1、工程硕士(GCT)数学-38 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.若 与|b-1|互为相反数，则 的值为( )。A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.指数方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.3.如果关于 X 的一元二次方程 kx2-6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )。Ak1 Bk0 Ck1 且 k0 Dk1（分数：4.00）A.B.C.D.4.给出三个等式：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)f(y)。则下列函数中不满足其
2、中任何一个等式的函数是( )。Ax 2 B2x Csinx D1gx（分数：4.00）A.B.C.D.5.在由 1、2、3、4、5 构成的各位数字不同的三位数中，任取一个恰是偶数的概率为( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 sin+sin=1，cos+cos=0，那么 cos2+cos2 等于( )。A0 B1 C-1 D1（分数：4.00）A.B.C.D.7.若函数 y=1-2cosx-2sin2x 的值域为a，b，则 b2+4a 的值为( )。A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 an是正数数列，其前 n 项的和为 Sn，且满足：对一
3、切 nZ +，a n与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项，则 an)的通项公式为( )。Aa n=n2+n Ba n=n2-n Ca n=3n-1 Da n=4n-2（分数：4.00）A.B.C.D.9.设 ，若 （分数：4.00）A.B.C.D.10.已知数列 的前 n 项和为 Sn，则 =( )。A B C （分数：4.00）A.B.C.D.11.已知 是第三象限的角，且有 ，则 sin2=( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.半球内有一内接正方体，则该半球的全面积与正方体的全面积之比为( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.直线
4、 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a，b0)的位置关系是( )。A相交 B相切 C相离 D视 a，b 的值而定（分数：4.00）A.B.C.D.14.圆锥的侧面展开图是一个半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则它的体积是( )。A B240cm 3 C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则下列各项中正确的是( )。A当 f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数B当 f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数C当 f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数D当 f(x)为单调增函数时，F(x)必为单调增函数（分数：
5、4.00）A.B.C.D.16.设 f(x)的定义域是-1，0，则 的定义域是( )。A B-1,0 C D （分数：4.00）A.B.C.D.17.设函数 在(-+)上可导，则有( )。Aa=0，b=2 Ba=0，b=1C （分数：4.00）A.B.C.D.18.设 ，则 F(x)=( )。AF(x)=0 B （分数：4.00）A.B.C.D.19.设 f(x)在0，2上连续，且 f(x)+f(2-x)0，则 =( )。A B C （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 f(x)在0，2上连续，并且对任意的 x0，1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：4.00）A.B.C.D
6、.21.设 4 阶矩阵 A=(a，r 2，r 3，r 4)，B=(，r 2，r 3，r 4)，其中 ，r 2，r 3，r 4均为四维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=( )。A5 B4 C50 D40（分数：4.00）A.B.C.D.22.设 （分数：4.00）A.B.C.D.23.设方程 （分数：4.00）A.B.C.D.24.向量组 a1=(1，-1，2，4) T，a 2=(0，3，1，2) T，a 3=(3，0，7，14) T，a 4=(1，-2，2，0)T，a 5=(2，1，5，10) T的极大线性无关组不能是( )。Aa 1，a 2，a 4 Ba 2，a
7、 3，a 4 Ca 1，a 4，a 5 Da 1，a 3，a 5（分数：4.00）A.B.C.D.25.设 A 为三阶方阵，有特征值 1=1，2=-1，3=-2，其对应特征向量分别为 1、 2、 3，记P=(2 2，-3 3，4 1)，则 P-1AP 等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-38 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.若 与|b-1|互为相反数，则 的值为( )。A0 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由绝对值非负这一特征可知|b-1|0。又 ，由 与|b
8、-1|互为相反数，可知 ；所以 ，b-1=0，得 ，b=1。故2.指数方程组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 两个方程分别取对数，得3.如果关于 X 的一元二次方程 kx2-6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )。Ak1 Bk0 Ck1 且 k0 Dk1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为方程是一元二次方程，所以 k0，又因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足故由题意，得4.给出三个等式：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)f(y)。则下列函数中不满足其中任何一个等式的函数是( )。A
9、x 2 B2x Csinx D1gx（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 比较这四个答案，观察验证即可得出 C 为正确答案。5.在由 1、2、3、4、5 构成的各位数字不同的三位数中，任取一个恰是偶数的概率为( )。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意，由 1、2、3、4、5 构成各位数字不同的三位数共有 543=60 个，其中为偶数的只能是第三位取 2 和 4，它们分别都有 43 个，故总数共有 243=24 个，所以任取一个是偶数的概率为6.已知 sin+sin=1，cos+cos=0，那么 cos2+cos2 等于( )。A0 B1 C-1
10、D1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由己知有 ，平方相加得 1=2-2sin，得7.若函数 y=1-2cosx-2sin2x 的值域为a，b，则 b2+4a 的值为( )。A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 8.设 an是正数数列，其前 n 项的和为 Sn，且满足：对一切 nZ +，a n与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项，则 an)的通项公式为( )。Aa n=n2+n Ba n=n2-n Ca n=3n-1 Da n=4n-2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 此题可用数学归纳法来证明 D 成立。当 n=1 时，a
11、1=2。设 n=k 时有 ak=4k-2，代入 ，解得 Sk=2k2，S k+1=2k2+ak+1对 n=k+1，由 ，可得9.设 ，若 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 10.已知数列 的前 n 项和为 Sn，则 =( )。A B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 ，11.已知 是第三象限的角，且有 ，则 sin2=( )。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 ，知 2(2k+1)22(2k+1)+。于是有 sin20，排除 B 项和 D 项。又由 ，得12.半球内有一内接正方体，则该半球的全面积与正方体的全面积之比为( )
12、。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设正方体棱长为 x，球半径为 R，则13.直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a，b0)的位置关系是( )。A相交 B相切 C相离 D视 a，b 的值而定（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 圆方程为 ，是以 圆心， 为半径的圆，圆心到直线的距离为14.圆锥的侧面展开图是一个半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则它的体积是( )。A B240cm 3 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 ，扇形弧长 ，即圆锥底面周长=2rcm=24cm，底面半径 r=12cm，圆锥的母线
13、长=18cm，高 。所以圆锥的体积为15.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则下列各项中正确的是( )。A当 f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数B当 f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数C当 f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数D当 f(x)为单调增函数时，F(x)必为单调增函数（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 对于 不是奇函数。对于 c：f(x)=cosx+1 是周期函数，但 F(x)=sinx+x 不是周期函数。对于 D：f(x)=x 为单调增函数，但 并不是单调函数。对于 A：设 f(x)=-f(-x)，f(x)的全体原函数 F(x)可以表示
14、为 ，则16.设 f(x)的定义域是-1，0，则 的定义域是( )。A B-1,0 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 f(x)定义域是-1，0有 及-1sinx0，即 2k-1x2k(k 是整数)。 联立式和式解得17.设函数 在(-+)上可导，则有( )。Aa=0，b=2 Ba=0，b=1C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)在不是分段点处是初等函数，因此，只需讨论在分段点 x=1 处的情形，要使 f(x)在x=1 处可导，必须使 f(x)在 x=1 处连续，即也就是 ，所以 a=0。要使 f(x)在 x=1 处可导，必须使 ss，而因此 b=
15、1。故正确答案为 B。18.设 ，则 F(x)=( )。AF(x)=0 B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 19.设 f(x)在0，2上连续，且 f(x)+f(2-x)0，则 =( )。A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 作变量替换，令 t=2-x，dt=-dx。故20.设 f(x)在0，2上连续，并且对任意的 x0，1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 。因此又因为 f(1-sin(-t)=f(1+sint)=-f(1-sint)，上式最后一步利用了题设条件 f(1-x)=-f(1+x)。所以 f(1
16、-sint)是奇函数，奇函数在对称区间上的积分为零，即21.设 4 阶矩阵 A=(a，r 2，r 3，r 4)，B=(，r 2，r 3，r 4)，其中 ，r 2，r 3，r 4均为四维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=( )。A5 B4 C50 D40（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 22.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 故 k3 且 k-1 时,|A|0，r(A)=4，故 C 项正确。当 k=-1 时， ，故 A 项正确。当 k=3 时，23.设方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 化增广矩阵为阶梯形24.向量组
17、 a1=(1，-1，2，4) T，a 2=(0，3，1，2) T，a 3=(3，0，7，14) T，a 4=(1，-2，2，0)T，a 5=(2，1，5，10) T的极大线性无关组不能是( )。Aa 1，a 2，a 4 Ba 2，a 3，a 4 Ca 1，a 4，a 5 Da 1，a 3，a 5（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 对(a 1a2a3a4a5)作初等行变换，有25.设 A 为三阶方阵，有特征值 1=1，2=-1，3=-2，其对应特征向量分别为 1、 2、 3，记P=(2 2，-3 3，4 1)，则 P-1AP 等于( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因 2=2 2， 3=-3 3， 1=4 1仍为特性值 2， 3， 1对应的特征向量，故
