1、考研数学一-72 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：10.00)1.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的（分数：1.00）A.充分必要条件B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又非必要条件2.设 f(x)是连续函数，且 （分数：1.00）A.B.C.D.3.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f (n) (x)是 A.n!f(x)n+1 B.nf(x)n+1 C.f(x)
2、2n D.n!f(x)2n（分数：1.00）A.B.C.D.4.设函数对任意 x 均满足 f(1+x)=af(x)，且 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则（分数：1.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab5.设 f(x)=3x 3 +x 2 |x|，则使 f (n) (0)存在的最高阶导数 n 为（分数：1.00）A.0B.1C.2D.36.设函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，当自变量 x 由 x 0 增加到 x 0 +x 时，
3、记 y 为 f(x)的增量，dy 为f(x)的微分， （分数：1.00）A.-1B.0C.1D.7.设 （分数：1.00）A.a=1，b=0B.a=0，b 为任意常数C.a=0，b=0D.a=1，b 为任意常数8.设 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充要条件为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.设函数 f(x)在(-，+)上可导，则 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.10.设函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数|f(x)|在 x=a 处不可导的充分条件是（分数：1.00）A.f(a)=0 且 f“(a)=0B.f(a)=0 且 f“(a)0
4、C.f(a)0 且 f“(a)0D.f(a)0 且 f“(a)0二、填空题(总题数：10，分数：15.00)11. （分数：1.50）12. （分数：1.50）13. （分数：1.50）14.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos(xy)=0 确定，则 （分数：1.50）15.已知 f(-x)=-f(x)且 f“(-x 0 )=k，则 f“(x 0 )= 1 （分数：1.50）16.设 f(x)可导，则 （分数：1.50）17.设 （分数：1.50）18. （分数：1.50）19.设 f 为可导函数，y=sinfsinf(x)，则 （分数：1.50）20.设函数 y=f(x)由方程
5、e 2x+y -cos(xy)=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1 （分数：1.50）三、解答题(总题数：31，分数：75.00)设 f“(x 0 )存在，求下列各极限（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_21.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：2.00）_22.设 f(x)在(-，+)内有定义，对任意 x，恒有 f(x+1)=2f(x)当 0x1 时，f(x)=x(1-x 2 )，试判断在 x=0 处，f“(x)是否存在 （分数：2.00）_23.求
6、抛物线 （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_求下列函数的导数：（分数：6.00）(1).y=xcos(lnx)+sin(lnx)；（分数：2.00）_(2).y=f n n (sinx n )；（分数：2.00）_(3).y=x aa +a xa +a ax (a0)（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.作变换 u=tany，x=e t ，试将方程 （分数：2.00）_27.设 求 （分数：2.00）_28.设 求当 t=0 时的导数 （分数：2.00）_29.设 其中 f(t)的三阶导数存在，且 f“(t)0， 求 （分数：2.00）_30.设方程 xy 2 +
7、e y =cos(x+y 2 )，求 y“ （分数：2.00）_31.设有方程 求 （分数：2.00）_32.设由方程 x y =y x 确定 y 是 x 的函数，求 （分数：2.00）_33.设 （分数：2.00）_34.设 （分数：2.00）_35.设 y=e x cosx，求 y (n) （分数：2.00）_36.设 f(x)任意阶可导，且 f“(x)=e -f(x) ，f(0)=1求 f (n) (0) （分数：2.00）_37.设 （分数：2.00）_38.设 （分数：2.00）_39.设 y=sinxsin2xsin3x，求 y (n) （分数：2.00）_40.设 y=sin 6
8、 x+cos 6 x，求 y (n) （分数：2.00）_41.设 y=arcsinx，求 y (n) (0) （分数：2.00）_42.设 f(x)=arctanx，求 f (n) (0) （分数：2.00）_43.设 （分数：2.00）_44.设 f(x)=x 2 ln(1+x)，求 f (n) (0) （分数：2.00）_45.设 f(x)在a，b上可导，f“ + (a)f“ - (b)0，证明：存在一点 (a，b)，使 f“()=0 （分数：2.00）_46.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+(x
9、)，其中，(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分数：2.00）_47.设 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与 M 之间的弧长，求 （分数：3.00）_48.设 （分数：2.00）_设函数 f(x)在点 x=0 的某个邻域内有二阶导数，且 （分数：4.00）(1).f(0)，f“(0)和 f“(0)的值；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_考研数学一-72 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(
10、总题数：10，分数：10.00)1.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的（分数：1.00）A.充分必要条件 B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又非必要条件解析：2.设 f(x)是连续函数，且 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：3.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f (n) (x)是 A.n!f(x)n+1 B.nf(x)n+1 C.f(x)2n D.n!f(x)2n（分数：1.00）A. B.C.D.解析：
11、4.设函数对任意 x 均满足 f(1+x)=af(x)，且 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则（分数：1.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab 解析：5.设 f(x)=3x 3 +x 2 |x|，则使 f (n) (0)存在的最高阶导数 n 为（分数：1.00）A.0B.1C.2 D.3解析：6.设函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，当自变量 x 由 x 0 增加到 x 0 +x 时，记 y 为 f(x)的增量，dy 为f(x)
12、的微分， （分数：1.00）A.-1B.0 C.1D.解析：7.设 （分数：1.00）A.a=1，b=0B.a=0，b 为任意常数C.a=0，b=0 D.a=1，b 为任意常数解析：8.设 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充要条件为 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：9.设函数 f(x)在(-，+)上可导，则 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：10.设函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数|f(x)|在 x=a 处不可导的充分条件是（分数：1.00）A.f(a)=0 且 f“(a)=0B.f(a)=0 且 f“(a)0 C.f(a
13、)0 且 f“(a)0D.f(a)0 且 f“(a)0解析：二、填空题(总题数：10，分数：15.00)11. （分数：1.50）解析：12. （分数：1.50）解析：13. （分数：1.50）解析：14.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos(xy)=0 确定，则 （分数：1.50）解析：15.已知 f(-x)=-f(x)且 f“(-x 0 )=k，则 f“(x 0 )= 1 （分数：1.50）解析：f“(x 0 )=k16.设 f(x)可导，则 （分数：1.50）解析：(m+n)f“(x 0 )17.设 （分数：1.50）解析：18. （分数：1.50）解析：19.设 f 为可导
14、函数，y=sinfsinf(x)，则 （分数：1.50）解析：f“(x)cosf(x)f“sinf(x)cosfsinf(x)20.设函数 y=f(x)由方程 e 2x+y -cos(xy)=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1 （分数：1.50）解析：x-2y+2=0三、解答题(总题数：31，分数：75.00)设 f“(x 0 )存在，求下列各极限（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(4). （分数：2.00）_正确答案：(
15、)解析：解21.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解22.设 f(x)在(-，+)内有定义，对任意 x，恒有 f(x+1)=2f(x)当 0x1 时，f(x)=x(1-x 2 )，试判断在 x=0 处，f“(x)是否存在 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解当-1x0 时，0x+11，于是 23.求抛物线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由题设可知： 则 设 在点(1，1)处的曲率圆方程为 (x-) 2 +(y-) 2 =R 2 ， 其中 故 在点(1，1)处的曲率圆方程为 24. （分数：2.00）_正确答案：()解析：解求下列函数的
16、导数：（分数：6.00）(1).y=xcos(lnx)+sin(lnx)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解(2).y=f n n (sinx n )；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解y“=nf n-1 n (sinx n )f“ n (sinx n )n n-1 (sinx n )“(sinx n )cosx n nx n-1 =n 3 x n-1 cosx n f n-1 n (sinx n ) n-1 (sinx n )f“ n (sinx n )“(sinx n )(3).y=x aa +a xa +a ax (a0)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解y“=a
17、 a x aa-1 +a xa lnaax a-1 +a ax lnaa x lna =a a x aa-1 +alnax a-1 a xa +ln 2 aa x a ax 25.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 26.作变换 u=tany，x=e t ，试将方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由于 y=arctanu，t=lnx，故有 又 于是 代入原方程得 27.设 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解x“=-2tsin(t 2 )， 28.设 求当 t=0 时的导数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解当 t0 时， 当 t0 时， 故 29.
18、设 其中 f(t)的三阶导数存在，且 f“(t)0， 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 30.设方程 xy 2 +e y =cos(x+y 2 )，求 y“ （分数：2.00）_正确答案：()解析：解法一y 2 +2xyy“+e y y“=-sin(x+y 2 )(1+2yy“)， 解法二令 F(x，y)=xy 2 +e y -cos(x+y 2 ) 因为 F“ x =y 2 +sin(x+y 2 )，F“ y =2xy+e y +2ysin(x+y 2 )， 所以 解法三d(xy 2 +e y )=dcos(x+y 2 )， y 2 dx+2xydy+e y dy=-sin(x
19、+y 2 )(dx+2ydy)， 2xy+e y +2ysin(x+y 2 )dy=-y 2 +sin(x+y 2 )dx， 31.设有方程 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解方程两边对 x 求导，可得 2-sec 2 (x-y)(1-y“)=sec 2 (x-y)(1-y“) 32.设由方程 x y =y x 确定 y 是 x 的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解e ylnx =e xlny ，两边同时对 x 求导，得 33.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解先将表达式写成分式指数幂的形式 上式两边对 x 求导，得 34.设 （分数：2.00）_正确
20、答案：()解析：解 当 x0 时， 因为分界点 x=0 的两侧 f(x)的表达式用同一形式表示，所以分界点处的导数只用一种形式求即可 故 35.设 y=e x cosx，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解36.设 f(x)任意阶可导，且 f“(x)=e -f(x) ，f(0)=1求 f (n) (0) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解f“(x)=-e -f(x) f“(x)=-e -2f(x) ， f“(x)=2e -2f(x) f“(x)=2e -3f(x) ， f (4) (x)=-32e -3f(x) f“(x)=-32e -4f(x) ， 37.设 （
21、分数：2.00）_正确答案：()解析：解若 c0，用多项式除法，可得 故 38.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 39.设 y=sinxsin2xsin3x，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 40.设 y=sin 6 x+cos 6 x，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 41.设 y=arcsinx，求 y (n) (0) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以 但由麦克劳林级数知 对比与中 x n 的系数，得 y (2k) (0)=f (2k) (0)=0，y“(0)=1， 42.设 f(x)=arctanx，求
22、 f (n) (0) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以 其中|x|1， 又 f(x)在 x=0 处的麦克劳林级数展开式为 对比，中 x n 的系数，得 f (2k) (0)=0， 43.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 44.设 f(x)=x 2 ln(1+x)，求 f (n) (0) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 45.设 f(x)在a，b上可导，f“ + (a)f“ - (b)0，证明：存在一点 (a，b)，使 f“()=0 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证不妨设 f“ + (a)0，f“ - (b)0，于是 由极限保号性知，存在一
23、个 1 0，当 x(a,a+ 1 )时，恒有 同理， 由极限保号性知，存在一个 2 0，当 x(b- 2 ，b)时，恒有 由 f(x)在a，b上可导知，f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上必存在最大值，由知，最大值只能在(a，b)内取得 令 (a，b)， 46.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+(x)，其中，(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由连续性，有 即 f
24、(1)-3f(1)=0，故 f(1)=0 因此， 又 即 也即 f“(1)+3f“(1)=8，故 f“(1)=2 由周期性 47.设 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与 M 之间的弧长，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 所以， 因此， 48.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 仅当 f - (1)=f + (1)=f(1)时，f(x)在 x=1 处连续， 即 因此，当 a+b=1 时，f(x)在 x=1 处连续，显然 f(x)在 x1 处连续，故当 a+b=1 时，f(x)在(-，+)上连续 当 f“ - (1)=f“ + (1)时，f(x)在 x=1 处可微又注意到可微必连续，于是 设函数 f(x)在点 x=0 的某个邻域内有二阶导数，且 （分数：4.00）(1).f(0)，f“(0)和 f“(0)的值；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解由题设知 f(x)在点 x=0 的充分小邻域内有 (f(x)在点 x=0 的二阶泰勒公式)， 所以， 于是有 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由上小题知在点 x=0 的充分小邻域内有 所以， 解析 (1)由题设知， (f(x)在点 x=0 的二阶泰勒公式)于是可由
