1、1124 分项练 10 立体几何1已知 a， b 为异面直线，下列结论不正确的是( )A必存在平面 ，使得 a ， b B必存在平面 ，使得 a， b 与 所成角相等C必存在平面 ，使得 a ， b D必存在平面 ，使得 a， b 与 的距离相等答案 C解析 由 a， b 为异面直线知，在 A 中，在空间中任取一点 O(不在 a， b 上)，过点 O 分别作a， b 的平行线，则由过点 O 的 a， b 的平行线确定一个平面 ，使得 a ， b ，故 A正确；在 B 中，平移 b 至 b与 a 相交，因而确定一个平面 ，在 上作 a， b夹角的平分线，明显可以作出两条过角平分线且与平面 垂直的
2、平面使得 a， b与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以故 B 正确；在 C 中，当 a， b 不垂直时，不存在平面 ，使得 a ， b ，故 C 错误；在 D 中，过异面直线 a， b 的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面 ，则平面 使得 a， b 与 的距离相等，故 D 正确故选 C.2(2018河南省南阳市第一中学模拟)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确命题的个数为( )若 m ， ，则 m ；若 m ， ， n ，则 m n；若 m ， n ， m n，则 ；若 n ， n ， m ，则 m .A1 B2 C3 D4答案 B解析 对
3、于，若 m ， ，则 m 或 m ，所以不正确；2对于，若 m ， ，则 m ，又由 n ，所以 m n 正确；对于，若 m ， n ， m n，则 或 与 相交，所以不正确；对于，若 n ， n ，则 ，又由 m ，所以 m 是正确的，综上可知，正确命题的个数为 2.3(2018福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 BB1的中点，用过点 A， E， C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是( )答案 A解析 取 DD1的中点 F，连接 AF， C1F，平面 AFC1E 为截面如图所示，所以上半部分的正(主)视图，如 A 选项所
4、示，故选 A.4(2018烟台模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( )3A34 2 B32 22 2C. 2 2 D. 2 232 2 32 2答案 A解析 由三视图还原出原几何体是一个半圆柱挖去一个三棱柱，尺寸见三视图，S122 2 2 324 .(12 12 1221) 2 245已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. B8 C. D683 203答案 A解析 如图所示，在棱长为 2 的正方体中，题图中的三视图对应的几何体为四棱锥 P ADC1B1，其中 P 为棱 A1D1的中点，则该几何体的体积VP ADC1B12 VP
5、DB1C12 VD PB1C12 S PB1C1DD1 .13 836现有编号为，的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图 1、图 2、图 3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是( )A BC D答案 B解析 根据题意可得三个立体几何图形如图所示：由图一可得侧面 ABD， ADC 与底面垂直，由图二可得面 ACE 垂直于底面，由图三可知，无侧面与底面垂直57(2018漳州模拟)在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中， A1B13， B1C14， A1C15， AA12，则其外接球与内切球的表面积的比值为( )A. B. C. D29294 192 292答案 A解析 如图
6、 1，分别取 AC， A1C1的中点 G， H，连接 GH，取 GH 的中点 O，连接 OA，由题意，得 A1B B1C A1C ，21 21 21即 A1B1C1为直角三角形，则点 O 为外接球的球心， OA 为半径，则 R OA ；1 254 292如图 2，作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，中截面三角形的内切圆的半径 r 1，也是内切球的半径，3 4 52因为 R r 2，29则其外接球与内切球的表面积的比值为 .4 R24 r2 2948(2018昆明适应性检测)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 BC1， CD1的中点，则( )A
7、 MN C1D1 B MN BC1C MN平面 ACD1 D MN平面 ACC1答案 D解析 对于选项 A，因为 M， N 分别是 BC1， CD1的中点，所以点 N平面 CDD1C1，点 M平面6CDD1C1，所以直线 MN 是平面 CDD1C1的斜线，又因为直线 C1D1在平面 CDD1C1内，故直线 MN 与直线 C1D1不可能平行，故选项 A 错；对于选项 B，正方体中易知 NB NC1，因为点 M 是 BC1的中点，所以直线 MN 与直线 BC1不垂直，故选项 B 错；对于选项 C，假设 MN平面 ACD1，可得 MN CD1.因为 N 是 CD1的中点，所以 MC MD1，这与 M
8、C MD1矛盾故假设不成立所以选项 C 错；对于选项 D，分别取 B1C1， C1D1的中点 P， Q，连接 PM， QN， PQ.因为点 M 是 BC1的中点，所以 PM CC1且 PM CC1.12同理 QN CC1且 QN CC1.12所以 PM QN 且 PM QN，所以四边形 PQNM 为平行四边形，所以 PQ MN.在正方体中， CC1 PQ， PQ AC，因为 AC CC1 C， AC平面 ACC1， CC1平面 ACC1，所以 PQ平面 ACC1.因为 PQ MN，所以 MN平面 ACC1.9(2018泸州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A13
9、6 B144 C36 D347答案 D解析 由三视图可知几何体为四棱锥 E ABCD，直观图如图所示其中， BE平面 ABCD， BE4， AB AD， AB ，2C 到 AB 的距离为 2， C 到 AD 的距离为 2 ，2以 A 为原点，分别以 AD， AB 所在直线及平面 ABCD 过 A 的垂线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 A xyz，则 A(0,0,0)， B(0， ，0)， C(2,2 ，0)， D(4,0,0)， E(0， ，4)2 2 2设外接球的球心为 M(x， y， z)，则 MA MB MC MD ME， x2 y2 z2 x2( y )2 z22(
10、 x2) 2( y2 )2 z22( x4) 2 y2 z2 x2( y )2( z4) 2，2解得 x2， y ， z2.22外接球的半径 r MA ，4 12 4 172外接球的表面积 S4 r234.10.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 BCA90， BAC60， AC4， E 为 AA1的中点，点 F 为 BE 的中点，点 H 在线段 CA1上，且 A1H3 HC，则线段 FH 的长为( )A2 B43C. D313答案 C解析 由题意知， AB8，过点 F 作 FD AB 交 AA1于点 D，连接 DH，则 D 为 AE 中点，FD AB4，128又 3，所以 DH
11、AC， FDH60，A1HHC A1DDADH AC3，由余弦定理得34FH ，故选 C.42 32 243cos 60 1311我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式 d ，人们还用过一些类似的近似公式，根据 3.141 59判断，下列3163V近似公式中最精确的一个是( )A d B d36031V 32VC d D d 3158V 32111V答案 D解析 根据球的体积公式 V R3 3，43 43 (d2)得 d ，设选项中的常数为 ，则 ，36V ab 6
12、ba选项 A 代入得 3.1，31660选项 B 代入得 3，62选项 C 代入得 3.2，6815选项 D 代入得 3.142 857，11621D 选项更接近 的真实值，故选 D.12(2018上饶模拟)在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1内有两个球 O1， O2相外切，球O1与面 ABB1A1、面 ABCD、面 ADD1A1相切，球 O2与面 BCC1B1、面 CC1D1D、面 B1C1D1A1相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为( )A(2 ) B.32 32C(3 ) D.33 32答案 A解析 设球 O1， O2的半径分别为 r1， r2，9由题意得 r1 r
13、1 r2 r2 ，3 3 3所以 r1 r2 ，令 a .3 32 3 32表面积和为 S，所以 S4 r 4 r ，21 2所以 r r r ( a r1)22 2 ，S4 21 2 21 (r1 a2) a22又 r1最大时，球 O1与正方体六个面相切，且 max ， min ，(r1)12 (r1) 3 32 12 2 32所以 r1 .2 32 ， 12又 ，2 32 a212所以当 r1 时， min ，a2 (S4 ) a22当 r1 或 时， max a2 a ，12 2 32 (S4 ) 12所以 max min a(S4 ) (S4 ) a22 12 .a 122 2 34所
14、以两球表面积之和的最大值与最小值的差为(2 ).313.如图所示， AB 是 O 的直径， PA O 所在的平面， C 是圆上一点，且 ABC30，PA AB，则直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值为_答案 2解析 因为 PA平面 ABC，所以 AC 为斜线 PC 在平面 ABC 上的射影，所以 PCA 即为 PC 与平面 ABC 所成的角在 Rt PAC 中， AC AB PA，12 12所以 tan PCA 2.PAAC14(2018大同、阳泉联考)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD， AC BD， AD BC，给出下列结论：四面体 ABCD 每组对棱相互垂直；10
15、四面体 ABCD 每个面的面积相等；从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90而小于 180；连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分其中正确结论的序号是_答案 解析 将四面体 ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的面对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直，错误；四面体 ABCD 的每个面是全等的三角形，面积是相等的，正确；由可知，四面体 ABCD 的每个面是全等的三角形，从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内
16、角，它们之和为 180，错误；四面体 ABCD 棱的中点即为长方体侧面的中心，所以对棱中点连线都过长方体的中心且相互垂直平分，正确15(2018南昌模拟)已知正三棱台 ABC A1B1C1的上、下底边长分别为 3 ，4 ，高为3 37，若该正三棱台的六个顶点均在球 O 的球面上，且球心 O 在正三棱台 ABC A1B1C1内，则球O 的表面积为_答案 100解析 因为正三棱台 ABC A1B1C1的上、下底边长分别为 3 ，4 ，3 3取正三棱台的上、下底面的中心分别为 E， E1，则正三棱台的高为 h EE17，在上下底面的等边三角形中，可得 AE AD3， A1E1 A1D14，23 23
17、则球心 O 在直线 EE1上，且半径为 R OA OA1，所以 ，且 OE OE17，OE2 32 OE21 42解得 OE4，所以 R 5，OE2 32所以球 O 的表面积为 S4 R2100.1116已知三棱锥 OABC 中， A， B， C 三点均在球心为 O 的球面上，且AB BC1， ABC120，若球 O 的体积为 ，则三棱锥 OABC 的体积是_2563答案 54解析 三棱锥 OABC 中， A， B， C 三点均在球心为 O 的球面上，且AB BC1， ABC120，则 AC ，3 S ABC 11sin 120 ，设球半径为 R，由球的体积 V1 R3 ，解得12 34 43 2563R4.设 ABC 外接圆的圆心为 G，外接圆的半径为 GA 1，32sin 120 OG ，R2 GA2 42 12 15三棱锥 O ABC 的体积为V2 S ABCOG .13 13 34 15 54
