1、1规范答题示例 6 空间角的计算问题典例 6 (12 分)如图， AB是圆 O的直径， C是圆 O上异于 A， B的一个动点， DC垂直于圆 O所在的平面， DC EB， DC EB1， AB4.(1)求证： DE平面 ACD；(2)若 AC BC，求平面 AED与平面 ABE所成的锐二面角的余弦值审题路线图 (1)(2) CA， CB， CD两 两 垂 直 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 写 各 点 坐 标 求 平 面 AED与 平 面 ABE的 法 向 量 将 所 求 二 面 角 转 化 为 两 个 向 量 的 夹 角2规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板(1)证明 D
2、C平面 ABC， BC平面 ABC， DC BC，又 AB是 O的直径， C是 O上异于 A， B的点， AC BC，又 AC DC C， AC， DC平面 ACD， BC平面 ACD.又 DC EB， DC EB，四边形 BCDE是平行四边形， DE BC， DE平面 ACD.4分(2)解 在 Rt ACB中， AB4， AC BC， AC BC2 ，2如图，以 C为原点， CA， CB， CD所在直线为 x， y， z轴，建立空间直角坐标系，则 A(2 ，0,0)， D(0,0,1)， B(0,2 ，0)， E(0，2 ，1)，2 2 2(2 ，0,1)， (0,2 ，0)， (2 ，2
3、0)，AD 2 DE 2 AB 2 2(0,0,1).6 分BE 设平面 ADE的一个法向量为 n1( x1， y1， z1)，则Error! 令 x11，得 n1(1,0,2 )，2设平面 ABE的一个法向量为 n2( x2， y2， z2)，则Error! 令 x21，得 n2(1,1,0).10 分cos n1， n2 .n1n2|n1|n2| 132 26平面 AED与平面 ABE所成的锐二面角的余弦值为 .12分26第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出点坐标第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算
4、向量的夹角第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.3评分细则 (1)第(1)问中证明 DC BC和 AC BC各给 1分，证明 DE BC给 1分，证明 BC平面 ACD时缺少 AC DC C， AC， DC平面 ACD，不扣分(2)第(2)问中建系给 1分，两个法向量求出 1个给 2分，没有最后结论扣 1分，法向量取其他形式同样给分跟踪演练 6 (2018全国)如图，四边形 ABCD为正方形， E， F分别为 AD， BC的中点，以DF为折痕把 DFC折起，使点 C到达点 P的位置，且 PF BF.(1)证明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP与平面 ABFD所成
5、角的正弦值(1)证明 由已知可得 BF PF， BF EF，PF EF F， PF， EF平面 PEF，所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.(2)解 如图，作 PH EF，垂足为 H.由(1)得， PH平面 ABFD.以 H为坐标原点， 的方向为 y轴正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系HF BF H xyz.由(1)可得， DE PE.又 DP2， DE1，所以 PE .3又 PF1， EF2，所以 PE PF.4所以 PH ， EH .32 32则 H(0,0,0)， P ， D ，(0， 0，32) ( 1， 32， 0) ， .DP (1， 32， 32) HP (0， 0， 32)又 为平面 ABFD的法向量，HP 设 DP与平面 ABFD所成的角为 ，则 sin .|HP DP |HP |DP |343 34所以 DP与平面 ABFD所成角的正弦值为 .34
