1、1规范答题示例 6 直线与圆锥曲线的位置关系典例 6 (15 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，x2a2 y2b2 32且点 在椭圆 C 上(3，12)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 E： 1， P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 E 于x24a2 y24b2A， B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.求 的值；求 ABQ 面积的最大值|OQ|OP|审题路线图 (1) 椭 圆 C上 点 满 足 条 件 得 到 a， b的 关 系 式基 本 量 法 求 得 椭 圆 C的 方 程(2) P在 C上 ， Q在
2、E上 P， Q 共 线 设 坐 标 代 入 方 程 求 出 |OQ|OP| 直 线 y kx m和 椭 圆 E的 方 程 联 立 通 法 研 究 判 别 式 并 判 断 根 与 系 数 的 关 系 用 m， k表 示 S OAB 求 S OAB的 最 值 利 用 得 S ABQ和 S OAB的 关 系 得 S ABQ的 最 大 值规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1)由题意知 1.又 ，3a2 14b2 a2 b2a 32解得 a24， b21.所以椭圆 C 的方程为 y21.3 分x24(2)由(1)知椭圆 E 的方程为 1.x216 y24设 P(x0， y0)，
3、，由题意知 Q( x 0， y 0)|OQ|OP|因为 y 1，又 1，即x204 20 x0216 y0241， 24(x204 y20)所以 2，即 2.7 分|OQ|OP|设 A(x1， y1)， B(x2， y2)将 y kx m 代入椭圆 E 的方程，可得(14 k2)第一步求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程第二步联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2 Bx C0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等式第三步2x28 kmx4 m2160，由 0，可得 m20”和“ 0”者，每处|OQ|OP|扣 2 分；联立方程消元得出关于 x 的一元二次方程给 2 分
4、；根与系数的关系写出后给 1 分；求最值时，不指明最值取得的条件扣 1 分跟踪演练 6 (2018全国)设椭圆 C： y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于x22A， B 两点，点 M 的坐标为(2,0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB.(1)解 由已知得 F(1,0)， l 的方程为 x1.由已知可得，点 A 的坐标为 或 .(1，22) (1， 22)又 M(2,0)，所以 AM 的方程为 y x 或 y x .22 2 22 23即 x y20 或 x y20.2 2(2)证明 当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB0.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为y k(x1)( k0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x10 恒成立，所以 x1 x2 ， x1x2 .4k22k2 1 2k2 22k2 1则 2kx1x23 k(x1 x2)4 k 0，4k3 4k 12k3 8k3 4k2k2 1从而 kMA kMB0，故 MA， MB 的倾斜角互补所以 OMA OMB.综上， OMA OMB.
