1、1第一节 空间几何体及表面积与体积突破点一 空间几何体基 本 知 识 1简单旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到提醒 (1)球是以半圆面为旋转对象的，而不是半圆(2)要注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧长三者之间的区别与联系2简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可
2、由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形提醒 (1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台(3)注意棱台的所有侧棱相交于一点3直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x轴、 y轴的夹角为 45(或135)， z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半基 本 能 力 一、判断题(
3、对的打“” ，错的打“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台( )2答案：(1) (2) (3)二、填空题1在如图所示的几何体中，是棱柱的为_(填写所有正确的序号)答案：2下列命题中正确的是_由五个平面围成的多面体只能是四棱锥；棱锥的高线可能在几何体之外；仅有一组相对的面平行的六面体一定是棱台；有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥答案：3一个棱柱至少有_个面；面数最少的一个棱锥有_个顶点；顶点最少的一个棱台有_条侧棱答案：5
4、 4 34.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴， BC， AD 平行于x 轴已知四边形 ABCD 的面积为 2 cm2，则原平面图形的面积为_ cm 2.2解析：依题意可知 BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与 BC， AD相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.2答案：8典 例 感 悟 1给出下列几个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是( )A0 B1C2
5、 D3解析：选 B 错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一3定相等故正确命题的个数是 1.2给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_解析：不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱
6、的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形答案：方法技巧 辨别空间几何体的 2 种方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可针对训练1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A圆柱 B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选 C 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体2下列命题正确的是( )A两个面平行，其余各面都是梯形的
7、多面体是棱台B两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析：选 C 如图所示，可排除 A、B 选项对于 D 选项，只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分故选 C.4突破点二 空间几何体的表面积与体积基 本 知 识 空间几何体的表面积与体积公式名称几何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积 S 侧 2 S 底 V Sh锥体(棱锥和圆锥)S 表面积 S 侧 S 底 V Sh13台体(棱台和圆台) S 表面积 S 侧 S
8、上 S 下V (S 上 S 下13 )hS上 S下球 S4 R2 V R343提醒 解决与几何体的面积有关问题时，务必要注意是求全面积还是求侧面积基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积( )(3)球的体积之比等于半径比的平方( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_答案：1472以长为 a，宽为 b 的矩形的一边所在的直线为轴旋
9、转一周所得圆柱的侧面积为_5答案：2 ab3已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_ cm.答案：2全 析 考 法 考法一 空间几何体的表面积 例 1 在梯形 ABCD 中， ABC ， AD BC， BC2 AD2 AB2.将梯 2形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A4 B(4 )2C6 D(5 )2(2)(2019合肥质检)已知圆锥的高为 3，底面半径为 4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为( )A5 B. 5C9 D3解析 (1)在梯形 ABCD 中， ABC ， AD BC， 2BC2
10、 AD2 AB2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB1，高为 BC2 的圆柱减去一个底面半径为 AB1，高为BC AD211 的圆锥的组合体，几何体的表面积S1 2212 21 (5 ).12 12 12 2(2)圆锥的底面半径 r4，高 h3，圆锥的母线 l5，圆锥的侧面积S rl20，设球的半径为 R，则 4 R220， R ，故选 B.5答案 (1)D (2)B方法技巧求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过
11、程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、6几何体的表面积锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积考法二 空间几何体的体积 例 2 (1)如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1的体积为( )A. B.312 34C. D.612 64(2)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 ADE， BCF 均为正三角形， EF AB， EF2
12、，则该多面体的体积为_解析 (1)三棱锥 B1ABC1的体积等于三棱锥 AB1BC1的体积，三棱锥 AB1BC1的高为，底面积为 ，故其体积为 .32 12 13 12 32 312(2)如图，分别过点 A， B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G， H，连接DG， CH， BF，易求得 EG HF ， AG GD BH HC ，则 BHC 中 BC 边的高 h . S12 32 22AGD S BHC 1 ， V 多面体12 22 24 VEADG VFBHC VAGDBHC2 VEADG VAGDBHC 2 1 .13 24 12 24 23答案 (1)A (2)23方法技巧 求空间几何体的
13、体积的常用方法公式法 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积7集 训 冲 关 1. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面考 法 一 积为 84，则圆台较小底面的半径为( )A
14、7 B6C5 D3解析：选 A 设上底面半径为 r，则下底面半径为 3r，截得圆台的大圆锥母线为 l，则 ， l ，由 3 r r 84，解得 r7.l 3l 13 92 92 322. 如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥考 法 二 A1BB1D1D 的体积为_解析：正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，矩形 BB1D1D 的长和宽分别为 1, .2四棱锥 A1BB1D1D 的高是正方形 A1B1C1D1对角线长的一半，即为 ，22 V 四棱锥 A1BB1D1D Sh (1 ) .13 13 2 22 13答案：133. 如图，正四棱锥 PABCD 的底面
15、边长为 2 cm，侧考 法 一 、 二 3面积为 8 cm2，则它的体积为 _ cm3.3解析：记正四棱锥 PABCD 的底面中心为点 O，棱 AB 的中点为 H，连接 PO， HO， PH，则 PO平面 ABCD，因为正四棱锥的侧面积为 8 cm2，3所以 8 4 2 PH，解得 PH2，在 Rt PHO 中，312 3HO ，所以 PO1，所以 VPABCD S 正方形 ABCDPO4 cm 3.313答案：4突破点三 与球有关的切、接问题与球有关的组合体问题常涉及内切和外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体时，切点
16、为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体时，正方体的各个顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与其他旋转体组合时，通常作它们的轴截面解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题.8全 析 考 法 考法一 与球有关的外接问题 例 1 (1)(2019福州模拟)已知圆锥的高为 3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与3底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A. B. 83 323C16 D32(2)(2018成都模拟)在三棱锥 PABC 中，已知 PA底面 ABC， BAC60，PA2， AB AC ，若该三棱锥
17、的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )3A. B.43 823C8 D12解析 (1)设该圆锥的外接球的半径为 R，依题意得， R2(3 R)2( )2，解得3R2，所以所求球的体积 V R3 2 3 .43 43 323(2)易知 ABC 是等边三角形如图，作 OM平面 ABC，其中 M 为 ABC 的中心，且点 O 满足 OM PA1，则点 O 为三棱锥 PABC 外接12球的球心于是，该外接球的半径 R OA AM2 OM2 .故该球的表面积 S4 R28.(32 323)2 12 2答案 (1)B (2)C方法技巧处理球的外接问题的策略(1)把一个多面体的几个顶点放在球面上即为
18、球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径(2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心 考法二 与球有关的内切问题 例 2 (1)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母9线均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是_V1V2(2)已知正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 ，内有一个球与四
19、个面都相切，则棱锥的3内切球的半径为_解析 (1)设圆柱内切球的半径为 R，则由题设可得圆柱 O1O2的底面圆的半径为 R，高为 2R，故 .V1V2 R22R43 R3 32(2)如图，过点 P 作 PD平面 ABC 于点 D，连接 AD 并延长交 BC 于点 E，连接 PE， ABC 是正三角形， AE 是 BC 边上的高和中线， D 为 ABC 的中心 AB2 ，3 S ABC3 ， DE1， PE .3 2 S 表 3 2 3 3 3 .12 3 2 3 6 3 PD1，三棱锥的体积 V 3 1 .13 3 3设球的半径为 r，以球心 O 为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四
20、个小棱锥，则 r 1.3336 33 2答案 (1) (2) 132 2方法技巧处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 集 训 冲 关 1. 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若考 法 一 AB3， AC4， AB AC， AA112，则球 O 的半径为( )A. B23172 1010C. D3132 10解析：选 C 如图，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM BC12 12 ， OM AA16，所以球 O 的半径 R OA .32
21、 4252 12 (52)2 62 1322. 已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内切球的表面积为( )考 法 二 A B.32C2 D3解析：选 C 依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB 上的高为 2 ，因此 ，解得 r ，222 r3 r1 22所以圆锥内切球的表面积为 4 22，故选 C.(22)3. 已知三棱锥 PABC 中， ABC 为等边三角形， PA PB PC3， PA PB，则考 法 二 三棱锥 PABC 的外接球的体积为( )A. B. 272 2732C27 D273解析：选 B 三棱锥 PABC 中， ABC 为等边三角形，PA PB PC3， PAB PBC PAC. PA PB， PA PC， PC PB.以PA， PB， PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 的外接球正方体的体对角线长为 332 32 32， 其外接球半径 R .因此三棱锥 PABC 的外接球的体积 V 3 .3332 43 (332) 273211
