1、1第一节 直线与方程突破点一 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系基 本 知 识 1直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是0，)2直线的斜率公式(1)定义式：若直线 l 的倾斜角 ，则斜率 ktan_ . 2(2)两点式： P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在直线 l 上，且 x1 x2，则 l 的斜率 k .y2 y1x2 x13两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线 l
2、1， l2，若其斜率分别为 k1， k2，则有l1 l2k1 k2. 当直线 l1， l2不重合且斜率都不存在时， l1 l2两条直线垂直如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2，则有l1 l2k1k21. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时， l1 l2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( )(4)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1 k2l1 l2.( )(5)如果两条直线 l1与 l
3、2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( )答案：(1) (2) (3) (4) (5)二、填空题1过点 M(1， m)， N(m1,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为_答案：12若直线 l1：( a1) x y10 和直线 l2：3 x ay20 垂直，则实数 a 的值为_2答案：343(2019湖南百所中学检测)若直线 l1： ax y10 与 l2：3 x( a2) y10 平行，则 a 的值为_答案：14直线 x( a21) y10 的倾斜角的取值范围是_答案： 34， )全 析 考 法 考法一 直线的倾斜角与斜率 1直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率 kk
4、tan 0k0ktan 0不存在倾斜角 锐角 0 钝角 902在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数 ktan 的单调性，如图所示：(1)当 取值在 内，由 0 增大到 时， k 由0， 2) 2( 2)0 增大并趋向于正无穷大；(2)当 取值在 内，由 增大到 ( )时， k 由负无穷大增大( 2， ) 2( 2)并趋近于 0.解决此类问题，常采用数形结合思想例 1 (1)(2019江西五校联考)已知直线 l 与两条直线 y1， x y70 分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，那么直线 l 的斜率是( )A. B.23 32C D23 32(2)(2019张
5、家口模拟)直线 l 经过 A(2,1)， B(1， m2)(mR)两点，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是( )A. B.0， 4 ( 2， )3C. D. 4， 2) ( 2， 34解析 (1)设 P(a,1)，Q( b， b7)，则Error! 解得Error!所以 P(2,1)，Q(4，3)，所以直线 l 的斜率 k ，故选 C.1 3 2 4 23(2)直线 l 的斜率 ktan m211，所以 .1 m22 1 4 2答案 (1)C (2)C方法技巧求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分 与 两种情况讨
6、论由正切函数图象可以看出，当0， 2) ( 2， ) 时，斜率 k0，)；当 时，斜率不存在；当 时，斜率0， 2) 2 ( 2， )k(，0) 考法二 两直线的位置关系 两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；两直线垂直两直线的斜率之积为1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在 x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合例 2 (1)(2019武邑中学月考)已知过两点 A(3， m)， B(m,5)的直线与直线3x y10 平行，则 m 的值为( )A3 B7C7 D9(2)(2019安徽六安四校联考
7、)设 mR，则“ m0”是“直线 l1：( m1) x(1 m)y10 与直线 l2：( m1) x(2 m1) y40 垂直”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 (1)由题可知， 3，解得 m7，故选 C.5 mm 34(2)由直线 l1与 l2垂直可得( m1)( m1)(1 m)(2m1)0，解得 m0 或 m1.所以“ m0”是“直线 l1：( m1) x(1 m)y10 与直线 l2：( m1) x(2 m1)y40 垂直”的充分不必要条件故选 A.答案 (1)C (2)A方法技巧由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1： A1x
8、 B1y C10( A B 0) 21 21l2： A2x B2y C20( A B 0)2 2l1与 l2垂直的充要条件 A1A2 B1B20l1与 l2平行的充分条件 (A2B2C20)A1A2 B1B2 C1C2l1与 l2相交的充分条件 (A2B20)A1A2 B1B2l1与 l2重合的充分条件 (A2B2C20)A1A2 B1B2 C1C2提醒 当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件集 训 冲 关 1. 已知直线过 A(2,4)， B(1， m)两点，且倾斜角为 45，则 m(
9、)考 法 一 A3 B3C5 D1解析：选 A 直线过 A(2,4)， B(1， m)两点，直线的斜率为 4 m.又直线m 41 2的倾斜角为 45，直线的斜率为 1，即 4 m1， m3.故选 A.2. 已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x2 y30 垂直，则 cos 2 的值考 法 一 、 二 为( )A. B35 35C. D15 15解析：选 B 由题意得 tan 1，tan 2，cos 122 ，故选 B.1 tan21 tan2 1 41 4 353. 若直线 l1： ax( a1) y10 与直线 l2：2 x ay10 垂直，则实数考 法 二 5a( )A3 B0C3 D0 或
10、3解析：选 D 直线 l1与直线 l2垂直，2 a a(a1)0，整理得 a23 a0，解得 a0 或 a3.故选 D.4. 设 aR，则“ a1”是“直线 l1： ax2 y10 与直线 l2： x( a1)考 法 二 y40 平行”的( )A充分必要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 当 a1 时，直线 l1： x2 y10 与直线 l2： x2 y40 的斜率都是 ，截距不相等，两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得12 ，解得 a2 或 a1，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要a1 2a 1 14条件故选 C.突破点二
11、直线的方程基 本 知 识 直线方程的五种形式形式 几何条件 方程 适用范围点斜式 过一点( x0， y0)，斜率 k y y0 k(x x0) 与 x 轴不垂直的直线斜截式 纵截距 b，斜率 k y kx b 与 x 轴不垂直的直线两点式过两点( x1， y1)，(x2， y2) y y1y2 y1 x x1x2 x1与 x 轴、 y 轴均不垂直的直线截距式 横截距 a，纵截距 b 1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax By C0， A2 B20平面直角坐标系内所有直线基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)经过定点 A(0， b)的直线都可以用方程 y
12、kx b 表示( )(2)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程( y y1)(x2 x1)( x x1)(y2 y1)表示( )6(3)不经过原点的直线都可以用 1 表示( )xa yb答案：(1) (2) (3)二、填空题1过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_答案：4 x3 y0 或 x y102(2019开封模拟)过点 A(1，3)，斜率是直线 y3 x 斜率的 的直线方程为14_答案：3 x4 y1503已知三角形的三个顶点 A(5,0)， B(3，3)， C(0,2)，则 BC 边上中线所在的直线方程为_解析：由已
13、知，得 BC 的中点坐标为 ，且直线 BC 边上的中线过点 A，则 BC 边(32， 12)上中线的斜率 k ，故 BC 边上的中线所在直线方程为 y ，即113 12 113(x 32)x13 y50.答案： x13 y50全 析 考 法 考法一 求直线方程 例 1 (2019湖北十堰模拟)已知菱形 ABCD 的顶点 A， C 的坐标分别为 A(4,7)，C(6，5)， BC 边所在直线过点 P(8，1)求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线 BD 所在直线的方程解 (1) kBC 2， 5 16 8 AD BC， kAD2. AD 边所在直线的方程为 y72( x4)，即 2x y
14、150.(2)kAC . 5 76 4 65菱形的对角线互相垂直， BD AC， kBD .56 AC 的中点(1,1)，也是 BD 的中点，7对角线 BD 所在直线的方程为 y1 (x1)，即 5x6 y10.56方法技巧求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零) 考法二 与直线方程有关的最值问题 例 2 (1)已知直线 x a2y a0( a 是正常数)，当此直线在 x 轴， y 轴上的截距和最小时，正数 a 的值
15、是( )A0 B2C. D12(2)若直线 x2 y b0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是( )A2,2 B(，22，)C2,0)(0,2 D(，)解析 (1)直线 x a2y a0( a 是正常数)在 x 轴， y 轴上的截距分别为 a 和 ，此1a直线在 x 轴， y 轴上的截距和为 a 2，当且仅当 a1 时，等号成立故当直线1ax a2y a0 在 x 轴， y 轴上的截距和最小时，正数 a 的值是 1，故选 D.(2)令 x0，得 y ，令 y0，得 x b，所以所求三角形面积为 | b| b2，b2 12|b2| 14且 b0，因为 b21，所以
16、b24，所以 b 的取值范围是2,0)(0,214答案 (1)D (2)C方法技巧与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用 y 表示 x 或用 x 表示 y；(2)将问题转化成关于 x(或 y)的函数；(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值 集 训 冲 关 1. 已知直线 l 过点 P(1,3)，且与 x 轴， y 轴的正半轴所围成的三角形的面积考 法 一 等于 6，则直线 l 的方程是( )A3 x y60 B x3 y100C3 x y0 D x3 y808解析：选 A 设直线 l 的方程为 1( a0， b0)xa yb由题意得Error!解得 a2， b6.故直线 l
17、 的方程为 1，x2 y6即 3x y60.故选 A.2. 过点 M(3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为考 法 一 _解析：当直线过原点时，直线方程为 y x；53当直线不过原点时，设直线方程为 1( a0)，xa y a即 x y a(a0)，把(3,5)代入，得 a8，所以直线方程为 x y80.故所求直线方程为 y x 或 x y80.53答案： y x 或 x y80533. 已知直线 l1： ax2 y2 a4， l2：2 x a2y2 a24，当 0 a2 时，直考 法 二 线 l1， l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a_.解析：直线 l1
18、可写成 a(x2)2( y2)，直线 l2可写成 2(x2) a2(2 y)，所以直线 l1， l2恒过定点 P(2,2)，直线 l1的纵截距为 2 a，直线 l2的横截距为 a22，所以四边形的面积 S 2(2 a) 2(a22) a2 a4 2 .当 a 时，面积12 12 (a 12) 154 12最小答案：12突破点三 直线的交点、距离与对称问题基 本 知 识 1两条直线的交点92三种距离类型 条件 距离公式两点间的距离点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之间的距离|P1P2| x2 x1 2 y2 y1 2点到直线的距离点 P0(x0， y0)到直线l： Ax By C0
19、 的距离 d|Ax0 By0 C|A2 B2两平行直线间的距离两条平行线 Ax By C10 与Ax By C20 间的距离 d|C1 C2|A2 B2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交( )(2)点 P(x0， y0)到直线 y kx b 的距离为 .( )|kx0 b|1 k2(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(4)若点 A， B 关于直线 l： y kx b(k0)对称，则直线 AB 的斜率等于 ，且线段1kAB 的中点在直线 l 上( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空
20、题1已知点( a,2)(a0)到直线 l： x y30 的距离为 1，则 a 的值为_答案： 122若直线 l1： x ay60 与 l2：( a2) x3 y2 a0 平行，则 l1与 l2间的距离为_答案：8233当 0 k 时，直线 l1： kx y k1 与直线 l2： ky x2 k 的交点在第_12象限答案：二4(2018忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为_答案：2 x y30全 析 考 法 10考法一 距离问题 例 1 (2019北京西城期中)已知直线 l 经过点 P(2，1)(1)若点 Q(1，2)到直线 l 的距离
21、为 1，求直线 l 的方程；(2)若直线 l 在两坐标轴上截距相等，求直线 l 的方程解 (1)当直线 l 的斜率不存在时，即直线 l 的方程为 x2，符合要求；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y1 k(x2)，整理得 kx y2 k10，Q(1，2)到直线 l 的距离 d 1，| k 2 2k 1|k2 1 2 |k 3|k2 1解得 k ，所以直线 l 的方程为 4x3 y50.43(2)由题知，直线 l 的斜率 k 一定存在且 k0，故可设直线 l 的方程为kx y2 k10，当 x0 时， y2 k1，当 y0 时， x ，2k 1k2 k1 ，解得 k1 或 ，2k
22、1k 12即直线 l 的方程为 x2 y0 或 x y10.方法技巧1解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在2求两条平行线间的距离要先将直线方程中 x， y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题 考法二 对称问题 例 2 已知直线 l：2 x3 y10，点 A(1，2)求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3 x2 y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程解 (1)设 A
23、( x， y)，由题意知Error!解得 Error!所以 A .(3313， 413)(2)在直线 m 上取一点 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上11设 M( a， b)，则Error!解得 M .(613， 3013)设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由Error! 得 N(4,3)又因为 m经过点 N(4,3)，所以由两点式得直线 m的方程为 9x46 y1020.(3)设 P(x， y)为 l上任意一点，则 P(x， y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2 x，4 y)，因为 P在直线 l 上，所以 2(2 x)3(4 y)10，即 2x
24、3 y90.方法技巧1中心对称问题的两种类型及求解方法点关于点对称若点 M(x1， y1)及 N(x， y)关于 P(a， b)对称，则由中点坐标公式得Error!进而求解直线关于点对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线对称若两点 P1(x1， y1)与 P2(x2， y2)关于直线 l： Ax By C0 对称，由方程组Error!可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标( x2， y2)(其中 B0， x1 x2)直线关于直
25、线对称若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解集 训 冲 关 1. “C2”是“点(1， )到直线 x y C0 的距离为 3”的( )考 法 一 3 3A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件12解析：选 B 若点(1， )到直线 x y C0 的距离为 3，则有 3，3 3|1 3 C|12 3 2解得 C2 或 C10，故“ C2”是“点(1， )到直线 x y C0 的距离为 3”的充3 3分不必要条件，故选 B.2. 直线 3x
26、4 y50 关于 x 轴对称的直线的方程是( )考 法 二 A3 x4 y50 B3 x4 y50C3 x4 y50 D3 x4 y50解析：选 A 在所求直线上任取一点 P(x， y)，则点 P 关于 x 轴的对称点 P( x， y)在已知的直线 3x4 y50 上，所以 3x4( y)50，即 3x4 y50，故选 A.3. 已知 l1， l2是分别经过 A(1,1)， B(0，1)两点的两条平行直线，当考 法 一 l1， l2间的距离最大时，则直线 l1的方程是_解析：当直线 AB 与 l1， l2垂直时， l1， l2间的距离最大因为 A(1,1)， B(0，1)，所以 kAB 2，所以两平行直线的斜率为 k ，所以直线 l1的方程是 1 10 1 12y1 (x1)，即 x2 y30.12答案： x2 y304. 若直线 l 与直线 2x y20 关于直线 x y40 对称，则直线 l 的方程考 法 二 为_解析：由Error!得Error! 即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线 2x y20 上取一点A(1,0)，设点 A 关于直线 x y40 的对称点的坐标为( a， b)，则Error!解得Error!即点A 关于直线 x y40 的对称点的坐标为(4,3)，则直线 l 的方程为 ，整理得y 23 2 x 24 2x2 y20.答案： x2 y2013
