1、118.2.3 正方形学习目标1.掌握正方形的概念、性质和判定方法,并会运用它们进行有关的论证和计算 .(难点)2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别 .(重点)学习过程一、合作探究阅读教材 P5859内容,完成下面问题:1.小学已学过正方形四条边都 ;正方形四个角都是 . 正方形定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形 .从正方形的定义中看出,有三 层意义: ; ; . 2.正方形是矩形吗?是菱形吗?为什么?正方形具有哪些性质呢?只要矩形再有一组邻边相等,这样的特殊矩形是正方形;只要菱形再有一个内角为 90,这样的特殊矩形是正方形 .3.因此我们说正方形是特殊的矩
2、形,所以具有矩形的所有性质;它又是菱形,所以它又具有菱形的一切性质,归纳如下:正方形性质:(1)边的性质:对边 ,四条边都 . (2)角的性质:四个角都是 角 .即 A= B= = = , ABD= = = =45. (3)对角线的性质:两条对角线互相 且 ,每条对角线 分一组对角 .由ABCD 是正方形,可得 OA= = =OD,AC . (4)对称性:是轴对称图形,有( )条对称轴 .而矩形、菱形都只有( )条对称轴 .(5)边长与对角线长的关系: (6)正方形的面积: 边长的 两条对角线 . 4.平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的关系:5.怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判
3、定方法写出来并和同学们交流、证明 .归纳总结出判定正方形的 方法如下:判定方法:(1)从四边形到正方形:(2)从平行四边形到正方形:(3)从矩形到正方形:(4)从菱形到正方形:2提示判定正方形的一般顺序:先证它是平行四边形,再证有一组邻边相等(或一个角是直角),最后证它有一个角是直角(或有一组邻边相等) .理解成:先证它是矩形,再证有一组邻边相等;或先证它是菱形,再证有一个角是直角 .二、自主学习【例题】已知,如图,四边形 ABCD 是正方形,对角线 AC,BD 相交于点 O.求证: ABO, BCO, CDO, DAO 是全等的等腰直角三角形 .证明: 四边形 ABCD 是正方形,AC=BD
4、 ,AC BD,AO=BO=CO=DO. ABO, BCO, CDO, DAO 都是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO.变式 已知:如图,正方形 ABCD,对角线 AC,BD 交于点 O,AC=4.则(1) BAC= , AOB= . (2)与 OA 相等的线段有 ,AB= . (3)正方形的周长是 ,面积是 . 三、跟踪练习1.下列四边形中,对角线相等且互相垂直平分的是( )A.平行四边形 B.正方形C.菱形 D.矩形2.在四边形 ABCD 中, A= B= C=90,如果再添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( )A. D=90 B.AB=CDC.A
5、D=BC D.BC=CD3.(长春中考)如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上,若 ABE 的面积为 8,CE=3,则线段BE 的长为 . 34.如图所示,已知 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 BD 延长线上的 点,且 ACE是等边三角形 .(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;(2)若 AED=2 EAD,求证:四边形 ABCD 是正方形 .四、达标检测1.下列命题,正确的有( ) 对角线相等的菱形是正方形 四条边都相等的四边形是正方形 四个角相等的四边形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线垂直且相等的四边形是正方形A. B. C. D.2.正方形
6、具有而菱形不一定具有的性质是( )A.四条边相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线相等D.对角互补4.正方形的四条边都 ,四个角都是 ,对角线 . 5.如果一个四边形既是菱形,又是矩形,那么这个四边形一定是 . 6.P 为正方形 ABCD 内部一点,且 PA=PD=AD,则 PBC 为 . 7.如图,在正方形 ABCD 中, F 在 CD 的延长线上, CE AF 交 AD 于 M,则 MFD= . 8.已知正方形的一边长为 1 cm,则它的周长 为 ,面积为 ,对角线长为 .
7、 9.已知正方形的对角线长为 2 cm,则它的边长为 . 10.如图,四边形 ABCD 是正方形,点 G 是 BC 上的任意一 点, DE AG 于点 E,BF DE,交 AG于点 F,求证: AF-BF=EF.411.如图,正方形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,点 M,N 分别在 AC,BD 上,且 OM=ON,求证:BM=CN.参考答案一、合作探究答案略二、自主学习例题 证明: 四边形 ABCD 是正方形,AC=BD ,AC BD,AO=BO=CO=DO. ABO, BCO, CDO, DAO 都是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO.变式(1)45 90(2
8、)OB,OD,OC 2 2(3)8 82三、跟踪练习1.B 2.D 3.54.证明:(1) 四边形 ABCD 是平行四边形,AO=CO. 又 ACE 是等边三角形,EO AC,即 DB AC, ABCD 是菱形 .(2) ACE 是等边三角形, AEC=60.EO AC, AEO= AEC=30.12 AED=2 EAD, EAD=15, ADO= EAD+ AED=45, 四边形 ABCD 是菱形, ADC=2 ADO=90, 菱形 ABCD 是正方形 .四、达标检测1.C2.D3.B54.相等;直角;相等且互相垂直平分5.正方形6.等腰三角形7.458.4 cm;1 cm2 cm29. cm210.证明: BAF+ DAE=90,DE AG,BF DE,BF AG, BAF+ ABF=90, ABF= DAE.又 AB=DA , AFB= DEA=90, ABF DAE,BF=AE ,AF-BF=AF-AE=EF.11.证明:由正方形的性质可得:OB=OC, BOM= CON=90,又 OM=ON , BOM CON,BM=CN.
