1、考研数学一-概率论与数理统计多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：4.00)1.设两个随机变量 X 和 Y 相互独立且同分布： ， ，则下列各式成立的是 A BPX-Y=1 C D （分数：0.50）A.B.C.D.2.设随机变量 ，且满足 PX 1 X 2 =0=1，则 Px 1 =X 2 等于 A0 B C （分数：0.50）A.B.C.D.3.已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=1.44，则二项分布的参数 n，P 的值为（分数：0.50）A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0
2、.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.14.设 X 是一个随机变量，E(X)=,D(X)= 2 (，0 是常数)，则对任意常数 c，必有 A.E(X-c)2=E(X2)-c2 B.E(X-c)2=E(X-) 2 C.E(X-c)2=E(X-) 2 D.E(X-c)2E(X-) 2（分数：0.50）A.B.C.D.5.对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则（分数：0.50）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X 和 Y 独立D.X 和 Y 不独立6.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，方差存在且不为零，记 U=X-Y，
3、V=X+Y，则随机变量 U 和 V 必然（分数：0.50）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零7.设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)是 X 和 Y（分数：1.00）A.不相关的充分条件，但不是必要条件B.独立的充分条件，但不是必要条件C.不相关的充分必要条件D.独立的充分必要条件二、填空题(总题数：12，分数：24.00)8.设随机变量 XN(-3，1)，YN(2，1)，且 X 与 Y 相互独立，设随机变量 Z=X-2Y+7，则 Z 1。 （分数：2.00）9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 在区
4、间0，6上服从均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 =3 的泊松分布，记 Y=X 1 -2X 2 +3X 3 ，则 D(Y)= 1。 （分数：2.00）10.设 X 是一个随机变量，其概率密度为 （分数：2.00）11.设一试验成功的概率为 P，进行 100 次独立重复试验，当 P= 1 时，成功次数的 标准差的值最大，其最大值为 2。 （分数：2.00）12.已知随机变量 X 的概率密度为 ，则随机变量 （分数：2.00）13.设随机变量 X 在区间-1，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：2.00）14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且已知 E(X
5、-1)(X-2)=1，则 = （分数：2.00）15.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）16.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）17.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.5，E(X)=E(Y)=0，E(X 2 )=E(Y 2 )=2，则 E(X+Y) 2 = 1。 （分数：2.00）18.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 Z=X-0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为 1。 （分数：2.00）19.设随机变量 X ij (i，j=1，2，n2)独立同分布，E(X ij )=2 则行列式 （分数：2.00）三、计算证明题(总
6、题数：30，分数：72.00)20.甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2，乙的命中率为 0.5，以 X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求 X 和 Y 的联合概率分布。 （分数：1.50）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：3.00）(1).求随机变量 X 的密度 f x (x)（分数：1.50）_(2).求概率 PX+Y1（分数：1.50）_21.设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 （分数：1.50）_已知随机变量 X 1 和 X 2 的概率分布 （分数：3.00）(1).求 X 1 和 X 2 的联合分布律；（分数：1.50）_(2).问 X 1
7、 和 X 2 是否独立，为什么?（分数：1.50）_22.设随机变量 X 和 y 的联合分布是正方形 G=(x，y)|1x3，1y3上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度 (u) （分数：1.50）_23.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 x 的概率分布为 （分数：1.50）_设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=x(0x1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：（分数：4.50）(1).随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；（分数：1.50）_(2).Y 的概率密度；（分数：1.50）_(3).概率 PX+Y1（分数：1.50）_24.设
8、二维随机变量(X，Y)在矩形 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f(S) （分数：1.50）_设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：4.50）(1).a，b，c 的值；（分数：1.50）_(2).Z 的概率分布；（分数：1.50）_(3).PX=ZPX=Z=0.2（分数：1.50）_一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为 （分数：3.00）(1).问 X 和 Y 是否独立?（分数：1.50）_(2).求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 （
9、分数：1.50）_25.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且同分布，PX i =0=0.6，PX i =1=0.4，i=1，2，3，4，求行列式 （分数：1.50）_设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 （分数：3.00）(1).求(U，V)的概率分布；（分数：1.50）_(2).求 U 与 V 的协方差 Cov(U，V)（分数：1.50）_26.假设有十只同种电器元件，其中只有两只废品装配仪器时，从这批元件中任意取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再任取一只试求：在取到正品之前，已取出的废品只数的概率分布，数学期望和方差 （分
10、数：1.50）_27.一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10，0.20 和 0.30假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数试求 X 的概率分布、数学期望 E(X)和方差D(X) （分数：1.50）_已知随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：3.00）(1).PXY（分数：1.50）_(2).E(XY)（分数：1.50）_一辆汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数。（分数：3.00）(1).求
11、X 的概率分布（分数：1.50）_(2).求 （分数：1.50）_28.设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 U=X+Y 的方差 （分数：1.50）_某箱装有 100 件产品，其中一，二和三等品分别为 80 件，10 件和 10 件，现在从中随机抽取一件，记（分数：3.00）(1).随机变量 X 1 与 X 2 的联合分布（分数：1.50）_(2).随机变量 X 1 与 X 2 的相关系数 （分数：1.50）_假设二维随机变量(X，Y)在矩形 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：3.00）
12、(1).求 U 和 V 的联合分布（分数：1.50）_(2).求 U 和 V 的相关系数 （分数：1.50）_设二维随机变量(X，Y)的密度函数为 其中 1 (x，y)和 2 (x，y)都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 和 （分数：3.00）(1).求随机变量 X 和 y 的密度函数 f 1 (x)和 f 2 (y)，及 X 和 Y 的相关系数 (可直接利用二维正态密度的性质)（分数：1.50）_(2).问 X 和 Y 是否独立?为什么?（分数：1.50）_29.假设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于
13、12 的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：1.50）_30.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时机器全天停止工作若一周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生两次故障获利润 0 元；若发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元求一周内期望利润是多少 （分数：1.50）_31.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5 分钟，25 分钟和 55 分钟从底层起行假设一游客在早晨 8 点的第 X 分钟到底层候梯处，且
14、 X 在0，60上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望 （分数：1.50）_32.设某种商品每周的需求量 X 是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货的数量为区间10，30中某一整数，商店每销售 1 单位商品可获利 500 元；若供大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1 单位商品仅获利 300 元为使商店所获利润的期望值不少于 9280 元，试确定最少进货量 （分数：1.50）_假设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为 （分数：3.00）(1).已知事件 A=X和 B=Y独立，且 （分数：1.50）_(2
15、).求 （分数：1.50）_假设随机变量 X 和 Y 独立，都在区间1，3上服从均匀分布，引进事件 A=X和 B=Y。（分数：3.00）(1).已知 （分数：1.50）_(2).求 （分数：1.50）_假设随机变量 Y 服从参数为 =1 的指数分布，随机变量 （分数：3.00）(1).求 X 1 与 X 2 的联合概率分布；（分数：1.50）_(2).求 E(X 1 +X 2 )（分数：1.50）_33.设 A，B 是二随机事件，随机变量 （分数：1.50）_假设随机变量 U 在区间-2，2上服从均匀分布随机变量 （分数：3.00）(1).X 和 y 的联合概率分布（分数：1.50）_(2).
16、D(X+Y)（分数：1.50）_对于任意二事件 A 和 B，0P(A)1，0P(B)1， （分数：3.00）(1).证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零（分数：1.50）_(2).利用随机变量相关系数的基本性质，证明|1（分数：1.50）_考研数学一-概率论与数理统计多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：4.00)1.设两个随机变量 X 和 Y 相互独立且同分布： ， ，则下列各式成立的是 A BPX-Y=1 C D （分数：0.50）A. B.C.D.解析：2.设随机变量 ，且满足 PX
17、 1 X 2 =0=1，则 Px 1 =X 2 等于 A0 B C （分数：0.50）A. B.C.D.解析：3.已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=1.44，则二项分布的参数 n，P 的值为（分数：0.50）A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4 C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.1解析：4.设 X 是一个随机变量，E(X)=,D(X)= 2 (，0 是常数)，则对任意常数 c，必有 A.E(X-c)2=E(X2)-c2 B.E(X-c)2=E(X-) 2 C.E(X-c)2=E(X-) 2 D.E(X-c)2E(X-) 2（分数：0.50）A.B.
18、C.D. 解析：5.对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则（分数：0.50）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X 和 Y 独立D.X 和 Y 不独立解析：6.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，方差存在且不为零，记 U=X-Y，V=X+Y，则随机变量 U 和 V 必然（分数：0.50）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：7.设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)是 X 和 Y（分数：1.00）A.不相关的充分条件，但不是必要条件B.独立的充分条件，但不是
19、必要条件C.不相关的充分必要条件 D.独立的充分必要条件解析：二、填空题(总题数：12，分数：24.00)8.设随机变量 XN(-3，1)，YN(2，1)，且 X 与 Y 相互独立，设随机变量 Z=X-2Y+7，则 Z 1。 （分数：2.00）解析：N(0，5)9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 在区间0，6上服从均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 =3 的泊松分布，记 Y=X 1 -2X 2 +3X 3 ，则 D(Y)= 1。 （分数：2.00）解析：4610.设 X 是一个随机变量，其概率密度为 （分数：2.00）解析：11
20、.设一试验成功的概率为 P，进行 100 次独立重复试验，当 P= 1 时，成功次数的 标准差的值最大，其最大值为 2。 （分数：2.00）解析：12.已知随机变量 X 的概率密度为 ，则随机变量 （分数：2.00）解析：13.设随机变量 X 在区间-1，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：2.00）解析：14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且已知 E(X-1)(X-2)=1，则 = （分数：2.00）解析：115.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）解析：016.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）解析：0.0217.设随机变量 X
21、和 Y 的相关系数为 0.5，E(X)=E(Y)=0，E(X 2 )=E(Y 2 )=2，则 E(X+Y) 2 = 1。 （分数：2.00）解析：618.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 Z=X-0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为 1。 （分数：2.00）解析：0.919.设随机变量 X ij (i，j=1，2，n2)独立同分布，E(X ij )=2 则行列式 （分数：2.00）解析：0三、计算证明题(总题数：30，分数：72.00)20.甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2，乙的命中率为 0.5，以 X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求 X 和 Y
22、的联合概率分布。 （分数：1.50）_正确答案：()解析：设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：3.00）(1).求随机变量 X 的密度 f x (x)（分数：1.50）_正确答案：()解析：(2).求概率 PX+Y1（分数：1.50）_正确答案：()解析：21.设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 （分数：1.50）_正确答案：()解析：已知随机变量 X 1 和 X 2 的概率分布 （分数：3.00）(1).求 X 1 和 X 2 的联合分布律；（分数：1.50）_正确答案：()解析：X 1 和 X 2 的联合分布律为： (2).问 X 1 和 X 2 是否独立，为什么?（分
23、数：1.50）_正确答案：()解析：X 1 和 X 2 不独立因为 PX 1 =0，X 2 =0=0， 22.设随机变量 X 和 y 的联合分布是正方形 G=(x，y)|1x3，1y3上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度 (u) （分数：1.50）_正确答案：()解析：23.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 x 的概率分布为 （分数：1.50）_正确答案：()解析：g(u)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2)设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=x(0x1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：（分数：4.50）(1).随机变量 X
24、和 Y 的联合概率密度；（分数：1.50）_正确答案：()解析：(2).Y 的概率密度；（分数：1.50）_正确答案：()解析：(3).概率 PX+Y1（分数：1.50）_正确答案：()解析：PX+Y1=1-ln224.设二维随机变量(X，Y)在矩形 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f(S) （分数：1.50）_正确答案：()解析：设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：4.50）(1).a，b，c 的值；（分数：1.50）_正确答案：()解析：a=0.2，b=0.1，c=0.1(2).Z 的概率分布；（分数：1.50）_
25、正确答案：()解析：(3).PX=ZPX=Z=0.2（分数：1.50）_正确答案：()解析：PX=Z=0.2一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为 （分数：3.00）(1).问 X 和 Y 是否独立?（分数：1.50）_正确答案：()解析：X 和 Y 相互独立(2).求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 （分数：1.50）_正确答案：()解析：a=-e -0.1 25.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且同分布，PX i =0=0.6，PX i =1=0.4，i=1，2，3，4，求行列
26、式 （分数：1.50）_正确答案：()解析：设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 （分数：3.00）(1).求(U，V)的概率分布；（分数：1.50）_正确答案：()解析：(2).求 U 与 V 的协方差 Cov(U，V)（分数：1.50）_正确答案：()解析：26.假设有十只同种电器元件，其中只有两只废品装配仪器时，从这批元件中任意取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再任取一只试求：在取到正品之前，已取出的废品只数的概率分布，数学期望和方差 （分数：1.50）_正确答案：()解析：设 X 表示在取到正品之前，已取出的废品只数，则 27.一台设备由三大部
27、件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10，0.20 和 0.30假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数试求 X 的概率分布、数学期望 E(X)和方差D(X) （分数：1.50）_正确答案：()解析：，E(X)=0.6，D(X)=0.46已知随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：3.00）(1).PXY（分数：1.50）_正确答案：()解析：(2).E(XY)（分数：1.50）_正确答案：()解析：E(XY)=1一辆汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数。（分数：3.00）(1).求 X 的概率分布（分数：1.50）_正确
