1、考研数学一-301 及答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：97.00)1.设 f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中 g“(a)存在，求 f“(0) （分数：3.00）_2.设 f(x)=|x-a|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性 （分数：3.00）_3.设 （分数：3.00）_4.设 （分数：3.00）_5.设 （分数：3.00）_6.设 ，且 （分数：3.00）_7.由方程 sinxy+ln(y-x)=x确定函数 y=y(x)，求 （分数：3.00）_8.设 f(x)可导且 f“(0)0，且 ，求 （分数：3.00
2、）_9.设 y=ln(2+3 -x )，求 （分数：3.00）_10.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0确定，求 y“(0) （分数：3.00）_11.设 （分数：3.00）_12.设 y=x 2 lnx，求 y (n) （分数：3.00）_13.求 （分数：3.00）_14.设 f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+100)，求 f“(0) （分数：3.00）_15.求 （分数：3.00）_16.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(-，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=1，求 f(x) （分数：3.00）_17.设 （分数：3.
3、00）_18.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在x轴上的截距，求 （分数：3.00）_19.设 f(x)在 x=a处二阶可导，证明： （分数：3.00）_20.设 f(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，求 （分数：3.00）_21.设 ，求 （分数：3.00）_22.设 f(x)连续，且 （分数：3.00）_23.证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性 （分数：3.00）_24.举例说明函数可导不一定连续可导 （分数：3.00）_设 f(x)在a，b
4、上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 |f(x)-f(y)|M|x-y| k （分数：4.00）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：2.00）_(2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_25.设 （分数：3.00）_26.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 -1)，讨论函数 f(x)在 x=0处的可导性 （分数：3.00）_27.求曲线 （分数：3.00）_28.设 确定 y为 x的函数，求 （分数：3.00）_设 f(x)二阶司导，f(0)=0，令 （分数：3.00）(1).求 g“(x)；（
5、分数：1.50）_(2).讨论 g“(x)在 x=0处的连续性（分数：1.50）_29.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得 （分数：3.00）_30.求常数 a，b 使得 （分数：3.00）_考研数学一-301 答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：97.00)1.设 f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中 g“(a)存在，求 f“(0) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 2.设 f(x)=|x-a|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性 （分数：3.00
6、）_正确答案：()解析：解 由 得 f“ - (a)=-g(a)； 由 3.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 4.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 5.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 6.设 ，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 7.由方程 sinxy+ln(y-x)=x确定函数 y=y(x)，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 x=0代入 sinxy+ln(y-x)=x得 y=1， sinxy+ln(y-x)=x两边对 x求导得 ， 将 x=0，y=1 代入得 8.设 f(x)可导且 f“(0)0，且 ，求 （分
7、数：3.00）_正确答案：()解析：解 由9.设 y=ln(2+3 -x )，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 ， 故 10.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0确定，求 y“(0) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 x=0代入得 y=0， e y +6xy+x 2 -1=0两边对 x求导得 ， 将 x=0，y=0 代入得 y“(0)=0 两边再对 x求导得 11.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ， 由 A(2x+1)+B(x-2)=4x-3得 ，解得 A=1，B=2， 即 12.设 y=x 2 lnx，求 y (n)
8、（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 13.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 14.设 f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+100)，求 f“(0) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 f“(x)=(x-1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x-1)(x-99) 得 f“(0)=(-1)2(-3)100=100! 方法二 15.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 y=f(x)没有水平渐近线， 由 得 x=0为铅直渐近线， 由 得 x=2为铅直渐近线， 由 ， 16.设 f(x)
9、连续，且对任意的 x，y(-，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=1，求 f(x) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x=y=0时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0 对任意的 x(-，+)， 17.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 得 ，故 f(x)在 x=0处连续 由 得 f“ - (0)=1， 再由 18.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f“(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在x轴上的截距，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 曲线 y=f(x)在点(x
10、，f(x)的切线为 Y-f(x)=f“(x)(X-x)， 令 Y=0，则 ， 则 19.设 f(x)在 x=a处二阶可导，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 20.设 f(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 又由 得 a0 时 ，于是 21.设 ，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方程 两边对 x求导数得 22.设 f(x)连续，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 23.证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明
11、设 f(x)在a，b上连续，令 g(x)=|f(x)|， 对任意的 x 0 a，b，有 0|g(x)-g(x 0 )|=|f(x)|-|f(x 0 )|f(x)-f(x 0 )|， 因为 f(x)在a，b上连续，所以 ， 由夹逼定理得 24.举例说明函数可导不一定连续可导 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 当 x0 时， ，当 x=0时， ， 即 因为 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 |f(x)-f(y)|M|x-y| k （分数：4.00）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的
12、 x 0 a，b，由已知条件得 0|f(x)-f(x 0 )|M|x-x 0 | k ， (2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x 0 a，b，因为 k1， 所以 25.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 f(x)在 x=0处连续，得 b=0 由 f(x)在 x=0处可导，得 a=2， 所以 26.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 -1)，讨论函数 f(x)在 x=0处的可导性 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x-1，0时， ， 27.求曲线 （分数：3
13、.00）_正确答案：()解析：解 由 y“0 得(x-3) 2 -10，解得 2x4，故曲线 28.设 确定 y为 x的函数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 等式 两边对 x求导，得 ， 于是 设 f(x)二阶司导，f(0)=0，令 （分数：3.00）(1).求 g“(x)；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 g(x)在 x=0处连续 当 x0 时， ； 当 x=0时，由 得 ，即 (2).讨论 g“(x)在 x=0处的连续性（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 29.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=lnx， ，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 ， 由拉格朗日中值定理得 ，其中 (1，2)， f(2)-f(1)=f“()(2-1)=f“()，其中 (1，2)， 故 30.求常数 a，b 使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 f(x)在 x=0处可导，所以 f(x)在 x=0处连续，从而有 f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b， 由 f(x)在 x=0处可导，则 3+2a=10+6b，解得
