二次方程 x23 x10 的一个根是 x2，即可得 23 x210，所以 2x3 x21，再由根与系数的关系可得 x1 x23，所以 x1 x2( 3 x2)31=3.20-6试题解析： ,是方程 240的两个实数
15、根.43.bcaa393496.故答案为： 6.21 5 289试题分析：（1）化简此方程为 2250xn，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知 25bxa， 12ca；（2）同（1）可知三角形的面积为： 2212155Sxnn，根据二次函数的性质可知面积的最大值为： 24acb=0842.22 分析：由两根关系，得 x1+x2=5， x1x2=a，解方程得到 x1 x2=2，即可得到结论详解：由两根关系，得 x1+x2=5， x1x2=a，由 x12 x22=10 得：（ x1+x2） （ x1 x2）=10，若 x1+x2=5，即 x1 x2=2，（ x1 x2） 2=（ x1+x2）
16、24 x1x2=254 a=4， a= 故答案为： 235试题分析：根据根与系数的关系可知 m+n=2，又知 m 是方程的根，所以可得 m2+2m7=0，最后可将 m2+3m+n 变成 m2+2m+m+n，最终可得答案 设 m、n 是一元二次方程 x2+2x7=0 的两个根， m+n=2，m 是原方程的根， m 2+2m7=0 ，即 m2+2m=7， m 2+3m+n=m2+2m+m+n=72=52410试题分析：根据一元二次方程的解，由 x2是一元二次方程 x2+5x3=0 的根，代入可得x22+5x23=0，即 x22+5x2=3，然后根据题意 2x1（x 22+6x23）+a=4，可得
17、2x1x2+a=4，再根据一元二次方程根与系数的关系 x1+x2=- ，x 1x2= ，由 x1，x 2是一元二次方程 x2+5x3=0 的两根，求得x1x2=3，即 2（3）+a=4，解方程得 a=10252008 分析：根据题意知 m、n 是关于 x 的方程 x2-2x-1=0 的两不等的实数根；然后利用根与系数的关系求得 m+n=2；最后将 m+n、m 2、n 2的值代入所求的代数式并求值即可10详解：m、n 是两个不相等的实数，且满足 m2-2m=1，n 2-2n=1，m、n 是关于 x 的方程 x2-2x-1=0 的两不等的实数根，m+n=2；又 m2-2m=1，n 2-2n=1，m 2=2m+1，n 2=2n+1，2m 2+4n2-4n+1994=2（2m+1）+4（2n+1）-4n+1994=4m+2+8n+4-4n+1994=4（m+n）+2000=42+2000=2008；故答案是：2008点拨：本题考查了代数式求值、根与系数的关系将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法26 试题解析： a， b 是一元二次方程 x2-6x+5=0 的两个实数根， a+b=6， ab=5，
