1、考研数学一-402 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设有直线 l： （分数：4.00）A.平行于 B.在 上C.垂直于 D.与 斜交2.若 ，则 （分数：4.00）A.0B.6C.36D.3.广义积分 的值是_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.4.极限 =_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维非零列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A*为 A 的伴随矩阵，又知方程组 Ax=0 的基础解系为(1，0，2，0) T ，则方程组 A*x=0 基础解系
2、为_（分数：4.00）A.1，2，3B.1+2，2+3，3+1C.2，3，4 或 1，2，4D.1+2，2+3，3+4，4+16.设 A，B 为 n 阶矩阵，下列命题成立的是_（分数：4.00）A.A 与 B 均不可逆的充要条件是 AB 不可逆B.r(A)n 与 r(B)n 均成立的充要条件是 r(AB)nC.Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件是 A 与 B 等价D.A 与 B 相似的充要条件是 EA 与 EB 相似7.设随机变量 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 p 1 =PX-4，p 2 =PY+5，则_（分数：4.00）A.对任意实数 ，有 p1=p2B.对任意实数 ，有
3、p1p2C.对任意实数 ，有 p1p2D.对 的个别值，有 p1=p28.设随机变量 X 在区间(2，5)上服从均匀分布现对 X 进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于 3 的概率为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(0)=0，f“(0)=1，已知曲线积分 （分数：4.00）11.设曲线的方程为 x=acost，y=asint，z=kt，其中 0t2，其线密度为 (x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 ，则该曲线关于 z 轴的转动惯量 I z = 1 （
4、分数：4.00）12.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x -e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 1 （分数：4.00）13.设 n 阶方阵 A 与 B 相似，A 2 =2E，则|AB+A-B-E|= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X 与 Y 相互独立，则 PYX= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 F(t)有二阶连续的导数， （分数：10.00）_16.设 ，计算二重积分 （分数：10.00）_17.已知抛
5、物线 y=ax 2 +bx+c，在其上的点 P(1，2)处的曲率圆的方程为 （分数：10.00）_18.设 f(x)三阶可导，且 f“(a)0， 证明： （分数：10.00）_19.设 f(x)在-2，2上具有连续的导数，且 f(0)=0， 证明：级数 （分数：10.00）_设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为 4 维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 Ax= 的通解为(-1，1，0，2) T +k(1，-1，2，0) T （分数：11.00）(1). 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?为什么?（分数：5.50）_(2).求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 的一个极大无关
6、组（分数：5.50）_设二次型 （分数：11.01）(1).计算 a 的值；（分数：3.67）_(2).用正交变换将二次型化为标准形；（分数：3.67）_(3).当 x 满足 x T x=2 时，求 f 的最大值与最小值（分数：3.67）_假设二维随机变量(X，Y)在矩形 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：11.00）(1).求 U 和 V 的联合分布；（分数：5.50）_(2).求 U 和 V 的相关系数 （分数：5.50）_设某商品一周的需求量是 X，其概率密度为 （分数：11.00）(1).以 U k 表示 k 周的需求量，求 U 2 和 U 3 的概率密度 f
7、2 (u)和 f 3 (u)；（分数：5.50）_(2).以 Y 表示三周中各周需求量的最大值，求 Y 的概率密度 f Y (y)（分数：5.50）_考研数学一-402 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设有直线 l： （分数：4.00）A.平行于 B.在 上C.垂直于 D.与 斜交解析：考点 平面与直线的位置关系 解析 先求出直线 L 的方向向量 s 与平面 的法向量 n，由 s 与 n 的关系便可得结论 解：直线 l 的方向向量为 s=-28，14，-7，平面 的法向向量为 n=4，-2，1，由 2.若 ，则 （分数：4.00
8、）A.0B.6C.36 D.解析：考点 求函数极限 解析 先利用题设条件写出 f(x)的表达式，再代入原式求极限即可 解：由 ，根据极限与无穷小的关系知 ，其中 (x)为 x0 时的无穷小量 故 因此，所求极限 3.广义积分 的值是_ A B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 广义积分的计算 解析 利用凑微分法便可得解 解： 4.极限 =_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二重积分定义 解析 将所求极限转化为二重积分直接计算便可 解：由二重积分定义及函数 x 2 siny 在区域 0x1， 上的连续性可知 5.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是
9、四维非零列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A*为 A 的伴随矩阵，又知方程组 Ax=0 的基础解系为(1，0，2，0) T ，则方程组 A*x=0 基础解系为_（分数：4.00）A.1，2，3B.1+2，2+3，3+1C.2，3，4 或 1，2，4 D.1+2，2+3，3+4，4+1解析：考点 方程组的基础解系理论 解析 首先确定 A 的秩，进而确定 A*的秩；利用 A 与 A*的关系及已知条件即可判别 解：由 Ax=0 的基础解系仅含有一个解向量知，r(A)=3，从而 r(A*)=1，于是方程组 A*x=0 的基础解系中含有 3 个解向量 又因为 A*A=A*( 1 ， 2 ，
10、 3 ， 4 )=|A|E=0， 所以向量 1 ， 2 ， 2 ， 4 是方程组 A*x=0 的解 因为(1，0，2，0) T 是 Ax=0 的解，故有 1 +2 3 =0，即 1 ， 3 线性相关从而，向量组 1 ， 2 ， 3 与向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 均线性相关，故排除 A、B、D 选项 事实上，由 1 +2 3 =0，得 1 =0x 2 -2 3 +0 4 ，即 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表示，又 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3，所以 2 ， 3 ， 4 线性无关，即 2 ， 3 ， 4 为A*x=0 的一个基础解系 故应选 C6.设 A，B 为 n 阶矩
11、阵，下列命题成立的是_（分数：4.00）A.A 与 B 均不可逆的充要条件是 AB 不可逆B.r(A)n 与 r(B)n 均成立的充要条件是 r(AB)nC.Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件是 A 与 B 等价D.A 与 B 相似的充要条件是 EA 与 EB 相似 解析：考点 矩阵可逆、同解、相似矩阵的基本结论 解析 通过举反例排除 A，B，C 项 解：A 项与 B 项类似，故均错误，而 C 项仅是必要而非充分条件，故应选 D 事实上，若 AB，则由相似矩阵的性质知 E-AE-B； 反之，若 E-AE-B，则 E-(E-A)E-(E-B)，即 AB 对于选项 A，若 A 与 B 均不可逆
12、，则|A|=|B|=0，从而|AB|=|A|B|=0，即 AB 不可逆，但若 AB 不可逆，推出 A 与 B 均不可逆，如 A=E， ，则 AB=B 不可逆，但 A 可逆 对于选项 B，与选项 A 相近，由于 r(AB)minr(A)，r(B)，故若 r(A)n 与 r(B)n 均成立，则 r(AB)n；但反之，若 r(AB)n，推不出 r(A)n 或 r(B)n，如 A=E， ，则 r(AB)=r(B)-12，但 r(A)=2 对于选项 C，由同型矩阵 A 与 B 等价 r(A)=r(B)可知，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 A 与 B 等价；但反之不然，如 7.设随机变量 XN(，4
13、 2 )，YN(，5 2 )，记 p 1 =PX-4，p 2 =PY+5，则_（分数：4.00）A.对任意实数 ，有 p1=p2 B.对任意实数 ，有 p1p2C.对任意实数 ，有 p1p2D.对 的个别值，有 p1=p2解析：考点 考查正态分布 解析 化标准正态分布进行计算 解：由于 ，所以 8.设随机变量 X 在区间(2，5)上服从均匀分布现对 X 进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于 3 的概率为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 均匀分布；二项分布 解析 利用伯努利概型得出二项分布并计算概率 解：设 Y 为三次观测中 X 大于 3 出现的次数，则 Y
14、b(3，p)，其中 所以 从而，所求概率为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）解析：2x+y-1=0 考点 参数方程的导数及导数的几何意义 解析 利用参数方程求导可求得切线斜率，从而得到法线斜率 解： 当 x=0 时，t=0， 10.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(0)=0，f“(0)=1，已知曲线积分 （分数：4.00）解析： 考点 曲线积分与路径无关的充要条件；二阶微分方程求解 解析 由曲线积分与路径无关的充要条件可以得到 f(x)所满足的微分方程，再根据所给的初始条件求出f(x) 解：曲线积分与路径无关 ，故有 即f“(x)-5f“(x)co
15、sy=xe 2x -6f(x)cosy，消去 cosy，整理得 f“-5f“+6f=xe 2x ，对应齐次方程的特征方程为 r 2 -5r+6=(r-2)(r-3)=0，对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e 2x +C 2 e 3x ，由于 =2 是特征根，故设 ，代入方程可求出 ，于是方程的通解为 ，再由 f(0)=0 及 f“(0)=-1，可求出 C 1 =C 2 =0， 因而所求函数为 故应填 11.设曲线的方程为 x=acost，y=asint，z=kt，其中 0t2，其线密度为 (x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 ，则该曲线关于 z 轴的转动惯量 I z = 1 （分数：4.
16、00）解析： 考点 曲线积分的物理应用 解析 直接利用公式便可得结果 解：令所设曲线为 ，则 ：x=acost，y=asint，z=kt(0t2)，且 关于 z 轴的转动惯量 I z 为 故应填 12.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x -e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 1 （分数：4.00）解析：y=xe x +C 1 e 2x +C 2 e -x 考点 高阶线性微分方程解的结构 解析 先求出对应齐次方程的通解，再写出该微分方程的通解 解：由解的结构定理可得 y 1 -y 3 =e -
17、x ，y 3 -y 2 =e 2x 是对应齐次微分方程的两个解，而 e -x 与 e 2x 线性无关，于是该方程对应的齐次线性微分方程的通解为 从而原方程的通解为 13.设 n 阶方阵 A 与 B 相似，A 2 =2E，则|AB+A-B-E|= 1 （分数：4.00）解析：1 考点 抽象行列式的计算 解析 将所求矩阵进行整理，再利用条件求解 解：AB+A-B-E=(A-E)B+A-E=(A-E)(B+E) 又因为 A 2 =2E，得(A-E)(A+E)=E 再由 A，B 相似，得 A+E 和 B+E 相似，从而|A+E|=|B+E| 于是， |AB+A-B-E|=|A-E|B+E| =|A-E
18、|A+E|=|E|=1 故应填 114.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X 与 Y 相互独立，则 PYX= 1 （分数：4.00）解析：e -1 考点 考查二维随机变量概率的计算 解析 利用独立性以及均匀分布、指数分布的概率密度计算 解： 所以联合概率密度为 故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 F(t)有二阶连续的导数， （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：因为 ，所以 利用对称性， 16.设 ，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：D 是一块矩形域，如图所示 17.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c，在其上的点 P(1，2
19、)处的曲率圆的方程为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：曲线 L：y=ax 2 +bx+c 经过点 P(1，2)，从而 2=a+b+c 曲率圆 在点 P 处的切线的斜率为 ，与 L 在此点的切线斜率相等故 y“| P =(2ax+b)| P =2a+b=1 又 L 在点 P 处曲率应与曲率圆的曲率相等，且曲率圆的曲率为 故 18.设 f(x)三阶可导，且 f“(a)0， 证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证：记 把 f(x)在 x=a 处展为泰勒公式 其二阶导数为 f“(x)=f“(a)+f“(a)(x-a)+o(x-a)， 把 x=a+(x-a)代入上式，得 f“
20、a+(x-a)=f“(a)+f“(a)(x-a)+o(x-a) -整理，得 、联立 即 因此 19.设 f(x)在-2，2上具有连续的导数，且 f(0)=0， 证明：级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证：因为 则 由拉格朗日中值定理，得 又因为 f“(x)在-2，2上连续，则 f“(x)在-2，2上有界，即存在正数 M0，有 |f“(x)|M，x-2，2 因此 又因为 收敛，则 收敛 所以 绝对收敛 考点 数项级数敛散性判别；定积分的运算及性质 解析 综合运用积分运算方法和性质推导出 设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为 4 维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若
21、 Ax= 的通解为(-1，1，0，2) T +k(1，-1，2，0) T （分数：11.00）(1). 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?为什么?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：假设可以，即 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ，则(k 1 ，k 2 ，k 3 ，0) T 是 Ax= 的解 从而(k 1 ，k 2 ，k 3 ，0) T -(-1，1，0，2) T =(k 1 +1，k 2 -1，k 3 ，-2) T 就是 Ax=0 的解 但是显然(k 1 +1，k 2 -1，k 3 ，-2) T 和(1，-1，2，0) T 线性无关 所以 不可以由 1 ， 2 ， 3 线
22、性表示(2).求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 的一个极大无关组（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为(-1，1，0，2) T 是 Ax= 的解，则 =- 1 + 2 +2 4 又因为(1，-1，2，0) T 是 Ax=0 的解，则 1 - 2 + 3 =0 所以， 和 3 都可由 1 ， 2 ， 4 线性表示 又由 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3，所以， 1 ， 2 ， 4 是极大无关组 考点 方程组的解与向量组的线性关系之间的联系 解析 ()利用反证法； ()由条件所给方程组的解，来确定向量之间的线性关系设二次型 （分数：11.01
23、）(1).计算 a 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：二次型的矩阵为 ，则二次型的正、负惯性指数都是 1，可知 r(A)=2， (2).用正交变换将二次型化为标准形；（分数：3.67）_正确答案：()解析：此时|E-A|=(+3)(-3)，所以 A 的特征值是 3，-3，0 当 1 =3 时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为 1 =(1，0，1) T ； 当 2 =-3 时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为 2 =(1，-2，-1) T ； 当 3 =0 时，解方程组(0E-A)x=0，得基础解系为 3 =(1，1，-1) T 将 1 ， 2 ， 3 单位化，
24、得 故有正交阵 因此所求的正交变换为 所求的标准形为 (3).当 x 满足 x T x=2 时，求 f 的最大值与最小值（分数：3.67）_正确答案：()解析：由于 x=Qy，可知 x T x=(Qy) T Qy=y T q T Qy=y T y 因此限制条件 x T x=2 也等价于 由于二次型为 ，易知其在 假设二维随机变量(X，Y)在矩形 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：11.00）(1).求 U 和 V 的联合分布；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：如图所示，由题设可得 由(U，V)有四个可能值：(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，则 P
25、U=0，V=1=PXY，X2Y=0， 故 U 和 V 的联合分布为 (2).求 U 和 V 的相关系数 （分数：5.50）_正确答案：()解析：UV，U 和 V 的分布为 于是有 所以 设某商品一周的需求量是 X，其概率密度为 （分数：11.00）(1).以 U k 表示 k 周的需求量，求 U 2 和 U 3 的概率密度 f 2 (u)和 f 3 (u)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：设 X i 表示第 i 周的需求量，i=1，2，3，则 X 1 ，X 2 ，X 3 独立同分布 令 U 2 =X 1 +X 2 ， 令 U 3 =X 1 +X 2 +X 3 ， (2).以 Y 表示三周中各周需求量的最大值，求 Y 的概率密度 f Y (y)（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 Y=maxX 1 ，X 2 ，X 2 ， 所以 F Y (y)=F(y) 3 ，其中 故
