1、考研数学一-概率论与数理统计参数估计及答案解析(总分：53.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：15.00)1.设 X1，X n是取自总体 X 的简单随机样本，a 为总体分布中的未知参数，且总体二阶矩 EX2=a 存在，统计量 （分数：1.00）A.B.C.D.2.假设总体的 k 阶矩存在(k2)，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.样本均值、方差是总体均值、方差的无偏、一致(相合)估计量B.样本 K 阶原点矩是总体 k 阶原点矩的无偏、一致(相合)估计量C.样本 K 阶中心矩是总体 k 阶中心矩的无偏、一致(相合)估计量D.样本经验分布函数是总体分布函数无偏、一
2、致(相合)估计量3.已知总体 X 的期望 EX=0，方差 DX= 2存在，又 X1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其均值为X，则 2的无偏估计量是（分数：1.00）A.B.C.D.4.设 X1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，X、S 2分别是样本均值和方差，则 （分数：1.00）A.B.C.D.5.设 X1，X n是取自总体的简单随机样本， 是总体分布中未知参数 的极大似然估计，则（分数：1.00）A.B.C.D.6.设总体 X 的数学期望为 ，方差为 2，X 1，X n是取自总体 X 的简单随机样本，其均值、方差分别为 、S 2，则（分数：1.00）A.B.C.D.7.与总体方
3、差 2的置信区间优劣无关的是（分数：1.00）A.样本容量B.区间长度C.总体方差D.总体均值8.设 为总体 X 分布中的未知参数，统计量 的期望 E 与方差 D 都存在，E ，但满足 ，则 （分数：1.00）A.B.C.D.9.设 X1，X n是来自总体 X 的一个样本，若 EX=，DX= 2存在，则下列可以作为 2的无偏估计量的是 -（分数：1.00）A.B.C.D.10.设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，其中 2已知， 为未知参数，则 的等尾双侧置信区间长度 L与置信度 1- 的关系是（分数：1.00）A.当 1- 减小时，L 变小B.当 1- 减小时，L 增大C.当 1- 减小时
4、，L 不变D.当 1- 减小时，L 增减不定11.假设总体 X 的方差 DX= 2存在(0)，X 1，X n是取自总体 X 的简单随机样本，其方差为 S2，且DS0，则（分数：1.00）A.S 是 的矩估计量B.S 是 的最大似然估计量C.S 是 的无偏估计量D.S 是 的相合(一致)估计量12.总体均值 置信度为 95%的置信区间为 ，其含义是（分数：1.00）A.B.C.D.13.设 为未知参数 的无偏、一致估计，且 ，则 （分数：1.00）A.B.C.D.14.设 X1，X n是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值、方差分别为 、S 2现有结论：X、S 2分别为 、 2无偏一
5、致估计；X 为 的矩估计、最大似然估计；S 2为 2矩估计、最大似然估计；S 为 的矩估计、最大似然估计；S 为 的一致估计；S 2与 相互独立； （分数：1.00）A.B.C.D.15.假设 X1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其均值 ，已知 EX=，DX= 2存在，其中， 2均为未知参数，则 2的无偏估计是（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：15.00)16.假设总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X 2，X n是来向总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，S 2是样本方差，则对于任意实数 a，Ea （分数：1.00）填空项 1:_17.设来自总
6、体 X 的简单随机样本(X1，X 2，X n)，总体 X 的概率分布为 （分数：1.00）填空项 1:_18.设总体 X 的概率密度为 （分数：1.00）填空项 1:_19.设总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，则概率 PX1 的最大似然估计量为 -|_|-（分数：1.00）_20.设总体 X 的概率密度为(X1，X，X n)是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 的最大似然估计量 （分数：1.00）_21.假设随机变量 X 在数集 0，1，2，N 上等可能分布，则 N 的最大似然估计量为 -|_|-（分数：1.00）_22.设总体 X
7、服从参数为(m，p)的二项分布，其中 m 已知；(X 1，X 2，X n)是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 p 的最大似然估计量为_（分数：1.00）填空项 1:_23.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为兄(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n 件产品中发现 k 件不合格品，则 R 的最大似然估计值为_（分数：1.00）填空项 1:_24.设总体 X 服从参数为 的泊松分布；(X 1，X 2，X n)是来自总体 X 的简单随机样本，则 2的无偏估计量为_（分数：1.00）填空项 1:_25.设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，从总体中抽取容量为 36 的简单随机样本，
8、计算得样本均值（分数：6.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：4，分数：23.00)已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1-) 2，EX=2(1-)( 为未知参数)（分数：8.00）_(2).对 X 抽取容量为 10 的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值（分数：4.00）_已知总体 X 的概率密度 （分数：5.01）(1).求 Y 的期望 EY(记 EY 为 b)；（分数：1.67）_(2).求 的矩估计量 和最大似然估计量 （分数：1.67）_(3).利用上述结果求 b 的最大似然估汁量（分数：1.
9、67）_已知总体 X 的分布函数为（分数：5.00）(1).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：2.50）_(2).当 =2 时，求未知参数 的最大似然估计量 与矩估计量 ，并讨论 （分数：2.50）_已知总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，Y=e X现从总体 X 中随意抽取容量为 16 的简单随机样本X1，X 2，X 16，算得样本均值 x=1，方差 S2=0.22（分数：5.01）(1).求 Y 的数学期望 EY(记 EY 为 b)；（分数：1.67）_(2).求证： （分数：1.67）_(3).利用上述结果，求 b 置信度为 0.95 的置信区间(已知 2(16)分布上 分位数 (
10、16)的值：（分数：1.67）_考研数学一-概率论与数理统计参数估计答案解析(总分：53.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：15.00)1.设 X1，X n是取自总体 X 的简单随机样本，a 为总体分布中的未知参数，且总体二阶矩 EX2=a 存在，统计量 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 题目仅假设 EX2=a，并未对总体分布作任何假设，因而(A)、(D)不成立而*是否存在不知道，中心极限定理不能应用，(B)不成立所以选择(C)事实上，*又根据辛钦大数定律有*2.假设总体的 k 阶矩存在(k2)，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.样本均值、方差是
11、总体均值、方差的无偏、一致(相合)估计量B.样本 K 阶原点矩是总体 k 阶原点矩的无偏、一致(相合)估计量C.样本 K 阶中心矩是总体 k 阶中心矩的无偏、一致(相合)估计量 D.样本经验分布函数是总体分布函数无偏、一致(相合)估计量解析：分析 (A)、(B)、(D)是已有的结论，它们都成立根据大数定律，上述估计量都具有一致性但无偏性不具有不变性原理，例如总体 X 二阶矩中心矩 DX= 2，样本二阶中心矩*故选择(C)3.已知总体 X 的期望 EX=0，方差 DX= 2存在，又 X1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其均值为X，则 2的无偏估计量是（分数：1.00）A.B.C. D.解
12、析：分析 由于样本方差*是 2的无偏估计，由此可知(A)、(B)不能选由于EX=0DX=EX 2= 2故*，所以正确选项是(C)事实上，对于(A)有*(B)有*(D)有*4.设 X1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，X、S 2分别是样本均值和方差，则 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 这是显然的结论讨论总体期望、方差无偏、一致估计时，只须要求总体存在二阶矩，而这并非对任意总体都成立，所以(B)、(C)不对，而(A)要求又太强了故正确选项是(D)5.设 X1，X n是取自总体的简单随机样本， 是总体分布中未知参数 的极大似然估计，则（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分
13、析 未知参数 的极大似然估计未必是 的矩估计、无偏估计，也未必是似然方程的解例如总体 X 在0，上服从均匀分布，即*令*，解得 的矩估计为*，样本的似然函数为*此时无法采用解似然方程*求得 的极大似然估计，直接由最大似然估计定义，可求得 的极大似然估计为*=max(X 1，X n)，它不同于 的矩估计为计算*=Emax(X 1，X n)，需要求出*=max(X 1，X n)的分布：*其中*所以*的密度函数为*即 极大似然估计不是 的无偏估计极大似然估计并不唯一，因而正确选项是(D)例如总体 X 在，+1上服从均匀分布，极大似然估计不唯一，*都是 的极大似然估计6.设总体 X 的数学期望为 ，方
14、差为 2，X 1，X n是取自总体 X 的简单随机样本，其均值、方差分别为 、S 2，则（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 (A)、(B)、(C)均在正态总体似设的条件下才成立，而 S2为 2的无偏估计与总体分布无关，只要总体二阶矩存在即可，因此选(D)7.与总体方差 2的置信区间优劣无关的是（分数：1.00）A.样本容量B.区间长度C.总体方差D.总体均值 解析：分析 由总体方差 2的置信区间的构造知， 2的置信区间与总体的数学期望无关故应选(D)8.设 为总体 X 分布中的未知参数，统计量 的期望 E 与方差 D 都存在，E ，但满足 ，则 （分数：1.00）A.B.C. D.
15、解析：分析 由题设*，即*不是 的无偏估计，所以应在(C)、(D)中考虑正确选项由于*，即*因此，猜想这些条件可以推出*，因而正确选项是(C)事实上，由切比雪夫不等式知，*0*即*9.设 X1，X n是来自总体 X 的一个样本，若 EX=，DX= 2存在，则下列可以作为 2的无偏估计量的是 -（分数：1.00）A. B.C.D.解析：分析 估计量必须是一个统计量即不含任何未知参数的样本函数，因此(C)、(D)不能选而E(Xi-) 2DX= 2，所以正确选项是(A)事实上10.设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，其中 2已知， 为未知参数，则 的等尾双侧置信区间长度 L与置信度 1- 的关系
16、是（分数：1.00）A.当 1- 减小时，L 变小 B.当 1- 减小时，L 增大C.当 1- 减小时，L 不变D.当 1- 减小时，L 增减不定解析：分析 由均值 的等尾双侧置信区间*来确定正确选项事实上，此时置信区间长度*，其中、n 已知，*，(x)是 X 的单调增函数因此当 1- 减小时，u /2 减小，L 变小，所以选(A)11.假设总体 X 的方差 DX= 2存在(0)，X 1，X n是取自总体 X 的简单随机样本，其方差为 S2，且DS0，则（分数：1.00）A.S 是 的矩估计量B.S 是 的最大似然估计量C.S 是 的无偏估计量D.S 是 的相合(一致)估计量 解析：分析 由各
17、选项中概念的定义及*知，正确选项是(D)，这是因为 2=DX 的矩估计量*，因而S 不是 的矩估计量，(A)不成立；题中未对 X 的分布做出似设，因此 的最大似然估计量是否存在不知，(B)不成立如果 S2是 2的最大似然估计量，根据“最大似然估计不变性原理”，可以断言 S 是 的最大似然估计量，选项(B)成立如果 S 是 无偏估计即 ES=，由此得(ES) 2= 2，又 ES2= 2，所以DS=ES2-(ES)2=0，与似设矛盾，所以(C)不成立，因此选(D)事实上，由大数定律及依概率收敛性质知，*所以*故*，即 S 是 的相合估计量12.总体均值 置信度为 95%的置信区间为 ，其含义是（分
18、数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 直接由置信区间概念可知正确选项是(C)事实上，由于均值 是客观存在的一个数，无法谈论“ 以 95%概率落入*内”，选项(A)不成立；*都是统计量，(B)，(D)含义不清且与 无关，所以不能选；而(C)则表示*，此即置信区间的定义，故选(C)13.设 为未知参数 的无偏、一致估计，且 ，则 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 已知*，所以在(A)、(C)中考虑正确选项又*所以*为 2的有偏、一致估计，选择(C)14.设 X1，X n是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值、方差分别为 、S 2现有结论：X、S 2分别为 、 2无偏
19、一致估计；X 为 的矩估计、最大似然估计；S 2为 2矩估计、最大似然估计；S 为 的矩估计、最大似然估计；S 为 的一致估计；S 2与 相互独立； （分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 、对任何总体都成立(只要总体二阶矩存在)，、对正态总体成立而正态总体方差 2的极大似然估计和矩估计都是*由替代原则和不变性原理， 的矩估计和最大似然估计是*而不是 所以正确结论有 6 个，选择(C)15.假设 X1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其均值 ，已知 EX=，DX= 2存在，其中， 2均为未知参数，则 2的无偏估计是（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 由于(A)、(B)
20、均含有未知参数，故不能选而样本方差*所以正确选项是(C)对于(A)有*(B)有*(D)有*二、填空题(总题数：10，分数：15.00)16.假设总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X 2，X n是来向总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，S 2是样本方差，则对于任意实数 a，Ea （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 熟知，对于任何总体 X，样本均值*是总体数学期望的无偏估计量，样本方差 S2是总体方差的无偏估计量对于泊松分布，数学期望和方差都等于分布参数 ，因此*17.设来自总体 X 的简单随机样本(X1，X 2，X n)，总体 X 的概率分布为 （分数：1.0
21、0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 总体 X 的数学期望为EX=-2+2(1-3)=2-8用样本均值*估计数学期望 EX，得 的矩估计量18.设总体 X 的概率密度为 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 总体 X 的数学期望(一阶原点矩)为*用一阶样本矩(样本均值)*估计总体 X 的一阶矩 1=EX，得关于未知参数 的方程，其解就是 的矩估计量：*，其中*是样本均值19.设总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，则概率 PX1 的最大似然估计量为 -|_|-（分数：1.00）_解析：分析 熟知，样本均值是参数
22、 的最大似然估计量，而 PX1=1-PX=0=1-e - 是 的单调函数，根据最大似然估计量的性质，*是 1-e- 的最大似然估计量，即为所求的概率 PX120.设总体 X 的概率密度为(X1，X，X n)是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 的最大似然估计量 （分数：1.00）_解析：分析 参数 的似然函数为*由此可见，其似然方程无解，需要直接求其似然函数*的最大值当 x1，x 2，x n 时 L()=0，而当 x1，x 2，x n，即 minx1，x 2，x n时 L()随 的增大而增大，可见当 =minx 1，x 2，x n时 L()达到最大值故 的最大似然估计量为 minX1，X
23、 2，X n21.假设随机变量 X 在数集 0，1，2，N 上等可能分布，则 N 的最大似然估计量为 -|_|-（分数：1.00）_解析：22.设总体 X 服从参数为(m，p)的二项分布，其中 m 已知；(X 1，X 2，X n)是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 p 的最大似然估计量为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 总体 X 的概率函数可以表示为*参数 p 的似然函数为*其中*为样本均值对数似然方程为*其唯一解*即未知参数 p 的最大似然估计量23.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为兄(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n 件产品中发现 k
24、 件不合格品，则 R 的最大似然估计值为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 设这批产品中不合格品的件数为 a，合格品的件数为 b，从而 a=Rb，不合格品率为*设 X 是随意抽取的 n 件产品中不合格品的件数，则 X 服从参数为 p 的 0-1 分布对于来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n记 Nn=X1+X2+Xn则 R 的似然丽数和似然方程分别为*由条件知 Nn=X1+X2+Xn=k，于是似然方程的唯一解*故*就是 R 的最大似然估计值24.设总体 X 服从参数为 的泊松分布；(X 1，X 2，X n)是来自总体 X 的简单随机样本，则 2的无偏估计
25、量为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由题设可知，EX=DX=设 X 为样本均值，则*由此可见 2的无偏估计量为*25.设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，从总体中抽取容量为 36 的简单随机样本，计算得样本均值（分数：6.00）填空项 1:_ （正确答案：17，3.83)，(2.83，4.18)，2.94，(6.70，17.10)，(2.63，6.81)，(0.97，1.92)）解析：分析 直接应用置信区间定义求解(也可以套用已知结果)()已知 XN(， 2)， 的点估计为*当 2已知时，令*，即*，查表求得*，从而得 置信度为 1- 的置信区间*当 n=3
26、6，1-=0.95 时，=0.05，*，所求置信区间为*=(3.17，3.83)()当 2未知时，用样本方差 S2估计，此时*，给定 查 t 分布上分位数表求得*，从而有*即*由此知 置信度为 1- 置信区间为*当 n=36，1-=0.95，*，查表得*=2.03，所求置信区间为*同理，选取 t (35)=t0.05(35)=1.69，使*由此得 置信度为 0.95 的单侧置信下限为*()由 2估计量构造枢轴变量 G 从而求得 2置信区间已知 =1，总体 XN(1， 2)，因此根据等尾置信区间对给定 X=0.05，由*查表求得上分位数*，于是有*即*其中*，又*，所以*，故*将 S2=4，*代
27、入得*于是 2置信度为 0.95 置信区间*() 未知，考虑样本方差*令*则*即*将 S2=4，*代入得 2置信度为 0.95 置信区间*因为当 x0 时，x 2，lnx 都是 x 的单调增函数，所以有*故 与 ln 2置信度为 0.95 置信区间分别为*=(1.62，2.61)，与(ln2.63，ln6.81)=(0.97，1.92)三、解答题(总题数：4，分数：23.00)已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1-) 2，EX=2(1-)( 为未知参数)（分数：8.00）_解析：(2).对 X 抽取容量为 10 的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2
28、，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值（分数：4.00）_正确答案：(应用定义求矩估计值、最大似然估计值令 X=EX=2(1-)，解得 的矩估计量*=1*，将样本值代入得 的矩估计值为*，又样本值的似然函数，*，lnL=5ln2+9ln+11ln(1-)，令*解得 最大似然估计量*)解析：已知总体 X 的概率密度 （分数：5.01）(1).求 Y 的期望 EY(记 EY 为 b)；（分数：1.67）_正确答案：(直接应用公式*计算*)解析：(2).求 的矩估计量 和最大似然估计量 （分数：1.67）_正确答案：(令*=EX，其中*即令*，解得 的矩估计量*样本 X1，X n的似然函数为
29、*令*，解得*故 的最大似然估计量为*)解析：(3).利用上述结果求 b 的最大似然估汁量（分数：1.67）_正确答案：(由于*是 的单调连续函数，有单值反函数，根据最大似然估计不变原理得 b 的最大似然估计为*)解析：已知总体 X 的分布函数为（分数：5.00）(1).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：2.50）_正确答案：(直接应用定义求解*)解析：(2).当 =2 时，求未知参数 的最大似然估计量 与矩估计量 ，并讨论 （分数：2.50）_正确答案：(=2 时，*样本的似然函数为*当一切 xi 即*时，L()是 的单调增函数，故 的最大似然估计*为计算*，需先求得 X(1)的密度函数
30、，即*故*即*不是 的无偏估计令*，解得 的矩估计量*由于*所以*为 的无偏估计)解析：已知总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，Y=e X现从总体 X 中随意抽取容量为 16 的简单随机样本X1，X 2，X 16，算得样本均值 x=1，方差 S2=0.22（分数：5.01）(1).求 Y 的数学期望 EY(记 EY 为 b)；（分数：1.67）_正确答案：(直接应用公式*计算 EY*)解析：(2).求证： （分数：1.67）_正确答案：(由于 XiN(0， 2)，故*，又 X1，X 2，X 16相互独立，则由 2分布典型模式知*查分布表得 2分布上 分位数*(16)使得*即*其中 =0.05，*故 2置信度为 0.95 的置信区间为*由题设样本值知*，而*所以*故 2置信度为 0.95 的置信区间为*)解析：(3).利用上述结果，求 b 置信度为 0.95 的置信区间(已知 2(16)分布上 分位数 (16)的值：（分数：1.67）_正确答案：(由于*是 2的单调增函数，所以*故 b 置信度为 0.95 的置信区间为*)解析：
