1、1.1.2 集合间的基本关系,一,二,三,一、子集与真子集 1.观察下面几个例子,你能发现集合A,B间有什么关系吗? A=1,2,3,B=1,2,3,4,5; A为新华中学高一(1)班全体女生组成的集合,B为该班全体学生组成的集合; A=N,B=R; A=x|x为中国人,B=x|x为亚洲人.,一,二,三,(1)集合A中的元素都是集合B中的元素吗? 提示:是. (2)集合B中的元素都是集合A中的元素吗? 提示:不全是. (3)集合A,B的关系能不能用图直观形象地表示出来? 提示:能,如图.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.,一,二,三,2.填表:子集与真子集
2、一,二,三,3.做一做: (1)已知集合A=x|-1B B.AB C.BA D.AB (2)已知集合A=1,2,3,下列集合是集合A的真子集的是( ) A.1,2,3 B.2,3 C.-1,2,3 D.1,2,3,4答案:(1)C (2)B 4.判断正误: 任何集合都有子集和真子集. ( ) 答案:,一,二,三,二、集合相等 1.如果集合A是集合B的子集(AB),且集合B是集合A的子集(BA),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.,2.判断正误: 集合(-1,1)和集合(1,-1)是同一点集.( ) 答案: 3.做一做: 设集合A=x,y,B=0,x2,若A=B,
3、则2x+y等于( ) A.0 B.1 C.2 D.-1所以2x+y=2. 答案:C,一,二,三,三、空集 1.集合A=x|x2-x+8=0中有多少个元素? 提示:0个. 2.空集是怎么定义的?空集用什么符号表示?空集有怎样的性质? 提示:一般地,我们把不含有任何元素的集合称为空集,记作:.并规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.,一,二,三,3.判断正误: (1)任何集合至少有两个子集. ( ) (2)若A,则A. ( ) 答案:(1) (2) 4.做一做: 已知集合x|x2-x+a=0=,则实数a的取值范围是 . 解析:x|x2-x+a=0=,探究一,探究二,探究三,探究四,思
4、维辨析,探究一写出给定集合的子集 例1 (1)写出集合0,1,2的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集; (2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出. 解:(1)不含任何元素的子集为; 含有一个元素的子集为0,1,2; 含有两个元素的子集为0,1,0,2,1,2; 含有三个元素的子集为0,1,2. 故集合0,1,2
5、的所有子集为,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2. 其中除去集合0,1,2,剩下的都是0,1,2的真子集.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(2)由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏. 2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论
6、可在选择题或填空题中直接使用.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1若1,2,3A1,2,3,4,5,则满足条件的集合A的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:集合1,2,3是集合A的真子集,同时集合A又是集合1,2,3,4,5的子集,所以集合A只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和1,2,3,4,5. 答案:B,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究二韦恩图及其应用 例2下列能正确表示集合M=-1,0,1和N=x|x2+x=0的关系的维恩图是( )解析:N=x|x2+x=0=x|x=0或x=-1=0,-1, NM,故选B
7、 答案:B 反思感悟 维恩图是集合的又一种表示方法,使用方便,表达直观,可迅速帮助我们分析问题、解决问题,但它不能作为严密的数学工具使用.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练 2设A=四边形,B=梯形,C=平行四边形,D=菱形,E=正方形,则下列关系正确的是( ) A.EDCA B.DECA C.DBA D.EDCBA 解析:集合A,B,C,D,E之间的关系可用Venn图表示,结合下图可知,应选A.答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究三集合相等关系的应用 例3已知集合A=2,x,y,B=2x,2,y2,且A=B,求实数x,y的值. 分析
8、根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.,解:A=B,集合A与集合B中的元素相同,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,延伸探究若将本例已知条件改为“集合A=x,xy,x-y,集合B=0,|x|,y,且A=B”,求实数x,y的值. 解:0B,A=B,0A. 又由集合中元素的互异性,可知|x|0,y0, x0,xy0,故x-y=0,即x=y. 此时A=x,x2,0,B=0,|x|,x, x2=|x|,解得x=1. 当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾
9、 x=-1,即x=y=-1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究四由集合间的关系求参数的范围 例4 已知集合A=x|-5x2,B=x|2a-3xa-2. (1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系; (2)若AB,求实数a的取值范围. 分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解:(1)若a=-1,则B=x|-5x-3. 如图在数轴上标
10、出集合A,B. 由图可知,BA. (2)由已知AB. 当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合,又因为a1,所以实数a的取值范围为-1a1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟 1.求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. 2.涉及“AB”或“AB,且B”的问题,一定要分A=和A两种情况进行讨论,其中A=的情况容易被忽略,应引起足够的重视.,探究一,探究二,
11、探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,延伸探究(1)【例4】(2)中,是否存在实数a,使得AB?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由. (2)若集合A=x|x2,B=x|2a-3xa-2,且AB,求实数a的取值范围. 解:(1)因为A=x|-5x2,所以若AB,则B一定不是空集.,(2)当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可知2a-32或a-2-5, 解得a 或a-3. 又因为a1,所以a-3. 综上,实数a的取值范围为a1或a-3.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,因
12、忽视空集是任何集合的子集而致错 典例 已知集合M=x|2x2-5x-3=0,N=x|mx=1,若NM,则m的取值集合为 .,以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范? 提示:上述解法出错的原因是:丢掉了N=这种情况.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,纠错心得错解中由于忽视了空集是任何集合的子集,从而导致漏解:即N=.分类讨论时,要注意做到分类标准清晰,既不重复又不遗漏.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练若集合A=x|x2+x-6=0,B=x|x2+x+a=0,且BA,求实数a的取值范围. 解:A=-3,2.对于x2+x+
13、a=0,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1.集合0,1的子集有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:集合0,1的子集有,0,1,0,1,共4个. 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,2.已知集合A=-1,0,1,B=0,1,设集合C=z|z=x+y,xA,yB,则集合C的真子集的个数为( ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析:集合C=-1,0,1,2,C中有4个元素. 集合C的真子集的个数为24-1=15.故选C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,3.已知集合M-1,0,2,且M中含有两个元素,则符合条件的集合M有 个. 解析:由于集合M-1,0,2,且M中含有两个元素,所以符合条件的M可以是-1,0,-1,2,0,2. 答案:3 4.已知集合A=x,2,集合B=3,y,若A=B,则x= ,y= . 解析:A=B,A,B中元素相同,x=3,y=2. 答案:3 2,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,5.已知集合P=x|-2x3,Q=x|x-a0.若PQ,求实数a的取值范围. 解:Q=x|x-a0=x|xa,PQ,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.由图可得a-2.故实数a的取值范围是a-2.,
