1、1专题 19 导数及其应用 导数 的应用 3（恒成立及存在性问题、导数的综合应用）【考点讲解】1、具本目标：1. 导数在研究函数中的应用：了解函数单调性和导数的关系； 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； 2.单独考查利用导数研究
2、函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题.3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.二、知识概述：一）函数的单调性：1.设函数 y=f(x)在某个区间内可导，如果 0)(xf，则函数 y=f(x)为增函数；如果 f (x)0 非必 要条件 )(xf为增函数，一定可以推出 0)(xf，但反之不一定4. 讨论可导函数的单调性的步骤：（1）确定 )(xf的定义域；（2）求 ，令 0)(f，解方程求分
3、界点；（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断 )(xf在每个开区间内的符号，即可确定 )(xf的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式如 f(x)、 g(x)均在 a、 b上连续，( a， b)上可导，那么令h(x) f(x) g(x)，则 h(x)也在 a， b上连续，且在( a， b)上可导，若对任何 x( a， b)有 h (x)0 且 h(a)0，则当 x( a， b)时 h(x)h(a)=0，从而 f(x)g(x)对所有 x( a， b)成立二）函数的极、最值：1函数的极值(1)函数的极小值：函数 y f(x)在点 x a 的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其
4、它点的函数值都小， f(a) 0，而且在点x a 附近的左侧 f(x) 0，右侧 f(x) 0，则点 a 叫做函数 y f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y f(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 y f(x)在点 x b 的函数值 f(b)比它在点 x b 附近的其他点的函数值都大， f(b) 0，而且在点x b 附近的左侧 f(x) 0，右侧 f(x) 0，则点 b 叫做函数 y f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y f(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2函数的最值(1)在闭区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值(
5、2)若函数 f(x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a， b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值【真题分析】1.【优选题】若曲线 存在垂直于 y轴的切线，则实数 a取值范围是_. 【解析】 由题意可知 ，又因为存在垂直于 y轴的切线，所以 .3【答案 】 (,0)2.【2018 年江苏卷】若函数 在 ，0内有且只有一个零点，则xf在 1， 上的最大值与最小值的和为_【答案】3【变式】若函数 有零点，则 k 的取值范围为_. 【答案】3.【2018 年理新课标 I 卷】已知函数 ，则 xf的最小值是_4【
6、答案】 234.【优选题】已知 ，若对任意两个不等的正实数 12x、都有恒成立，则 a的取值范围是 .【解析】由题意可知 （ x0）恒成立， 2ax恒成立，令 则 ， 为开口方向向下，对称轴为 x=1 的抛物线，当 x=1 时， 取得最大值1g， a即 a 的取值范围是1，+） 【答案】 ,5.【2017 深圳模拟】设函数 ，其中 1a，若存在唯一的整数 t，使得50ft，则 a的取值范围是（ ）A 3,12e B 3,24eC 3,24e D 3,12e【答案】D6.【优选题】已知函数 (0)a.（1）若曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线为 2yxb，求 2的值；（2）讨论函数 的单调
7、性；（3）设函数 ， 若至少存在一个 0,4xe，使得 成立，求实数 a的取值范围【解析】本题是函数的综合问题.（1） ()fx的定义域为 (0,)， ， ， ，解得 ， 6（2） ，当 a时， ， ()fx的单调增区间为 (0,).当 02时，由 ， ()fx的单调增区间为 (,)a， 2,)由 ， fx的单调减区间为 (,2)a.当 2a时，由 ， ()fx的单调增区间为 (0,2)， ,)a由 ， fx的单调减区间为 (2,)a.综上所述：当 2a时， ， ()fx的 单调增区间为 (0,)，当 0时， ()f的单调增区间为 (,)a， 2,)，x的单调减区间为当 2a时， ()fx的单
8、调增区间为 (0,)， ,)a， (fx的单调减区间为 (2,)a.（3）若至少存在一个 0,4e，使得 ， ，当 ,4xe时， ln1x，21lnxa有解，令 ， .7， ()hx在 ,4e上单调递减， 2lna得， 2l7.【201 8 山东模拟】设函数（）当 时 ，1m曲线 处的切线斜率.（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数 )(xf有三个互不相同的零点 0， 21,x，且 21x.若对任意的 ,21x，1)(xf恒成立，求 m 的取值范围.（2） ，令 0)(xf，得到因为当 x 变化时， )(,xf的变化情况如下表：1mm1),()(xf+ 0 - 0 +极 小值 极大值)(xf
9、在 )1,m和 ),(内减函数，在 内增函数。函数 f在 处取得极大值 )1(mf，且 )1(f=. 8函数 )(xf在 m1处取得极小值 )1(mf，且 )1(f=.（3） 由题设， 所以方程 =0 由两个相异的实根 21,x，故 321，且 ，解得因为.若 ，而 0)(1xf，不合题意若 ,12x则对任意的 ,21x有则 又 0)(1f，所以函数 )(xf在 ,21x的最小值为 0，于是对任意的 ,21x， )(ff恒成立的充要条件是 ,解得 .综上， m 的取值范围是 3，.8.【优选题】已知函数（1）当 254a时，求 ()fx的单调递减区间；（2）若当 0x时， 1恒成立，求 a的取
10、值范围；（3）求证： 9（2）由，得令 ， 则当 0x时， 0)(xg， )(xg在 0， )上单调递减.，故 2a.（3）由（2）知 ， 取 kx1得 ，即.即.【模拟考场】1.设函数 ，若存在唯一的正整数 0x，使得 0)(xf，则 a的取值范围是（ ）A )31,0( B 45,31(C 23,1( D 23,45(【答案】B2.设函数 ，其中 1a，若存在唯一的整数 0x，使得 0()fx，则 a的取值范10围是（ ）A 3,1)2eB 3,)24eC 3,)24eD 3,1)2e【解析】 ，记 ，则题意说明存在唯一的整数 0x，使 ()g的图象在直线 yax下方，当 12x时， ()g，当 12时， 0x，因此当 12x时， ()g取得极小值也是最小值 ，又 ()1g， ()0e，直线 ya过点（1,0）且斜率为 a，故 ，解得 312e 【答案】 （1）增区间为 ,， , 单调减区间为 2, 13（2） 7m11
