1、1【课时训练】直线、平面垂直的判定与性质一、选择题1(2018 天津河西模拟)设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A若 l ， l ，则 B若 l ， l ，则 C若 ， l ，则 l D若 ， l ，则 l 【答案】B【解析】A 中， 或 与 相交，不正确B 中，过直线 l 作平面 ，设 l，则 l l，由 l ，知 l ，从而 ，B 正确C 中， l 或 l ，C 不正确对于 D 中， l 与 的位置关系不确定2(2018 河南师大附中期末)如图，在正四面体 P ABC 中， D， E， F 分别是AB， BC， CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A B
2、C平面 PDFB DF平面 PAEC平面 PDF平面 PAED平面 PDE平面 ABC【答案】D【解析】因为 BC DF， DF平面 PDF， BC平面 PDF，所以 BC平面 PDF，故选项 A 正确在正四面体中， AE BC， PE BC， DF BC，所以 BC平面 PAE，则 DF平面 PAE，从而平面 PDF平面 PAE.因此选项 B，C 均正确3(2018 哈尔滨联考)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下面结论正确的是( )A若 m n， n ，则 m B若 m ， ，则 m 2C若 m ， n ， n ，则 m D若 m n， n ， ，则 m 【答案】C
3、【解析】A 中，由 m n， n 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误；B 中，由 m ， 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误；C 中，由 m ， n 可得 m n，又 n ，所以 m ，正确；D 中，由 m n， n ， 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误4(2018 长沙一模)如图，在三棱锥 D ABC 中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BCDC平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDED平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE【答案】C【解析】因为 AB
4、CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE AC，同理有 DE AC，于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面BDE.5(2018 福建泉州模拟)如图，在下列四个正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G 均为所在棱的中点，过 E， F， G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线 BD1与平面 EFG 不垂直的是( )3【答案】D【解析】如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G， M， N， Q 均为所在棱的中点，图形 EFMNQG 是一个平面图形，直线 BD1与平面 EFMNQ
5、G 垂直，并且选项 A，B，C 中的平面EFG 与这个平面重合，满足题意，只有选项 D 中的直线 BD1与平面 EFG 不垂直故选 D.6(2018 贵州贵阳二模)如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点，沿AE， AF， EF 把正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 P， P 点在 AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是( )A O 是 AEF 的垂心B O 是 AEF 的内心4C O 是 AEF 的外心D O 是 AEF 的重心【答案】A【解析】如图，由题意可知 PA， PE， PF 两两垂直，所以 PA平面 PEF.从而 P
6、A EF，而 PO平面 AEF，则 PO EF，因为 PO PA P，所以 EF平面 PAO.所以 EF AO.同理可知 AE FO， AF EO，所以 O 为 AEF 的垂心二、填空题7(2018 吉林九校联考)如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【答案】D M PC(或 BM PC 等)【解析】由定理可知 BD PC，当 DM PC(或 BM PC)时，有 PC平面 MBD.又 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.8(2018 云
7、南检测)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC2 a， BB13 a， D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当 AF_时， CF平面 B1DF.5【答案】A 或 2a【解析】 B1D平面 A1ACC1， CF B1D.为了使 CF平面 B1DF，只要使 CF DF(或 CF B1F)设 AF x，则 CD2 DF2 FC2， x23 ax2 a20，解得 x a 或 x2 a.三、解答题9(2018 广东七校联考)如图所示， M， N， K 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱AB， CD， C1
8、D1的中点求证：(1) AN平面 A1MK；(2)平面 A1B1C平面 A1MK.【证明】(1)如图所示，连接 NK. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，四边形 AA1D1D， DD1C1C 都为正方形，6 AA1 DD1， AA1 DD1， C1D1 CD， C1D1 CD. N， K 分别为 CD， C1D1的中点， DN D1K， DN D1K.四边形 DD1KN 为平行四边形 KN DD1， KN DD1. AA1 KN， AA1 KN.四边形 AA1KN 为平行四边形 AN A1K. A1K平面 A1MK， AN平面 A1MK， AN平面 A1MK.(2)如图所示，连接 BC1
9、.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB C1D1， AB C1D1. M， K 分别为 AB， C1D1的中点， BM C1K， BM C1K.四边形 BC1KM 为平行四边形 MK BC1.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， A1B1平面 BB1C1C，BC1平面 BB1C1C， A1B1 BC1. MK BC1， A1B1 MK.四边形 BB1C1C 为正方形， BC1 B1C. MK B1C. A1B1平面 A1B1C， B1C平面 A1B1C， A1B1 B1C B1， MK平面 A1B1C.又 MK平面 A1MK，平面 A1B1C平面 A1MK.10(2018 济南模
10、拟)圆 O 的直径 AB4，点 C， D 为圆 O 上两点，且 CAB45， F为 的中点沿直径 AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图)BC 图 图(1)求证： OF平面 ACD；(2)在 AD 上是否存在点 E，使得平面 OCE平面 ACD？若存在，试指出点 E 的位置；若不存在，请说明理由【证明】(1)由 CAB45，知 COB90，又因为 F 为 的中点，BC所以 FOB45，因此 OF AC.又 AC平面 ACD， OF平面 ACD，所以 OF平面 ACD.(2)存在， E 为 AD 的中点7因为 OA OD，所以 OE AD.又 OC AB 且两半圆所在平面互相垂直，所以 O
11、C平面 OAD.又 AD平面 OAD，所以 AD OC.由于 OE， OC 是平面 OCE 内的两条相交直线，所以 AD平面 OCE.又 AD平面 ACD，所以平面 OCE平面 ACD.11(2018 北京东城区模拟)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC， M为棱 AC 的中点 AB BC， AC2， AA1 .2(1)求证： B1C平面 A1BM；(2)求证： AC1平面 A1BM；(3)在棱 BB1上是否存在点 N，使得平面 AC1N平面 AA1C1C？如果存在，求此时 的值；BNBB1如果不存在，请说明理由(1)【证明】如图 1，连接 AB1与 A1B，两线交
12、于点 O，连接 OM，在 B1AC 中， M， O 分别为 AC， AB1中点，图 1 OM B1C.又 OM平面 A1BM， B1C平面 A1BM， B1C平面 A1BM.(2)【证明】侧棱 AA1底面 ABC， BM平面 ABC， AA1 BM.8又 M 为棱 AC 的中点， AB BC， BM AC. AA1 AC A， BM平面 ACC1A1. BM AC1. AC2， AM1.又 AA1 ，在 Rt ACC1和 Rt A1AM 中，2tan AC1Ct an A1MA .2 AC1C A1MA，即 AC1C C1AC A1MA C1AC90. A1M AC1. BM A1M M， AC1平面 A1BM.(3)【解】当点 N 为 BB1的中点，即 时，平面 AC1N平面 AA1C1C.BNBB1 12证明如下：设 AC1的中点为 D，连接 DM， DN，如图 2.图 2 D， M 分别为 AC1， AC 的中点， DM CC1，且 DM CC1.12又 N 为 BB1的中点， DM BN，且 DM BN.四边形 BNDM 为平行四边形 BM DN. BM平面 ACC1A1， DN平面 ACC1A1.又 DN平面 AC1N，平面 AC1N平面 AA1C1C.9
