1、13.3 复数的几何意义学习目标 重点难点1能知道复平面、实轴、虚轴等概念2能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系3能知道复数模的概念，会求复数的模4了解复数代数形式加减法的几何意义.重点：1.理解并掌握复数代数形式加减法的几何意义，并能适当应用2复数的模难点：复数代数形式加减法的几何意义.1复平面(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_ x 轴叫做_， y 轴叫做_实轴上的点都表示_除原点外，虚轴上的点都表示_(2)复数 z a bi(a， bR)，可以用复平面内的点 Z_来表示，也可以用向量_来表示，三者的关系如下：(3)为方便起见，常把复数 z a
2、bi 说成点 Z 或向量 O，并且规定，相等的向量表示_复数预习交流 1做一做：复数 z( a22 a)( a2 a2)i 对应的点在虚轴上，则实数 a 的值为_预习交流 2做一做：复数 z 在复平面内所对应的点位于第_象限12 i2复数的模(或绝对值)(1)_的模叫做复数 z a bi(a， bR)的模(或绝对值)，记作| z|或| a bi|.(2)如果 z a bi(a， bR)，则| z| a bi|_.预习交流 3做一做：若对于实数 x， y，复数 x yi 的模都为 3，则点( x， y)的轨迹方程是_3复数加减法的几何意义(1)加法的几何意义设向量 1OZ， 2分别与复数 a b
3、i， c di(a， b， c， dR)对应，且 1OZ，2不共线如下图，以 1， 2OZ为两条邻边画平行四边形 OZ1ZZ2，则对角线 OZ 所表2示的向量 OZ就是与复数( a c)( b d)i 对应的向量(2)减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设 1OZ， 2分别与复数 a bi， c di 相对应且1OZ， 2不共线，如下图，则这两个复数的差 z1 z2与向量 1OZ 2(即 1Z)对应，这就是复数减法的几何意义实际上，在平面向量中已有向量的几何解释，同复数减法的几何解释是一致的(3)设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则| z1 z2|_，即两个复
4、数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的_预习交流 4做一做：在复平面内，向量 AB对应的复数是 2i，向量 AC对应的复数为1i，则向量 BC对应的复数为_在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习导引1(1)复平面 实轴 虚轴 实数 纯虚数 (2)( a， b) OZ (3)同一个预习交流 1：提示：复数对应的点在虚轴上， a22 a0，即 a0 或 a2.预习交流 2：提示： z i，对应点为 ，在第四象限12 i 2 i(2 i)(2 i) 25 152(1)向量 OZ (2) a2 b2预习交流 3：提示：| x y
5、i| 3，x2 y2 x2 y29.3(3) 距离(a c)2 (b d)2预习交流 4：提示：32i3一、复数的几何意义实数 x 分别为什么值时，复数 z x2 x6( x22 x15)i 表示的点(1)在实轴上？(2)在虚轴上？思路分析：本题需弄清实轴、虚轴及实轴上数的特点、虚轴上数的特点，抓住特点完成1在复平面内，点 A， B 对应的复数分别是32i,14i，则线段 AB 的中点对应的复数是_2复数 z2i1，则复数 z 在复平面内对应的点位于第_象限确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复
6、数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解二、有关复数模的问题已知复数 z 满足 z| z|28i，求复数 z.思路分析：常规解法：设 z a bi(a， bR)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件，求出 a， b.也可以巧妙地利用| z|R，移项后得到复数的实部，再取模可得关于| z|的方程，求解即可1(2012 湖南高考)已知复数 z(3i) 2(i 为虚数单位)，则| z|_.2已知复数 z ai(0 a2)，则| z|的取值范围是_3已知复数 z a bi(a， bR)，若复数 z 的虚部为 ，且| z|2，复数 z 在复平面3内对应的点在第二象限，则复数 z_.z 为复数，
7、但| z|为实数，复数相等的定义即实部与实部相等，虚部与虚部相等需明确谁是实部，谁是虚部，同时，把复数 z 看作整体的方法值得借鉴三、复数加减法几何意义的应用已知平行四边形 ABCD 的顶点 A、 B、 D 对应的复数分别为 1i、43i、13i.试求：(1) AD对应的复数；(2) B对应的复数；(3)点 C 对应的复数思路分析：利用复数加法、减法的几何意义进行求解1在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若向量 A， B对应的复数分别是 3i，13i，则对应的复数是_2集合 M z|z1|1， zC， N z|z1i| z2|， zC，集合 P M N.(1)指出
8、集合 P 在复平面上表示的图形；(2)求集合 P 中复数模的最大值和最小值向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数注意向量 AB对应的复数是 zB zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)1在复平面内，复数 zcos 3isin 3 对应的点位于第_象限2在复平面内，若复数 z 满足| z1| zi|，则 z 所对应的点的集合构成的图形是_43已知复数 z(1i)(2i)，则| z|的值是_4在复平面内，向量 AB对应的复数是 2i，向量 CB对应的复数是13i，则向量
9、CA对应的复数为_5在复平面内表示复数 z( m3)2 i 的点在直线 y x 上，则实数 m 的值为m_6定义运算 ( a d)( c b)，则符合条件 0 的复数 z 对应的点|a bc d| |z 1 2i1 2i 1 i|在第_象限提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1)当 x22 x150，即 x3 或 x5 时，复数 z 对应的点在实轴上(2)当 x2 x60，即 x2 或 x3 时，复数 z 对应的点在虚轴上迁移与应用：11i 解析：由已知 A(3,2)， B(1，4)， AB 的
10、中点为(1，1)， AB 中点对应的复数为1i.2三 解析：复数 z 在复平面内对应的点为(1，2)，该点位于第三象限活动与探究 2：解法一：设 z a bi(a， bR)，则| z| ，代入方程得a2 b2a bi 28i.a2 b2Error! 解得Error! z158i.解法二：原式可化为 z2| z|8i.| z|R，2| z|是 z 的实部于是| z| ，(2 |z|)2 82即| z|2684| z| z|2.| z|17.代入 z2| z|8i，得 z158i.迁移与应用：110 解析： z(3i) 2，| z|3 21 210.2(1， ) 解析：| z| ai| .5 a2
11、 10 a2，1 a215，1| z| .531 i 解析：由已知得 2,4ba，3 .ab，.又复数 z 对应的点在第二象限， a1，即 z1 i.3活动与探究 3：解：(1)设坐标原点为 O，5则有 AD O，所以 对应的复数为(13i)(1i)22i.(2) B ，所以 对应的复数为(43i)(13i)5.因为 ABCD 是平行四边形，所以 A C.由(1)知 22i，而 B O，所以 对应的复数为(22i)(43i)25i，这就是点 C 对应的复数迁移与应用：142i 解析：依题意有 D BA O ，所以 D对应的复数为(3i)(13i)42i.2解：(1)由| z1|1 可知，集合
12、M 在复平面内所对应的点集是以点 E(1,0)为圆心，1 为半径的圆的内部及边界；由| z1i| z2|可知，集合 N 的轨迹是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线 l，因此集合 P 是圆截直线 l 所得的一条线段 AB，如图所示(2)圆方程为 x2 y22 x0，直线 l 的方程为 y x1，解方程组Error!得 A ， B ，所以| OA| ，| OB| .点 O 到直线 l 的距离为 ，且过 O 向 l 引垂线，2 2 2 222垂足在线段 BE 上， ，故集合 P 中复数模的最大值为 ，最小值为 .22 2 2 2 2 22当堂检测1二 解析：由已知得复数 z 对应的点为(cos 3，sin 3)，而 cos 30，sin 30，点(cos 3，sin 3)在第二象限2以(1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线3 解析： z(1i)(2i)13i，10| z| .12 ( 3)2 10434i 解析： CA B C AB(13i)(2i)34i.59 解析：复数 z 对应的点为(m3,2 )，m由已知得 m32 ，m9.m6一 解析：由定义得( z1i)(12i12i)0， z1i0， z1i，对应点为(1,1)，故 z 对应的点在第一象限
