1、考研数学一分类真题多元函数积分学及答案解析(总分：51.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：21，分数：21.00)1.设 L为取正向的圆周 x2+y2=9，则曲线积 （分数：1.00）填空项 1:_2.向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k在点 P(1，1，0)处的散度 divu=_（分数：1.00）填空项 1:_3.设平面曲线 L为下半圆周 ，则曲线积分 （分数：1.00）填空项 1:_4.积分 （分数：1.00）填空项 1:_5.设数量场 （分数：1.00）填空项 1:_6.设区域 D为 x2+y2R 2，则 （分数：1.00）填空项 1:
2、_7.设 l是椭圆 ，其周长记为 a，则 （分数：1.00）填空项 1:_8.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_9.交换二次积分的积分次序： （分数：1.00）填空项 1:_10.设 L为正向圆周 x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分 （分数：1.00）填空项 1:_11.设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 （分数：1.00）填空项 1:_12.设是锥面 (0z1)的下侧，则 （分数：1.00）填空项 1:_13.设曲面：x+y+z=1，则 （分数：1.00）填空项 1:_14.设曲面是 的上侧，则 （分数：1.00）填空项 1:_15.设 =(x
3、，y，z)x 2+y2+z21)，则 （分数：1.00）填空项 1:_16.已知曲线 L：y=x 2(0x )，则 （分数：1.00）填空项 1:_17.已知曲线 L的方程为 y=1-x(x-1，1)，起点是(-1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分（分数：1.00）填空项 1:_18.设 =(x，y，z)x 2+y2z1)，则 的形心的竖坐标 （分数：1.00）填空项 1:_19.设 L是柱面 x2+y2=1与平面 z=x+y的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（分数：1.00）填空项 1:_20.设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 （分数：1.0
4、0）填空项 1:_21.设 L是柱面 x2+y2=1与平面 y+z=0的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：9，分数：9.00)22.设有空间区域 1：x 2+y2+z2R 2，z0；及 2：x 2+y2+z2R 2，x0，y0，z0，则 _A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.23.设 D是 xoy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D在第一象限的部分，则等于A C （分数：1.00）A.B.C.D.24.设 S：x 2+y2+z2=a2 (z0)，S 1为
5、S在第一卦限中的部分，则有 _A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.25.设 f(x)为连续函数，F(t)= （分数：1.00）A.B.C.D.26.设 f(x，y)为连续函数，则 等于 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.27.设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第象限内的点 M和第象限内的点 N， 为L上从点 M到点 N的一段弧，则下列积分小于零的是 _A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.28.如图，正方形 被其对角线划分为四个区域 Dk(k=1，2，3，4)， ，则 = _（分数：1.00）A.B.C.D.29.设 L1
6、：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3：x 2+2y2=2，L 42x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线记 （分数：1.00）A.B.C.D.30.设 f(x，y)是连续函数，则 =_. A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：5，分数：21.00)设函数 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d). 记 （分数：2.00）(1).证明曲线积分 I与路径 L无关；（分数：1.00）_(2).当 ab=cd时，求 I的值（分数：1.00）_已知平面区域 D=(x，y
7、)0x，0y，L 为 D的正向边界试证：（分数：2.00）(1).； （分数：1.00）_(2). （分数：1.00）_设函数 f(x)连续且恒大于零，（分数：4.00）(1).讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性（分数：1.00）_(2).证明当 t0 时，F(t) （分数：1.00）_(3).计算曲面积分 （分数：1.00）_(4).设 D=(x，y)x 2+y2 ，x0，y0)，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2的最大整数计算二重积分 （分数：1.00）_设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分 （分数：10.00）(1).证明：对右半平面 x
8、0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：1.00）_(2).求函数 （分数：1.00）_(3).设区域 D=(x，y)x 2+y21，x0)，计算二重积分（分数：1.00）_(4).设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t-2f(x，y)证明：对 D内的任意分段光滑的有向简单闭线 L，都有（分数：1.00）_(5).计算曲面积分其中为曲面 z=1-x2- （分数：1.00）_(6).计算曲线积分 （分数：1.00）_(7).计算曲面积分 （分数：1.00）_(8).设 P为椭球面 S：x 2+y2+z2-yz=1
9、上的动点，若 S在点 P处的切平面与 xOy面垂直，求点 P的轨迹 C，并计算曲面积分 （分数：1.00）_(9).已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)：0， ，其中D=(x，y)0x1，0y1)，计算二重积分， （分数：1.00）_(10).已知 L是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2+y2=2x到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4到点(0，2)的曲线段计算曲线积分 （分数：1.00）_设直线 L过 A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将 L绕 z轴旋转一周得到曲面与平面 z=0，x=2 所围成的立体为 （分数：3.00）(1).求曲面的方程
10、；（分数：1.00）_(2).求 的形心坐标（分数：1.00）_(3).设为曲面 z=x2+y2(z1)的上侧，计算曲面积分（分数：1.00）_考研数学一分类真题多元函数积分学答案解析(总分：51.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：21，分数：21.00)1.设 L为取正向的圆周 x2+y2=9，则曲线积 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-18）解析：解 由格林公式可知 原式=* D：* 本题主要考查格林公式2.向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k在点 P(1，1，0)处的散度 divu=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正
11、确答案：2）解析：解 由散度计算公式 *其中 u=Pi+Qj+Rk 得* 本题主要考查散度计算公式3.设平面曲线 L为下半圆周 ，则曲线积分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解 1 下半圆周*的参数方程为*，t2。则*解 2 由于下半圆周上的点(x，y)也满足 x2+y2=1，则*本题主要考查平面上第一型线积分的计算4.积分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：显然按本题所给累次积分次序无法积分，因为积分*积不出来所以应交换累次积分次序 解 交换累次积分次序得 * 本题主要考查二重积分的计算5.设数量场 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*
12、）解析：解 * 由于* 知* 由对称性可知* 故 * 本题主要考查梯度和散度的计算公式6.设区域 D为 x2+y2R 2，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 1 利用极坐标进行计算 * 解 2 由对称性可知* 则 * * 本题主要考查二重积分的计算方法7.设 l是椭圆 ，其周长记为 a，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：12a）解析：解 椭圆 l的方程可改写为 3x 2+4y2=12将上式代入积分得*由于 xy是 x的奇函数，曲线 l关于 y轴对称，则*而 *则 *本题主要考查一型线积分计算的方法和技巧8.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_
13、（正确答案：* 解 * 则 *）解析：本题主要考查梯度和散度计算9.交换二次积分的积分次序： （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 先画积分域草图(见图 2.9)，由此可知 * * 本题主要考查累次积分交换次序此类问题首先要画出积分域的草图，然后再来交换次序10.设 L为正向圆周 x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 1 圆周 x2+y2=2的参数方程为*，则*解 2 补线用格林公式，如图补线段*和*，则*本题主要考查平面二型线积分的计算11.设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，
14、则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 由高斯公式得 * 本题主要考查高斯公式及三重积分在球坐标下的计算12.设是锥面 (0z1)的下侧，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解 补平面*，取上侧 则* 本题主要考查补面用高斯公式计算第二型面积分的方法13.设曲面：x+y+z=1，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题是一个第一型面积分计算问题积分曲面：x+y+z=1 由 8块平面构成，若用直接法计算该面积分显然很不方便，这里应特别注意被积函数的奇偶性和积分曲面的对称性解 由于 x关于变量 x是奇函数，而积分曲面：x+y+
15、z=1 关于 yOz面对称，则*由于y关于变量 x，y，z 都是偶函数，而曲面：x+y+z=1 关于三个坐标面 xOy面，yOz面，zOx 面都对称，则*其中 1为在第一卦限内的部分，即：x+y+z=1，(x0，y0，z0)计算*有以下三种方法：方法一 化为二重积分*方法二 利用对称性*方法三 利用形心计算公式*(S为 1的面积)=*故*本题主要考查利用函数奇偶性、曲面的对称性计算第一型面积分的方法14.设曲面是 的上侧，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：根据本题的特点，补面用高斯公式计算本题中的面积分解 令 S为 xOy面上圆 x2+y24 的下侧，则原式*本题王要
16、考查计算二型面积分一种常用方法：补面用高斯公式15.设 =(x，y，z)x 2+y2+z21)，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 1 利用直角坐标系下的“先二后一” * 解 2 由对称性知 * 本题主要考查三重积分的计算16.已知曲线 L：y=x 2(0x )，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解* 本题主要考查第一型线积分的计算17.已知曲线 L的方程为 y=1-x(x-1，1)，起点是(-1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：* * 解 2 补线用格林公式补 x轴上的线段*，则
17、* 本题主要考查平面上对坐标线积分计算18.设 =(x，y，z)x 2+y2z1)，则 的形心的竖坐标 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 * 本题主要考查形心计算公式和三重积分的计算19.设 L是柱面 x2+y2=1与平面 z=x+y的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解 1 记平面 z=x+y包含在柱面 x2+y2=1内的部分上侧为 S，其法线向量为n=-1，-1，1其方向余弦为*由斯托克斯公式得 *原式=*解 2 柱面 x2+y2=1与平面 z=x+y的交线的参数方程为x=cost，y=
18、sint，z=cost+sint，则*解 3 化空间线积分为平面线积分，然后用格林公式，将 z=x+y代入原式得*其中 C为圆 x2+y2=1沿逆时针方向，则*本题主要考查空间线积分的计算，显然解 3方便20.设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 * 其中 D=(x，y)x0，y0，x+y1， 故 * 本题主要考查第一类面积分的计算21.设 L是柱面 x2+y2=1与平面 y+z=0的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解 1 柱面 x2+y
19、2=1与平面 y+z=0的交线的参数方程为*(0t2)则*解 2 由斯托克斯公式得*其中为平面 y+z=0包含在柱面 x2+y2=1之内部分的上侧，*解 3 将空间线积分化为平面线积分用格林公式，由 y+z=0得，z=-y，代入积分*得*(其中 C为单位圆 x2+y2=1沿逆时针方向)=*(格林公式)本题主要考查沿空间封闭曲线的第二型曲线积分的计算二、B选择题/B(总题数：9，分数：9.00)22.设有空间区域 1：x 2+y2+z2R 2，z0；及 2：x 2+y2+z2R 2，x0，y0，z0，则 _A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：本题要利用函数的奇偶性和区域的对
20、称性解 1 由于 C选项中的被积函数 f(x，y，z)=z 既是 x的偶函数，也是 y的偶函数，而积分域 1既关于yoz坐标面前后对称，又关于 xoz坐标面左右对称，则* 解 2 用排除法由于 f(x，y，z)=x 是 x的奇函数， 1关于 yoz坐标面前后对称，则*而在 2内x0，有*，则 A不正确；B 和 D均不正确，所以应选 C本题主要考查在三重积分计算中被积函数奇偶性和积分域对称性的应用23.设 D是 xoy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D在第一象限的部分，则等于A C （分数：1.00）A. B.C.D.解析：此类问题一般都要利用被积函
21、数的奇偶性及积分域的对称性，因此首先画积分域的草图解 如图所示，OAB 所围区域记为 D2，OBC 所围区域记为 D3*由于 xy关于 x是奇函数，积分域 D2关于 y轴对称，则*同理*从而*又 cosxsiny是 y的奇函数D 3关于 x轴对称，则*又 cosxsiny是 x的偶函数，D 2关于 y轴对称，则*从而有*故 *本题主要考查二重积分计算中区域对称性和函数奇偶性的应用24.设 S：x 2+y2+z2=a2 (z0)，S 1为 S在第一卦限中的部分，则有 _A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：本题主要考查被积函数奇偶性和积分域对称性在重积分中的应用解 1 由于
22、C选项中等式左端积分的被积函数 z既是 x的偶函数，也是 y，的偶函数，而积分域 S既关于yOz平面对称，又关于 xOz平面对称，则*，又在 S1上，x 和 z具有轮换对称性，则*，故应选 C解 2 由于 x是 x的奇函数，曲面 S关于 yoz平面对称则 *，同理*而 * (由于在 S1内 x0)，且*故 A，B，D 均不正确，应选 C本题主要考查被积函数奇偶性和积分域的对称性在第一型面积分计算中的应用25.设 f(x)为连续函数，F(t)= （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 1 交换累次积分次序得 * f(t)=(t-1)f(t)，F(2)=f(2)，故应选 B 解 2 排除法
23、令 f(x)1，则 * F(t)=2t-1-t=t-1 F(2)=1 则 A，C，D 均不正确，故应选 B 解 3 利用分部积分法 F(t)* 则 * 故应选 B 本题主要考查二重积分的累次积分交换次序的和变上限求导26.设 f(x，y)为连续函数，则 等于 A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解 由于*的积分域如图所示 * 则 *故应选 C 本题主要考查累次积分定限27.设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第象限内的点 M和第象限内的点 N， 为L上从点 M到点 N的一段弧，则下列积分小于零的是 _A B C D （分数：1.00）A.B.
24、C.D.解析：解 如图，设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，*=1-1=0故应选 B本题主要考查线积分的计算.28.如图，正方形 被其对角线划分为四个区域 Dk(k=1，2，3，4)， ，则 = _（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 由于 D2，D 4关于 x轴对称，而被积函数 ycosx是关于 Y的奇函数，所以，I 2=I4=0在 D1内ycosx0，而在 D3内 ycosx0，则 I10，I 30，故应选 A本题主要考查利用被积函数的奇偶性和积分域的对称性化简，计算二重积分29.设 L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3：x 2+2y2=2，L 42x
25、2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线记 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：由格林公式得*其中 Di为 Li围成的平面域(i=1，2，3，4)显然，在 D1和 D4上 1-x2-*0，D 4*D1，则0I 1I 4又 I2I 4，I 3I 4，则maxI1，I 2，I 3，I 4=I4*本题主要考查格林公式及二重积分的性质(不等式性质)30.设 f(x，y)是连续函数，则 =_. A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 累次积分*所对应的二重积分的积分域如图， * * * 故应选 D 本题主要考查二重积分的累次积分交换次序及直角坐标下累次积分化为极坐标下累次积分的
26、方法三、B解答题/B(总题数：5，分数：21.00)设函数 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d). 记 （分数：2.00）(1).证明曲线积分 I与路径 L无关；（分数：1.00）_正确答案：(证 因为 * 在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分 I与路径无关)解析：(2).当 ab=cd时，求 I的值（分数：1.00）_正确答案：(解 1 由于 I与路径无关，故可取积分路径 L为由点(a，b)到点(c，b)再到(c，d)的折线段，所以 * 当 ab=cd时，*，由此得* 解 2 * 设 F(x)是 f
27、(x)的一个原函数，则 * 所以当 ab=cd时，F(cd)-F(ab)=0，由此得 *)解析：本题主要考查型线积分与路径无关的条件及型线积分计算已知平面区域 D=(x，y)0x，0y，L 为 D的正向边界试证：（分数：2.00）(1).； （分数：1.00）_正确答案：(证明同一条闭曲线上两个型线积分相等一般有两种方法：一种是将等式两边的线积分都化为定积分，证明所得两个定积分相等；另一种是将等式两边闭曲线上的线积分用格林公式化为二重积分，证明所得的两个二重积分相等证一个闭曲线上的型线积分大于一个常数应先用格林公式将闭曲线上的型线积分化为二重积分然后证明所得二重积分大于右端常数 证 1 左端=
28、* 右端=* 所以 * 证 2 由格林公式得 * 因为 D关于 y=x对称，所以 *)解析：(2). （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：本题主要考查格林公式，型线积分化为累次积分及二重积分中对称性的运用设函数 f(x)连续且恒大于零，（分数：4.00）(1).讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性（分数：1.00）_正确答案：(本题中出现了变域上的二重积分*和变域上的三重积分*z 2)dv，此时一般都是将变域上的重积分化为累次积分，从而进一步化为变上限定积分再作处理解 由于 F(t)=*则 *由上式可知，当 t(0，+)时，F(t)0，故 F(t)在(0，+)上单调增)解析：(2).
29、证明当 t0 时，F(t) （分数：1.00）_正确答案：(证 由于 * 要证明 t0 时，F(t)*，只需证明 t0 时，* 即 * 令 * 则 * 故 *在(0，+)上单调增加 又*在 t=0处连续，*，则当 t0 时，*0，故，当 t0 时，F(t)*.)解析：本题主要考查函数单调性的判定，函数不等式的证明，变上限求导，二重积分中的极坐标变换和三重积分中球坐标的变换(3).计算曲面积分 （分数：1.00）_正确答案：()解析：本题主要考查利用高斯公式计算二型面积分的补面方法的运用，及柱坐标下三重积分计算(4).设 D=(x，y)x 2+y2 ，x0，y0)，1+x 2+y2表示不超过 1
30、+x2+y2的最大整数计算二重积分 （分数：1.00）_正确答案：(解 1 *解 2 记 D1=(x，y)x 2+y21，x0，y0)D2=(x，y)1x 2+y2*，x0，y0则有1+x2+y2=1，(x，y)D 11+x2+y2=2，(x，y)D 2于是*)解析：本题主要考查二重积分在极坐标下的计算设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分 （分数：10.00）(1).证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：1.00）_正确答案：(证 如图，设 C是半平面 x0 内的任一分段光滑简单闭曲线，在 C上任意取定两点 M，N，作围绕原点的
31、闭曲线*，同时得到另一围绕原点的闭曲线* * 根据题设可知 * 根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得 * *)解析：(2).求函数 （分数：1.00）_正确答案：(解 设*，P，Q 在单连通区域 x0 内具有一阶连续偏导数曲线积分*在该区域内与路径无关，故当 x0 时，总有*比较、两式的右端，得*由得*=-y 2+c，将*代入得 2y2-4cy2=2y5，所以 c=0，从而*=-y 2)解析：本题主要考查第型线积分的计算及线积分与路径无关的条件(3).设区域 D=(x，y)x 2+y21，x0)，计算二重积分（分数：1.00）_正确答案：(解 1 *所以 I=I1+I1=*解 2 I1同上由
32、于 D关于 x轴对称，且函数*是 y的奇函数，所以*故 I=I1+I1=*)解析：本题主要考查二重积分的计算(4).设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t-2f(x，y)证明：对 D内的任意分段光滑的有向简单闭线 L，都有（分数：1.00）_正确答案：(由于本题要证明平面闭曲线上第二型线积分*，因此，应考虑格林公式证 由格林公式知，对 D内的任意有向简单闭曲线 L，*的充分必要条件是：对任意(x，y)D，有*由于对任意的(x，y)D 及 t0 都有f(tx，ty)=t -2f(x，y)两边对 t求导，得*令 t=1，得
33、*即 *所以 *)解析：本题主要考查格林公式和多元函数微分法(5).计算曲面积分其中为曲面 z=1-x2- （分数：1.00）_正确答案：(本题是一个非封闭曲面上第二型面积分的计算问题，显然直接法不方便，应补面用高斯公式解 补 xOy面上的平面*，其法线方向与 z轴负方向相同，与 S1围成的区域记为 ，则*(先二后一)解析：本题主要考查计算第二型面积分中一种常用的方法：补面用高斯公式本题中出现的三重积分*用直角坐标下先二后一的方法计算比较方便(6).计算曲线积分 （分数：1.00）_正确答案：(解法 1 *解法 2 取 L1为 x轴上从点(，0)到点(0，0)的一段，D 是由 L与 L1围成的区域*)解析：本题主要考查计算平面二型线积分的方法(7).计算曲面积分 （分数：1.00）_正确答案：(解 设 1为单位球面 x2+y2+z2=1的外侧，则*根据高斯公式*所以 I=4)解析：本题主要考查高斯公式及第二型面积分的计算(8).设 P为椭球面 S：x 2+y2+z2-yz=1上的动点，若 S在点 P处的切平面与
