1、2008 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 设 In=01xnex-1dx，求证： 1)I n=1-nIn-1，n=1，2，； 2)上式正向递推时误差逐步扩大，反向递推时误差逐步衰减2 设 A=(aij)Rnn，称 为矩阵 A 的 Frobenius 范数1)若ARnn，xR n，证明：Ax 2AFx2；2)若 ARnn，BR nn，证明：ABFAFBF3 分析用 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式解线性方程组的收敛性4 在区间a，b上任取插值节点 ax 0x 1x nb，令求证：5 用迭代法求出方程 9x-sinx-1=0 的全部实
2、根( 精确到 3 位有效数字)，并说明所用迭代格式的收敛性6 求 f(x)= +2x2-x+1 在区间-1，1上的 1 次最佳一致逼近多项式 p(x)=a+bx7 设 f(x)C3a，b1) 写出 f(x)以 a， ，b 为插值节点的 2 次插值多项式 L2(x)以及插值余项 f(x)-L2(x)的表达式；2)证明：其中 h=(b-a)/2， (a，b)8 设 f(x)Ca，b，ax 0x 1x 2x n-1x nb，且 I(f)=abf(x)dx, 1)当满足什么条件时称 IN(f)是一个 Gauss 型求积公式?2) 验证是一个 Gauss 型求积公式9 考虑常微分方程初值问题 取正整数
3、n，记 h=(b-a)/n,xi=a+ih，0in 分析预测-校正公式 的局部截断误差，并指出该公式是一个几阶公式10 已知 M，N 为正整数，h=1M，=TN记设u ik0iM，0kN为差分格式 的解，试证明：当 时，该差分格式的解有先验估计式2008 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 1)I n=01xnex-1dx=01xndex-1=xnex-1 01-n01xn-1ex-1dx=1-nIn-12 【正确答案】 1) 所以Ax 2AFx22)所以AB FAFBF3 【正确答案】 1)Jacobi 迭代矩阵 J 的特征多项式为 2(423)=
4、01=0， 所以 从而用 Jacobi 迭代公式求解收敛2)GaussSeidel 迭代矩阵 G 的特征多项式为 22(4-3)=0 1=0， 2=0， 所以 从而用 Gauss-Seidel 迭代公式求解收敛4 【正确答案】 L(x)为 n 次多项式，且 L(x0)=1，L(x 1)=0，L(x 2)=0，L(x n)=0，Lx 0=L(x0)=1， 记 N(x)为 L(x)的 n 次牛顿插值多项式，则 N(x)=Lx0+Lx0，x 1(xx0)+Lx0，x 1，x5 【正确答案】 设 f(x)=9xsinx-1，则 f(x)=9-cos x0，故 f(x)单调上升又 f(0)=-1，f(1
5、)=9-sin1 1=8-sin 17，所以，方程 f(x)=0 有唯一根 x*(0，1)将 f(x)=0改写为 构造如下迭代格式： 计算得x1=0 16438，x 2=012929 ，x 3=012544，x 4=0 12501，x 5=012496，故 x6 【正确答案】 由 f(x)= x3+2x2-x+1，得 f(x)=x2+4x-1，f“(x)=2x+4，所以 f“(x)在-1，1上保号f(x)-p(x) 有 3 个交错点：-1 ，x 1，1(-1x 11)由特征定理，得 f(-1)-p(-1)=-f(x1)-p(x1)=f(1)-p(1)，f(x 1)-P(x1)=07 【正确答案
6、】 8 【正确答案】 1)如果当 f(x)=1，x，x 2，x 2n+1 时，有 IN(f)=I(f)，则称 IN(f)为Gauss 型求积公式 2)当 f(x)=1 时，左=2，右=2 ，左=右； 当 f(x)=x 时，左=0 ，右=0，左 =右； 当 f(x)=x2 时，左 = ，右= ，左= 右； 当 f(x)=x3 时，左=0，右=0，左=右； 当 f(x)=x49 【正确答案】 将预测值代入校正公式得 yi+1=yi+ f(xi，y i)+f(xi+1+yi+hf(xi，y i) 局部截断误差为 注意到因而所给公式是一个 2 阶公式10 【正确答案】 差分方程可写为将上式两边同乘以 ，1iM-1,1kN-1 得将上式对 i 求和，得利用 =0， =0，由分部求和公式，得用 CauchySchwarz 不等式，得记由， 和得当 时1kN-1，由 Gronwall 不等式，得1kN-1
