1、- 1 -18.1.2 平行四边形的判定第 2 课时【教学目标】知识与技能:1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线性质定理 .2.能较熟练地应用三角形中位线性质定理进行有关的证明和计算 .过程与方法:经历探索、猜想、证明三角形中位线性质定理的过程,进一步发展推理论证的能力 .能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论 .进一步发展推理论证的能力,感悟几何学的推理方法 .情感态度与价值观:培养学生探索的勇气和信念,增强挑战困难的勇气和信心 .培养合情推理能力,以及严谨的书写表达,体会几何思维的真正内涵 .【重点难点】重点:掌握三角形的中位线定理 .会应用三角形的中位线定理进行计算或证明
2、.难点:三角形的中位线性质定理的证明 .【教学过程】一、创设情境,导入新课:1.思考:平行四边形的性质与判定之间有什么联系?2.探索:你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?你是如何分割的?(答案如图)图中有几个平行四边形?你是如何判断的?你能解决上面所提出的问题吗?这一节我们就来探究 .二、探究归纳活动 1:三角形的中位线定义:1.(1)定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 . (2)符号表示:如图,点 D、 E 分别为 ABC 边 AB、 AC 的中点,线段 DE 是 ABC 的中位线 .- 2 -2.思考:(1)想一想:一个三角形的中位线共有几条?三角形的中位线与中线有什
3、么区别? (2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系? 提示:(1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同 .中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线 . (2)三角形的中位线与第三边的关系:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半 .活动 2:探索三角形中位线的定理:1.如图,点 D、 E 分别为 ABC 边 AB、 AC 的中点,求证: DE BC 且 DE= BC.12分析:所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得
4、到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形 .证明:方法一:如图(1),延长 DE 到 F,使 EF=DE,连接 CF,由 ADE CFE,可得AD FC,且 AD=FC,因此有 BD FC,BD=FC,所以四边形 BCFD 是平行四边形 .所以DF BC,DF=BC,因为 DE= DF,所以 DE BC 且 DE= BC.12 12- 3 -方法二:如图(2),延长 DE 到 F,使 EF=DE,连接 CF、 CD 和 AF,又 AE=EC,所以四边形 ADCF 是平行四边形 .所以 AD FC,且 AD=FC.因为 AD=BD,所以 BD FC,且 BD=FC.所以四边形 ADCF
5、是平行四边形 .所以 DF BC,且DF=BC,因为 DE= DF,所以 DE BC 且 DE= BC.12 122.归纳:(1)三角形中位线的定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半 .(2)符号表示:如图,线段 DE 是 ABC 的中位线 . DE BC 且 DE= BC.12活动 3:例题讲解【例 1】 如图所示,吴伯伯家一块等边三角形的空地 ABC,已知点 E,F 分别是边 AB,AC 的中点,量得 EF=5 m,他想把四边形 BCFE 用篱笆围成一个圈放养小鸡,则需要篱笆的长是 ( )A.15 m B.20 m C.25 m D.30 m分析:根据三角形的中位线平行于第三
6、边并且等于第三边的一半求出 BC 的长,也就是等边三角形的边长,周长也就不难得到 .解:选 C.点 E,F 分别是边 AB,AC 的中点, EF=5 m, BC=2EF=10 m, ABC 是等边三角形, AB=BC=AC, BE=CF= BC=5 m,篱笆的长= BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=1225 m.总结:一个三角形中位线有 3 条,三角形的 3 条中位线构成的三角形的周长等于原三角形的周长的一半,面积等于原三角形的面积的四分之一 .应用三角形中位线定理可解决测量等问题 .【例 2】 已知:如图,在四边形 ABCD 中, E、 F、 G、 H 分别是 AB、 BC、 CD、
7、 DA 的中点 .求证:四边形 EFGH 是平行四边形 .- 4 -分析:因为已知点 E、 F、 G、 H 分别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形 EFGH 的边之间的关系 .由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连接 AC 或 BD,构造“三角形中位线”的基本图形后,此题便可得证 .证明:如图,连接 AC, DAC 中, AH=HD,CG=GD, HG AC,HG= AC(三角形中位线性质 ).12同理 EF AC,EF= AC.12 HG EF,且 HG=EF.四边形 EFGH 是平行四边形 .总结:顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四
8、边形 .三、交流反思这一节课我们学习了三角形中位线概念和定理,三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半 .一个题设两个结论,注意关键题目特点,选择使用 .四、检测反馈1.如图,在 ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点, A=50, ADE=60,则 C 的度数为 ( )A.50 B.60 C.70 D.80- 5 -2.如图,小明想用皮尺测量池塘 A,B 间的距离,但现用皮尺无法直接测量,学习数学有关知识后,他想出了一个主意:先在地上取一个可以直接到达 A,B 两点的点 O,连接 OA,OB,分别在 OA,OB 上取中点 C,D,连接 CD,并测得 CD=a,由此他即知道
9、A,B 间的距离是 ( )A. a B.2a C.a D.3a123.如图所示,在 ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,连接 DE,若 DE=5,则 BC=_. 4.如图, ABCD 的周长为 36,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 是 CD 的中点, BD=12,则 DOE 的周长为_. 5.已知:三角形的各边分别为 8 cm,10 cm 和 12 cm ,求连接各边中点所成三角形的周长 .6.如图, ABC 的中线 BF,CE 相交于点 O,点 H,G 分别是 BO,CO 的中点,试判断四边形 EFGH 的形状,并证明你的结论 .7.如图, ABC 中, D,E,F
10、 分别是 AB,AC,BC 的中点,- 6 -(1)若 EF=5 cm,则 AB=_ cm;若 BC=9 cm,则 DE=_ cm. (2)中线 AF 与中位线 DE 有什么特殊的关系?证明你的猜想 .五、布置作业教科书第 51 页习题 18.1 第 11 题六、板书设计18.1.2 平行四边形的判定第 2 课时一、三角形中位线概念二、三角形中位线的性质定理三、例题讲解 四、板演练习七、教学反思这一节课我们学习了三角形中位线概念和性质定理,三角形中位线性质定理的证明过程,学生充分经历“探索发现猜想证明”这一过程,体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用,同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法 .三角形中位线性质定理,一个题设两个结论,(一个是位置关系,一个是数量关系,根据需要选用相应的结论)它提供了一种证明直线平行和线段数量关系的新方法,应用定理的关键是找出符合定理的基本条件,并思考更多种添加辅助线的方法证明中位线定理 .通过本节课的学习,应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系,而且为证明线段之间的位置关系和数量关系(倍分关系)提供了新的思路,从而提高学生分析问题、解决问题的能力 .- 7 -
