1、考研数学一（一元函数积分学、中值定理、向量代数和空间解析几何）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2011 年) 设 则 I，J ，K 的大小关系是( )（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI2 (2012 年) 设 则有( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I33 (2014 年) 若函数则a1cosx+b1sinx=( )（A）2sinx（B） 2cosx（C） 2sinx（D）2cosx4 (2010 年) 设 m，n 为正整数，则反常积分 的收敛性
2、( )（A）仅与 m 取值有关（B）仅与 n 取值有关（C）与 m，n 取值都有关（D）与 m，n 取值都无关5 (2016 年) 若反常积分 收敛，则( )（A）a1 且 b1（B） a1 且 b1（C） a1 且 a+b1（D）a1 且 a+b16 (2007 年) 如图，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 则下列结论正确的是( ) 7 (2009 年) 设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形如图所示，则函数的图形为( ) 8 (2017 年) 甲、乙两人赛
3、跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线 v=v1(t)(单位：ms)，虚线表示乙的速度 v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为 10、20、3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0(单位：s) ，则( ) （A）t 0=10（B） 15020（C） t0=25（D）t 025二、填空题9 (2001 年) 求10 (2004 年) 已知 f(ex)=xe-x，且 f(1)=0，则 f(x)=_。11 (2014 年)设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x 一 1)，x0，2，则 f(7)=_。12 (2000 年)13 (2007 年
4、)14 (2010 年)15 (2012 年)16 (2015 年)17 (2002 年)18 (2013 年)19 (2011 年) 曲线 的弧长 s=_ 。20 (2006 年)点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (2010 年)(I) 比较 的大小，说明理由； () 记 求极限22 (2005 年) 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1 与 l2分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)。设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 23
5、 (2013 年) 计算 其中24 (2008 年) 设 f(x)是连续函数。 (I)利用定义证明函数 可导，且F(x)=f(x)； ()当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数也是以 2 为周期的周期函数。25 (2003 年) 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D。 (I)求 D 的面积 A； ()求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V。 26 (2003 年)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k
6、0) 。汽锤第一次击打将桩打进地下 am。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 r(0r1)。问(I)汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?()若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注： m 表示长度单位米。)27 (1998 年) 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数。 (I)试证存在 x0(0，1)，使得在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积等于在区间 x0，1 上以 y=f(x)为曲边的梯形面积； () 又设 f(x)在区间 (0，1)内可导，且 证明(I)中的x0 是唯一的。28 (2000 年) 设函数 f(x)在
7、 0，上连续，且 试证：在(0 ，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=0。29 (2007 年) 设函数 f(x)， g(x)在a，b 上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b) ，证明：存在 1(a，b)，使得 f“()=g“()。30 (2017 年) 设函数 f(x)在区间 0，1上具有二阶导数，且 f(1)0，证明： (I)方程 f(x)=0 在区间(0，1)内至少存在一个实根； (11)方程 f(x)f(x)+f(x)2=0 在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。31 (2005 年)已知函数 f(x)在
8、0，1上连续，在(0， 1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1。证明：(I)存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1。32 (2009 年)(I) 证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)； ()证明：若函数 f(x)在 x=0处连续，在(0，)( 0)内可导，且 则 f+(0)存在，且 f+(0)=A。33 (2013 年)设奇函数 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：(I)存在 (0，1)，使得 f
9、()=1；()存在 (一 1，1)，使得 f“()+f()=1。34 (2001 年) 设 y=f(x)在(一 1，1)内具有二阶连续导数且 f“(x)0，试证： (I) 对于(一1，1)内的任意 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x成立； 35 (1998 年) 求直线 L： 在平面 ：xy+2z-1=0 上的投影直线L0 的方程，并求 L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程。36 (2009 年) 椭球面 S1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S2 是由过点(4，0)且与椭圆 相切的直线绕 x 轴旋转而成。 (I)求 S1 及 S2 的方程； ()求
10、 S1 与 S2 之间的立体体积。考研数学一（一元函数积分学、中值定理、向量代数和空间解析几何）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 时， 因此 lnsinxlncosxlncotx ， 故选 B。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由于当 x(，2)时，sinx0，可知 也即 I2 一I10，因此 I1I 2。 又由于 对作变量替换 t=x 一 得 由于当 x(，2)时 sinx0，e x2e(x+)20，可知 也即 I3 一I10，因此 I3I 1。 综上所述有 I2I
11、1I 3，故选 D。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由于(x 一 acosxbsinx)2=x2+a2cosx2x+bsin2x 一 2axcosx 一2bxsinx+2abcosxsinx，且 相当于求函数 a2+b2 一 4b 的最小值点，而 a2+b2 一 4b=a2+(b2)2 一 4，易知当a=0，b=2 时取得最小值，所以应该选 A。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 x=0 和 x=1 可能是被积函数 的瑕点，所以将原积分拆成 考虑点 x=0，注意到 因为 m，n 是正整数，所以 恒成立，故收敛，于是由比较判别法的极限形式可
12、知， 也收敛。考虑点 x=1，取函数 其中 0而 收敛，所以由比较判别法的极限形式可知， 也收敛。 综上所述，的收敛性与 m，n 的取值都无关。故选 D。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 x=0 是 的瑕点，当 x0 时， 当 x时 原反常积分收敛，所以 a1，a+b1。故选 C。【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义可知 F(2)为半径是 1 的半圆面积，即F(3)是两个半圆面积之差，即 又由 f(x)的图形可知，f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数，即 因此应选 C。【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 D【
13、试题解析】 观察被积函数 f(x)的图像可知： 在区间一 1，3上，f(x) 只有两个跳跃间断点，所以 f(x)可积，则 连续，据此可排除选项 B。 注意到在区间一 1，0) 上，f(x)=1，故当一 1 据此可排除选项 A、C。 综上所述，选 D。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 从 0 到 t0 时刻，甲、乙的位移分别为 要使乙追上甲，则需 由定积分的几何意义可知 则 t0=25。故选 C。【知识模块】 一元函数积分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 令 ex=t，则 x=lnt，于是有 积分
14、得 利用初始条件 f(1)=0，得 C=0，故所求函数为【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 1【试题解析】 当 x0，2时， 因为 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，可得 C=0，即 f(x)=x2 一 2x。又 f(x)是周期为 4 的奇函数，故f(7)=f(一 1)=一 f(1)=1。【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 方法一：用换元积分法。 设 x 一 1=sint，则 由于在区间 函数 cost非负，则 方法二：曲线是以点(1，0)为圆心，以 1 为半径的上半圆周，它与直线 x=1 和 y=0 所围图形的面积为圆面积的 故答案是【知识模块】 一元
15、函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 一 4【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 令 t=x 一 1，得其中【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 选取 x 为参数，则弧微元 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 代入点 P(x0，y 0，z 0)到平面 Ax+By+
16、Cz+D=0 的距离公式 【知识模块】 向量代数和空间解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 (I)令 f(t)=ln(1+t)一 t。 当 0t1 时， 故当 0t1 时，f(t)f(0)=0。即当 0t1 时，0ln(1+t)t1 ，从而 ln(1+t)ntn(n=1，2，)。 又由|lnt|0 得 ()由(I)知 因为 所以 由夹逼准则得 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由题设图形知， f(0)=0，f(0)=2，f(3)=2，f(3)= 一 2，f“(3)=0 。 由分部积分，知 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 方法
17、一：使用分部积分法和换元积分法 其中两次用分部积分法。 方法二：这是一个二重积分，先还原出二重积分的积分区域： 其中 D=(x，y)|0xy1 ，加负号是因为第一步积分中的积分上限 x 小于积分下限 1。 对该二重积分交换积分次序可得 以下同方法一。【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 ()方法一：根据题设，有 当f(x)是以 2 为周期的周期函数时，f(x+2)=f(x)。从而 G(x+2)=G(x)。因而 G(x+2)-G(x)=C。取 x=0 得， C=G(0+2)-G(0)=0 故 G(x+2)一 G(x)=0， 即是以 2 为周期的周期函数。 方法二：根据题设，有 对于作变
18、量替换 t=u+2，并注意到 f(u+2)=f(u)，则有 因而于是 即是以 2 为周期的周期函数。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 (I)设切点的横坐标为 x0，则曲线 y=lnx 在点(x 0，lnx 0)处的切线方程是 y=lnx0+ 由该切线过原点知 lnx0 一 1=0，从而 x0=e。该切线的方程为 平面图形 D 的面积 ()切线与 x 轴及直线 x=e 围成的三角形绕 x=e 旋转所得的圆锥体积为曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 所求旋转体的体积为 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 (I)设
19、第 n 次击打时，汽锤所做的功为 Wn，桩被打进地下 h 米。根据题意可知，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力大小为 kx，所以 则解得即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下 米。 ()根据题意可知 Wn+1=rWn=rnW1，则汽锤总共做的功为 令 解得 即若汽锤击打次数不限，至多能将桩打进地下 米。【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 (I)要证存在 x0(0，1)，使 令然后证明存在 x0(0， 1)，使 (x0)=0。可以对 (x)的原函数 (x)= 使用罗尔定理： (0)=0 ， 又由 f(x)在0，1连续 (x)在0 ，1连续，故 (x)在0，1上连续，在 (0
20、，1)内可导。根据罗尔定理，存在 x0(0，1)，使 (x0)=(x0)=0。 ( )由 (x)=xf(x)+f(x)+f(x)=xf(x)+2f(x)0，知 (x)在(0 ，1)内单调增，故(I)中的 x0 是唯一的。【知识模块】 中值定理28 【正确答案】 方法一：令 有 F(0)=0，由题设有F()=0。 又由题设 用分部积分，有 由 可知，必存在一个 (0，)，使得 F()sin=0 成立，否则，在(0 ，) 内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，这与 矛盾。 因为 (0，)，sin0，所以存在(0， )，使得 F()=0。再在区间 0， 与， 上对 F(x)用罗尔定理，推知存在1(0
21、， )， 2(，)使 F(1)=0，F( 2)=0，即 f(1)=0，f( 2)=0。 方法二：令可知 F(0)=F()=0，则由罗尔定理可得：存在 1(0，)，使 f(1)一 0。 若在区间(0，)内 f(x)仅有一个零点 1，则在区间(0 ， 1)与 (1，) 内 f(x)异号。不妨设在(0， 1)内 f(x)0，在( 1，)内 f(x)0。于是由 有 当 0x 1 时，cosx cos1， f(x)(cosxcos1)0；当 1x 时，cosx 1，仍有 F(x)(cosxcos1)0，得到：00。矛盾，此矛盾证明了 f(x)在(0 ，)仅有一个零点的假设不正确，故在(0 ，)内 f(x
22、)至少有两个不同的零点。【知识模块】 中值定理29 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(x)，由题设有 F(a)=F(b)=0。又 f(x)，g(x)在(a，b) 内具有相等的最大值，不妨设存在 x1x2，x 1，x 2(a，n)使得 若 x1=x2，令 c=x1，则 F(c)=0。 若 x12，因 F(x1)=f(x1)一 g(x1)0，F(x 2)=f(x2)一 g(x2)0，从而存在 cx1，x 2(a，b)，使 F(c)=0。 在区间a ，c，c，b 上分别利用罗尔定理知，存在1(a， c)， 2(c，b) ，使得 F( 1)=F(2)=0。 再对 F(x)在区间 1
23、， 2上应用罗尔定理，存在 (1， 2)c(a，b)，有 F“()=0，即 f“()=g“()。【知识模块】 中值定理30 【正确答案】 (I)由于 则由函数极限的局部保号性可知，存在一个 0，使得当 x(0，)时， 又由于 f(1)0，所以由零点定理可知，方程 f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实根。 ()令 F(x)=f(x)f(x)，则F(x)=f(x)f(x)+f(x)2。 又由(I) 可知：至少存在一点 x0(0，1)，使得 f(x0)=0。 由罗尔定理可知：至少存在一点 1(0，x 0)，使得 f(1)=0，从而 F(0)=F(1)=F(x0)=0。 再由罗尔定理可知：至少存在
24、一点 2(0， 1)和 3(1，x 0)，使得 F(2)=F(3)=0。 故方程 f(x)=f(x)f“(x)+f(x)2=0 在(0，x 0) (0，1)内至少存在两个不同的实根。【知识模块】 中值定理31 【正确答案】 (I)令 F(x)=f(x)一 1+x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一10，F(1)=10，于是由零点定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1 一。 ()在0 ，和，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同的点(0，)， (，1)，使得 于是【知识模块】 中值定理32 【正确答案】 (I)作辅助函数 易验证(x)满足 (a)=(
25、b)，(x) 在闭区间a ，b上连续，在开区间 (a，b)内可导，且 根据罗尔定理可得，在(a，b)内至少有一点 ，使 ()=0，即 所以 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)。 ()任取 x0(0，)，则函数 f(x)满足：在闭区间0，x 0上连续，开区间(0，x 0)内可导，从而由拉格朗日中值定理可得，存在 0(0，x 0) (0，)，使得 又由于 对(*)式两边取 x00 +时的极限可得 故f+(0)存在，且 f+(0)=A。【知识模块】 中值定理33 【正确答案】 (I)由于 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，由于 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，由拉格朗日中值定理，存在
26、(0，1)，使得 ()由于 f(x)为奇函数，则 f(x)为偶函数，由(I) 可知存在 (0，1)，使得 f()一1，且 f(一 )=1。 令 (x)=exf(x)一 1，由条件显然可知 (x)在 一 1，1上可导，且 (一 )=()=0，由罗尔定理可知，存在 (一 ，) (一 1，1)，使得 ()=0，即 f“()+f()=1。【知识模块】 中值定理34 【正确答案】 (I)因为 y=f(x)在(一 1，1) 内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零 x(一 1， 1)，存在 (x)E(0，1)，(x)x(一 1，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x(0 (
27、x)1)成立。 因为 f“(x)在(一 1，1)内连续且 f“(x)0，所以 f“(x)在(一 1，1)内不变号，不妨设 f“(x)0，则 f(x)在(一1，1)内严格单调且增加，故 (x)唯一。 ()方法一：由(I)知 f(x)=f(0)+xf(x)x(0(x)1) ，于是有 上式两边取极限，再根据导数定义，得 方法二：由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“()x2，(0，x)，再与(I)中的 f(x)=f(0)+xf(x)x(0 (x)1) ，比较，所以 xf(x)x=f(x)一 f(0)=f(0)x+ f“()x2，约去x，有 f(x)x=f(0)+ f“()x，凑成 由于
28、 所以【知识模块】 中值定理35 【正确答案】 方法一：先求 L 与的交点 N1。将 L： 代入平面的方程，得 (1+t)-t+2(1-t)-1=0 t=1故交点为 N1(2，1，0)；再过直线 L 上点M0(1，0，1)作平面的垂线 L： 即 并求 L与平面 的交点 N2： 交点为N1 与 N2 的连接线即为所求 L0： 方法二：求 L 在平面上的投影线的最简单的方法是过 L 作垂直于平面的平面 0，所求投影线就是平面与 0 的交线。平面 0 过直线 L 上的点(1，0，1)与不共线的向量l=(1，1，一 1)(直线 L 的方向向量)及 n=(1，一 1，2)(平面的法向量)平行，于是0 的方程是 投影线为L0： 下面求 L0 绕 y 轴旋转一周所成的旋转曲面 S 的方程。为此，将 L0 写成参数 y 的方程： 按参数式表示的旋转面方程得S 的参数方程为 消去 得 S 的方程为即 4x2 一 17y2+4z2+2y-1=0。【知识模块】 向量代数和空间解析几何36 【正确答案】 (I)S 1 的方程为 过点(4，0)与 相切的切线为 所以 S2 的方程为即 4y 2+4z2=x2 一 8x+16。 【知识模块】 向量代数和空间解析几何
