1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算,1.复数乘法的运算法则及其运算律,名师点拨1.复数的乘法与多项式乘法是类似的,只有一点不同,即必须先在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并. 2.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对复数z,z1,z2和自然数n,m,有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=,【做一做1】 (1)(2+3i)(1-4i)= ; (2)(4-2i)2= . 解析:(1)(2+3i)(1-4i)=2-8i+3i+12=14-5i; (2)(4-2i)2=16-16i+(-4)=12-16i. 答案:(1)14-5i (2)12-16i
2、做一做2】 若复数z1=2x+5yi与z2=(3-x)-10i互为共轭复数,则实数x,y的值分别为 .,名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,再分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).,4.虚数单位i幂值的周期性 若nN*,则i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1. 【做一做4】 计算i2 018-i2 017= . 解析:i2 018-i2 017=i4504+2-i4504+1=i2-i=-1-i. 答案:-1-i,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的
3、打“”.,答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数的乘法与除法运算 【例1】 计算下列各题:,思路分析:按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.复数乘法运算的技巧 (1)复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可. (2)三个或三个以上的复数相乘可以按照从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致. (3)在复数乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.例如:(ab)2=a
4、22ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等. (4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式(zm)n=zmn进行转化求解. 2.复数除法运算的技巧 (1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似. (2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,共轭复数及其应用,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,虚数单位i幂值的周期性及应用 【例3】 计算下列各式
5、的值: (1)i2 015;(2)(1+i)12+(1-i)12;(3)1+i+i2+i2 016. 思路分析:根据i幂值的周期性以及复数高次乘方的运算法则进行计算求解. 解:(1)i2 015=i4503+3=i3=-i. (2)(1+i)12+(1-i)12=(1+i)26+(1-i)26 =(2i)6+(-2i)6=(-4)3+(-4)3=-128. (3)法一:1+i+i2+i2 016 =(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+ +(i2 012+i2 013+i2 014+i2 015)+i2 016=0504+i2 016=1. 法2:由等比数列前n项和公式可得,探究
6、一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.熟记i的幂值的4个结果:当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i. 2.对于nN*,有in+in+1+in+2+in+3=0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3若A=x|x=i2n+i-2n,nN*,则集合A的子集的个数为( ) A.3 B.4 C.8 D.16 解析:当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2, 当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2, 当n=3时,x=i6+i-6=-2, 当n=4时,x=i8+i-8=2, 因此A=2,-2,故A有4个子集. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,混淆复数运算性质与实数运算性质致误,纠错心得在复数集中进行乘方运算时,注意实数运算性质与复数运算性质的区别,不能将它们混淆,在复数集中,只有当m,nN*时,(zm)n=zmn才成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,4.若复数z=(-2-3i)(a+i)是纯虚数,则实数a等于 .,
