1、122.2 双曲线的简单几何性质第一课时 双曲线的简单几何性质读教材填要点双曲线的简单几何性质标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2图形焦点 (c,0) (0， c)焦距 2c 2c范围 x a 或 x a， yR y a 或 y a， xR对称性 对称轴： x 轴和 y 轴，中心：(0,0)顶点 (a,0) (0， a)轴长 实轴长2 a，虚轴长2 b离心率 e (1，)ca性质渐近线 y xba y xab小问题大思维1你能求出双曲线 1 的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？x24 y23提示：由题意得 a24， b23，解得 a2，
2、b ，则 c .3 a2 b2 7因此，实轴长 2a4，虚轴长 2b2 .3离心率 e .ca 72渐近线方程为 y x.322如何用 a， b 表示双曲线的离心率？提示： e .ca a2 b2a2 1 b2a223双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？提示： e ，当 e 越大时，双曲线开口越大，当 e 越小接近于 1 时，双曲线ca 1 b2a2开口越小4双曲线 1 与 1 的渐近线有什么关系？x2a2 y2b2 y2b2 x2a2提示：双曲线 1 与 1 的渐近线相同x2a2 y2b2 y2b2 x2a2由双曲线的标准方程研究其几何性质求双曲线 9y24 x236 的顶点
3、坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程自主解答 将 9y24 x236 变形为 1，x29 y24即 1， a3， b2， c .x232 y222 13因此顶点为 A1(3,0)， A2(3,0)，焦点坐标 F1( ，0)， F2( ，0)，13 13实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4，离心率 e ，ca 133渐近线方程 y x x.ba 23若将“36”改换为“36”呢？解：把方程 9y24 x236 化为标准形式为 1，y24 x29 a2， b3， c .13顶点为(0，2)，(0,2)，焦点坐标为(0， )，(0， )，13 13实轴长是 2a4，虚轴长是 2b6，3离
4、心率 e .ca 132渐近线方程为 y x.23已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a， b 的对应值，利用 c2 a2 b2得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质1已知双曲线 1 与 1，下列说法正确的是( )x29 y216 y216 x29A两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等解析：双曲线 1 的焦点和顶点都在 x 轴上，而双曲线 1 的焦点和顶点x29 y216 y216 x29都在 y 轴上，因此可排除选项 A、B；双曲线 1 的离心率 e1 ，而双曲x29 y216
5、9 169 53线 1 的离心率 e2 ，因此可排除选项 D；易得 C 正确y216 x29 16 916 54答案：C2(2017北京高考)若双曲线 x2 1 的离心率为 ，则实数 m_.y2m 3解析：由双曲线的标准方程可知 a21， b2 m，所以 e ，解得 m2.1 b2a2 1 m 3答案：2由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为 ；135(2)与双曲线 x22 y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)4自主解答 (1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又 ，ca 135所以 a5， b 12，c2 a
6、2故其标准方程为 1.y225 x2144(2)所求双曲线与双曲线 x22 y22 有公共渐近线，设所求双曲线方程为 x22 y2 .又双曲线过点 M(2，2)，则222(2) 2 ，即 4.所求双曲线方程为 1.y22 x24(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是：根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；由已知条件求出待定系数 a， b；将求得的系数 a， b 代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为 y x，那么此双曲线方程可设为ba ( 0)x2a2 y2b23根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)已知双曲线的渐近线方程为 y x，焦距为 10；12(
7、2)已知双曲线与曲线 1 共焦点，与曲线 1 共渐近线x224 y249 x236 y264解：(1)当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线方程为 1( a0， b0)x2a2 y2b2由渐近线方程为 y x，得12 ，2 c10.ba 12又 c2 a2 b2，得 a220， b25，双曲线的标准方程为 1；x220 y25当焦点在 y 轴上时，可得双曲线的方程为 1，y25 x2205所求双曲线的方程为 1 或 1.x220 y25 y25 x220(2)由 1 得双曲线的焦点为(0，5)x224 y249又双曲线 1 的渐近线为 y x，x236 y264 43设所求双曲线的标准方程为 1(
8、 a0， b0)，y2a2 x2b2则：Error! 解得 b29， a216.所求双曲线方程为 1.y216 x29求双曲线的离心率过双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，x2a2 y2b2交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_自主解答 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为，又直线 l 过右焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 y (x c)因为ba ba点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得 1，化简得 y4a2a2 y2b2b 或 y b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为 (2a，3 3b
9、)，代入直线方程得 b (2a c)，化简可得离心率 e 2 .3 3ba ca 3答案 2 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知 a， c 可直接利用 e 求解，若已知 a， b，可利用 e 求ca 1 (ba)2解(2)方程法：若无法求出 a， b， c 的具体值，但根据条件可确定 a， b， c 之间的关系，可通过 b2 c2 a2，将关系式转化为关于 a， c 的齐次方程，借助于 e ，转化为关于 eca的 n 次方程求解6注意 求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于 a， b， c 的不等关系4(1)已知双曲线 1( a0， b0)若 2，求双曲线的离心率；x2a2 y2
10、b2 ba(2)设点 P 在双曲线 1( a0， b0)的右支上，双曲线两焦点x2a2 y2b2F1， F2，| PF1|4| PF2|，求双曲线离心率的取值范围解：(1) c ，a2 b2 e .ca a2 b2a2 1 (ba)2 1 22 5(2)由双曲线定义得：| PF1| PF2|2 a，与已知| PF1|4| PF2|联立解得：|PF1| a，| PF2| a.83 23由| PF1| PF2| F1F2 |得：a a2 c，解得 10， b0)，依题意，得x2a2 y2b2Error!解得 Error!所求双曲线方程为 1.x2359 y2357法二：由渐近线方程 3xy0，可设
11、所求双曲线方程为 y2 ( 0)(*)x219将点 P(2，1)的坐标代入(*)，得 35，所求的双曲线方程为 1.x2359 y2351双曲线 1 的渐近线方程是( )x225 y24A y x B y x25 52C y x D y x425 254解析：由 0，得 y2 x2，即 y x.x225 y24 425 25答案：A2双曲线 1 的离心率是( )x225 y216A. B.35 53C. D.415 541解析： a225， b216， c2 a2 b241， e .ca 415答案：C3已知双曲线 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的x2a
12、2 y2b2 54方程为( )A. 1 B. 1x24 y23 x29 y216C. 1 D. 1x216 y29 x23 y24解析： e ， F2(5,0)，ca 548 c5， a4， b2 c2 a29，双曲线 C 的标准方程为 1.x216 y29答案：C4已知双曲线 x2 1( b0)的一条渐近线的方程为 y2 x，则 b_.y2b2解析：双曲线 x2 1( b0)的渐近线方程为 y bx，比较系数得 b2.y2b2答案：25已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为_解析：画图可得相似直角三角形，因此有 OAA OFF， 3，ca 62即
13、 e3.答案：36求中心在原点，两顶点间距离为 6，渐近线为 y3 x 的双曲线的标准方程解：因为两顶点间的距离为 6，即 2a6， a3.当焦点在 x 轴上时，则有 3， b9.ba双曲线方程为 1.x29 y281当焦点在 y 轴上时，则有 3， b1.ab双曲线方程为 x21.y29一、选择题1若双曲线 1( a0)的离心率为 2，则 a 等于( )x2a2 y23A2 B. 39C. D132解析：很明显，双曲线的焦点在 x 轴上，则离心率 e 2，解得 a1.a2 3a答案：D2(2017全国卷)若 a1，则双曲线 y21 的离心率的取值范围是( )x2a2A( ，) B( ，2)2
14、 2C(1， ) D(1,2)2解析：由题意得双曲线的离心率 e .a2 1a即 e2 1 .a2 1a2 1a2 a1，0 1，1a211 2，1 e .1a2 2答案：C3已知双曲线 1( a0， b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆x2a2 y2b2(x2) 2 y23 相切，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x29 y213 x213 y29C. y21 D x2 1x23 y23解析：由双曲线的渐近线 y x 与圆( x2) 2 y23 相切可知 ，ba|(ba)2|1 (ba)2 3又Error! 解得Error!故所求双曲线的方程为 x2 1.y23答案：
15、D4设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B.2 310C. D.3 12 5 12解析：设双曲线方程为 1( a， b0)，不妨设一个焦点为 F(c,0)，虚轴端点为x2a2 y2b2B(0， b)，则 kFB .又渐近线的斜率为 ，所以由直线垂直关系得 1bc ba bc ba，即 b2 ac，(ba显 然 不 符 合 )又 c2 a2 b2，故 c2 a2 ac，两边同除以 a2，得方程 e2 e10，解得e (舍负值)5 12答案：D二、填空题5已知双曲线 y21( a0)的一条渐近线为 x y0，
16、则 a_.x2a2 3解析：双曲线 y21 的渐近线为 y ，已知一条渐近线为 x y0，即 yx2a2 xa 3x，因为 a0，所以 ，所以 a .31a 3 33答案：336已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为312_解析：法一：双曲线的渐近线方程为 y x，12可设双曲线的方程为 x24 y2 ( 0)双曲线过点(4， )，3 164( )24，3双曲线的标准方程为 y21.x24法二：渐近线 y x 过点(4,2)，而 0， b0)x2a2 y2b2由已知条件可得Error!解得 Error!双曲线的标准方程为 y21.x24答案： y21x247已
17、知双曲线 1( a0， b0)和椭圆 1 有相同的焦点，且双曲线的离x2a2 y2b2 x216 y29心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是( ，0)，离心率是 .故在双曲线中774c ， e ，故 a2， b2 c2 a23，故所求双曲线的方程是 1.772 ca x24 y23答案： 1.x24 y238已知双曲线 1 的离心率 e( ，2)，则 m 的取值范围是_x2m y24 2解析：由双曲线方程知 a2， b ， m0)，ca 54则 a4 k，由 b2 c2 a29 k24 得 k2 ，49 a216 k2 .由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求
18、双曲线的标准方程为649 1 或 1.x2649 y24y2649 x24(3)由两顶点间的距离是 6 得 2a6，即 a3.由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得 2c4 a12，即 c6，于是有 b2 c2 a26 23 227.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 1 或 1.x29 y227 y29 x22710.如图所示，已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的两焦x2a2 y2b2点，以线段 F1F2为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1与双曲线的交点 P 满足3 ，试求双曲线的离心率MP PF1 解：连接 PF2，设| F1F2|2 c，由 3 知MP
19、PF1 |PF1| |MF1|.14又 MF1F2为正三角形，| PF1| 2c c，14 12 PF1F260，由余弦定理可得：|PF2| 2c 2 (12c)2 22c12ccos 60 c.4c2 14c2 c2 132根据双曲线定义有132a| PF2| PF1| c，13 12离心率 e .ca 413 1 13 13第二课时 直线与双曲线的位置关系读教材填要点1直线与双曲线的位置关系一般地，设直线 l： y kx m(m0)双曲线 C： 1( a0， b0)x2a2 y2b2把代入得( b2 a2k2)x22 a2mkx a2m2 a2b20.(1)当 b2 a2k20，即 k 时
20、，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相ba交于一点(2)当 b2 a2k20，即 k 时， (2 a2mk)24( b2 a2k2)( a2m2 a2b2)ba 0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； 0 且 x20，点 A， B 都在双曲线的右支上对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解决另外，在弦的问题中，经常遇到与弦的中点有关的问题，这种问题经常用点差法解决另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决2直线 l 在双曲线 1 上截得的弦长为
21、 4，其斜率为 2，求直线 l 在 y 轴上的x23 y22截距 m.解：设直线 l 的方程为 y2 x m，由Error! 得 10x212 mx3( m22)0.(*)设直线 l 与双曲线交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，17由根与系数的关系，得 x1 x2 m， x1x2 (m22)65 310| AB| |x1 x2|1 22 5 x1 x2 2 4x1x2 4.5( 65m)2 4310 m2 2 解得 m .2103由(*)式得 24 m2240，把 m 代入上式，得 0，符合题意2103故 m 的值为 .2103解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、
22、不走弯路已知直线 y ax1 与双曲线 3x2 y21 交于 A， B 两点若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值巧思 以 AB 为直径的圆过坐标原点，即 OA OB.因此可联立直线与双曲线方程，设A(x1， y1)， B(x2， y2)，则问题可转化为 x1x2 y1y20 求解妙解 由Error!消去 y，得(3 a2)x22 ax20.依题意Error! 即 0， b0)，由题意知 c3， a2 b29.设x2a2 y2b2A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!，两式作差得 .又直y1 y2x1 x2 b2 x1 x2a2 y1 y2 12b2 15a2 4
23、b25a2线 AB 的斜率是 1，所以 4b25 a2. 15 0 12 3代入 a2 b29 得 a24， b25，所以双曲线的标准方程是 1.x24 y25答案：B4过双曲线 1( a0， b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为点 A，x2a2 y2b2与另一条渐近线交于点 B，若 2 ， 则此双曲线的渐近线的斜率是( )FB FA A B2 3C2 D 521解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程是 y x，不妨设过右焦点 F(c,0)(c0)的ba直线 l 与渐近线 y x 垂直， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则直线 l 的方程为 y (x c)，ba ab两直线
24、方程联立解得 y1 ；把方程 y (x c)与方程 y x 联立，解得abc ab bay2 ，因为 2 ，所以( x2 c， y2)2( x1 c， y1)，由此得 y22 y1，故abcb2 a2 FB FA ，即 2(b2 a2) c2 a2 b2，即 b a，故此双曲线的渐近线斜率是 .abcb2 a2 2abc 3 3答案：B二、填空题5过双曲线 1( a0， b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M， Nx2a2 y2b2两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知， a c ，即 a2 ac c2 a2，b2a c2 ac2 a
25、20， e2 e20，解得 e2 或 e1(舍去)答案：26已知双曲线中心在原点，且一个焦点为 F( ，0)，直线 y x1 与其相交于 M， N7两点， MN 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是_23解析：设双曲线方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2依题意 c .方程可化为 1.7x2a2 y27 a2由Error! 得(72 a2)x22 a2x8 a2 a40.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1 x2 . 2a27 2a2 ，x1 x22 23 ，解得 a22.a27 2a2 23双曲线的方程为 1.x22 y25答案： 1x22 y25227设一个圆的
26、圆心在双曲线 1 的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦y29 x216点，则原点 O 到该圆圆心的距离是_解析：由已知得双曲线的上顶点为 A(0,3)，上焦点为 F(0，5)，设圆心为 P(x0， y0)，则 y0 4.代入双曲线方程得 1，所以 x ，故| PO| 3 52 169 x2016 20 7169 x20 y20 .7169 16 163答案：1638设 F1， F2分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存x2a2 y2b2在点 P，满足| PF2| F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设 PF1
27、的中点为 M，由| PF2| F1F2|，故 F2M PF1，即| F2M|2 a，在 Rt F1F2M 中，| F1M| 2 b，故 2c 2 2a 2|PF1|4 b，根据双曲线定义得 4b2 c2 a，即 2b a c，即(2 b a)2 a2 b2，即 3b24 ab0，即 3b4 a，又双曲线的渐近线方程是 y x，ba所以 y x，即 4x3y0.43答案：4 x3y0三、解答题9设双曲线 C： y21( a0)与直线 l： x y1 交于两个不同的点 A， B，求双曲x2a2线 C 的离心率 e 的取值范围解：由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点，可知方程Error!有两
28、组不同的解，消去 y，并整理得(1 a2)x22 a2x2 a20，Error! 解得 0 ，且 e ，62 223故双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为( ，)(62， 2) 210已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，且过点 P( ，1)x2a2 y2b2 233 6(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l： y kx 与双曲线交于两个不同点 A， B，且 2(O 为坐标原2 OA OB 点)，求 k 的取值范围解：(1)由已知 e ， c a，ca 233 233b2 c2 a2 a2 a2 a2，即 a23 b2.43 13又 P( ，1)在双曲线上，6 1， b21， a23.63b2 1b2故所求双曲线 C 的方程为 y21.x23(2)联立Error!消去 y 并整理得：(13 k2)x26 kx90.2由直线 l 与双曲线 C 交于不同两点 A(x1， y1)和 B(x2， y2)得：Error! k22.93k2 1 2 62k3k2 1 0.k2 33k2 1 k23.1324由得 k21，13故 k 的取值范围是 .( 1， 33) (33， 1)
