1、2007 年秋季攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：1，分数：2.00)1.讨论算法 （分数：2.00）_二、证明题(总题数：2，分数：4.00)2.设 u(x)C 1 0，1，u(0).u(1)0证明： （分数：2.00）_3.给定非线性方程 2x=sinx+cosx 1)证明：方程有唯一实根 2)用迭代法求方程的根，要求精确至 3位有效数字（分数：2.00）_三、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定三对角线性方程组 （分数：2.00）_5.给定线性方程组 （分数：2.00）_6.设 f(x)=e
2、 x ，x-2，2，n 为正整数，记 h=4/n，x i =-2+ih，i=0，1，n 1)求 f(x)的分段线性插值多项式 L 1 (x)； 2)若要求 （分数：2.00）_7.设 试求参数 a 0 ，b 0 ，使得 （分数：2.00）_8.设 f(x)C 4 a，b，记 E(f)=Af(x 0 )+Bf(x 1 ) 1)求参数 A，B，x 0 ，x 1 ，使求积公式 I(f)E(f)的代数精度为 3； 2)取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih(i=0，1，n)，试构造求积公式E(f)对应的复化求积公式 E n (f) 3)求极限 （分数：2.00）_9.给定常微分方程初
3、值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)n，x i =a+ih，i=0，1，2，n 设有求解上述初值问题的预测-校正公式： （分数：2.00）_10.给定初边值问题 （分数：2.00）_2007 年秋季攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：1，分数：2.00)1.讨论算法 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是 y i 的近似值，记 e i =y i )解析：二、证明题(总题数：2，分数：4.00)2.设 u(x)C 1 0，1，u(0).u(1)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条
4、件，存在 (0，1)，使得 u()=0所以由 cauchy-schwarz 不等式得u(x)2 =( x u“(t)dt) i x 1 2 dt x u“(t) 2 dtx- 0 1 u“(t) 2 dt，因此)解析：3.给定非线性方程 2x=sinx+cosx 1)证明：方程有唯一实根 2)用迭代法求方程的根，要求精确至 3位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1) 记 f(x)=2xsinxcosx，则 f(0)=-10，f(1)=2-sin1-cos10又 f“(x)=2- ,xR，所以方程 f(x)=0 有唯一实根 x * (0，1) 2)用 Newton 迭代求根，迭代
5、格式为 x k+1 =x k )解析：三、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定三对角线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1 =b 1 ，y 1 =d 1 ，对 i=2，3，n，计算 l i =a i i-1 ， i =b i l i c i-1 ， y i =d i l i y i-1 x n =y n)解析：5.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)Jacobi 迭代格式为 Canss-Seidel 迭代格式为 2)Gauss-Seidel 迭代矩阵 G 的特征方程为 解得 1 =0， 2,3 = 所以 )解析：6.设 f(x)=e x
6、 ，x-2，2，n 为正整数，记 h=4/n，x i =-2+ih，i=0，1，n 1)求 f(x)的分段线性插值多项式 L 1 (x)； 2)若要求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)f(x)在x i ，x i+1 上的线性插值为 L 1,i (x)=f(x i )+fx i ，x i+1 (xx i )=e xi + (xx i )， xx i ，x i+1 ，所以分段线性插值函数为 2)因为 )解析：7.设 试求参数 a 0 ，b 0 ，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)=ln(1+x)，则 f“(x)= 0，x(0，1)所以 f(x)-(ax+b)
7、在0，1上有 3 个偏差点：0，x 1 ，1，且满足 ln(1+0)-b=-ln(1+x 1 )-ax 1 b=ln2-a-b， 求得 a 0 =ln2，x 1 = -1，b 0 = )解析：8.设 f(x)C 4 a，b，记 E(f)=Af(x 0 )+Bf(x 1 ) 1)求参数 A，B，x 0 ，x 1 ，使求积公式 I(f)E(f)的代数精度为 3； 2)取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih(i=0，1，n)，试构造求积公式E(f)对应的复化求积公式 E n (f) 3)求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)E(f)即为两点 Gauss 公式，所以得 )解析：9.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)n，x i =a+ih，i=0，1，2，n 设有求解上述初值问题的预测-校正公式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.给定初边值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 t k+1/2 =(t k +t k+1 )2考虑(x i ，t k+1/2 )点处的方程： 由Taylor 展开得 )解析：
