1、考研数学一（一元函数微分学）-试卷 1 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条3.设函数 f(x)=(e x -1)(e 2x -2)(e nx -n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)= ( )（分数：2.00）A.(-1) n-1 (n-1)!B.(-1) n (n-1)!C.(-1) n-1 n!D.(-1) n n!4.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=
2、1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x 1 ，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立的是 ( )（分数：2.00）A.f(x 2 )-f(x 1 )=(x 1 -x 2 )f“()，(a，b)B.f(x 1 )-f(x 2 )=(x 1 -x 2 )f“()， 在 x 1 ，x 2 之间C.f(x 1 )-f(x 2 )=(x 2 -x 1 )f“()，x 1 x 2D.f
3、(x 2 )-f(x 1 )=(x 2 -x 1 )f“()，x 1 x 27.在区间0，8内，对函数 （分数：2.00）A.不成立B.成立，并且 f“(2)=0C.成立，并且 f“(4)=0D.成立，并且 f“(8)=08.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(-，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则-x 0 必是-f(-x)的极大值点； (2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：2.00）A.2B.3C.4D.5二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.曲线 （分数：2.00）填空项
4、1:_10.=sin 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1)（分数：2.00）填空项 1:_11.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6ms，问在 2s 末扰动水面面积的增大率为 1m 2 s（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 f(x)=arcsinx， 为 f(x)在0，t上拉格朗日中值定理的中值点，0t1，求极限 （分数：2.00）_14.若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k) (x 0 )= (k) (x 0 )，k=0，1，2
5、，n-1又 xx 0 时， (n) (x) (n) (x)试证：当 xx 0 时，(x)(x)（分数：2.00）_设函数 f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且 f“(x)0试证：（分数：4.00）(1).若 x 0 (a，b)，则对于(a，b)内的任何 x，有 f(x 0 )f(x)-f“(x 0 )(x-x 0 )， 当且仅当 x=x 0 时等号成立；（分数：2.00）_(2).若 x 1 ，x 2 ，x n (a，b)，且 x i x i+1 (i=1，2，n-1)，则 其中常数 k i 0(i=1，2，n)且 （分数：2.00）_15.若 x-1，证明：当 0a1 时，有(1+x) q
6、 1+ax；当 a0 或 a1 时，有(1+x) a 1+ax（分数：2.00）_设 x(0，1)，证明下面不等式：（分数：4.00）(1).(1+x)in 2 (1+x)x 2 ；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_16.证明： （分数：2.00）_17.求使不等式 （分数：2.00）_18.设函数 f(x)在(-，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(-，+)内有界证明：f“(x)在(-，+)内有界（分数：2.00）_19.设 n 为自然数，试证： （分数：2.00）_已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)-f“(x) 2 0(xR)（分数：4.0
7、0）(1).证明：f(x 1 )f(x 2 ) （分数：2.00）_(2).若 f(0)=1，证明：f(x)e f“(0)x (xR)（分数：2.00）_20.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f“(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bc（分数：2.00）_21.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：2.00）_22.设 bae，证明：a b b a （分数：2.00）_23.证明：当 x0 时，不等式 （分数：2.00）_2
8、4.证明：当 （分数：2.00）_考研数学一（一元函数微分学）-试卷 1 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析：3.设函数 f(x)=(e x -1)(e 2x -2)(e nx -n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)= ( )（分数：2.00）A.(-1) n-1 (n-1)! B.(-1) n (n-1)!C.(-1) n-1 n!D.(-1) n n!解析：解析：
9、方法一 用导数定义 4.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在 (0，1)，使得xf(x)“ x= =0，即 f“()+f()=0，有 f“()= 5.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 f(x)=xe x ，f(0)=0，f“(x)=e x (1+x)，f“(0)=1，f (n) (x)=e x (n+x)，f (n)
10、 (0)=n，f (n+1) (x)=e x (n+1+x)，f (n+1) (x)=e x (n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)6.若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x 1 ，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立的是 ( )（分数：2.00）A.f(x 2 )-f(x 1 )=(x 1 -x 2 )f“()，(a，b)B.f(x 1 )-f(x 2 )=(x 1 -x 2 )f“()， 在 x 1 ，x 2 之间 C.f(x 1 )-f(x 2 )=(x 2 -x 1 )f“()，x 1 x 2D.f(x 2 )-f(x 1 )=(x 2 -x
11、 1 )f“()，x 1 x 2解析：解析：由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)错，(B)正确，又因未知 x 1 与 x 2 的大小关系，知(D)不正确7.在区间0，8内，对函数 （分数：2.00）A.不成立B.成立，并且 f“(2)=0C.成立，并且 f“(4)=0 D.成立，并且 f“(8)=0解析：解析：因为 f(x)在0，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件 令 f“(x)=8.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(-，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则-x 0 必是-f(-x)的极大
12、值点； (2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：2.00）A.2B.3 C.4D.5解析：解析：对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x 0 取到极大值，则-f(x)必在点 x 0 处取到极小值，故该结论错误； 对于(2)，对任意 xa，由拉格朗日中值定理知，存在(a，x)使 f(x)-f(a)=f“()(x-a)，则 由 f“(x)0 知，f“(x)在(a，+)内单调增加，因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f“(x)f“()，从而由上式得 F“(x)0，所以函数 F(x)在(a，+)内单调增加，该
13、结论正确； 对于(3)，因 f“(x 0 )=0，故所给定的方程为 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y+2x-1=0）解析：解析：过(0，1)点的切线，即求过 t=0 的切线方程.由于10.=sin 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6ms，问在 2s 末扰动水面面积的增大率为 1m 2 s（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：144）解析：解
14、析：设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r 2 (t)，故 s“(t)=2r(t)r“(t)，由题知 r“(t)=6，r(t)=6t，所以 s“(2)=2r(2).6=144(米 2 秒)三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设 f(x)=arcsinx， 为 f(x)在0，t上拉格朗日中值定理的中值点，0t1，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)=arcsinx 在0，t上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得 )解析：14.若函数 (
15、x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k) (x 0 )= (k) (x 0 )，k=0，1，2，n-1又 xx 0 时， (n) (x) (n) (x)试证：当 xx 0 时，(x)(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u (n-1) (x)= (n-1) (x)- (n-1) (x) 在x 0 ，x上用微分中值定理得 u (n-1) (x)-u (n-1) (x 0 )=u (n) ().(x-x 0 )，x 0 x 又由 u (n) ()0 可知 u (n-1) (x)-u (n-1) (x 0 )0， 且 u (n-1) (x 0 )=0，所以 u (n-1) (x)0，
16、即当 xx 0 时， (n-1) (x) (n-1) (x) 同理 u (n-2) (x)= (n-2) (x)- (n-2) (x)0 归纳有 u (n-3) (x)0，u“(x)0，u(x)0于是，当 xx 0 时，(x)(x)解析：设函数 f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且 f“(x)0试证：（分数：4.00）(1).若 x 0 (a，b)，则对于(a，b)内的任何 x，有 f(x 0 )f(x)-f“(x 0 )(x-x 0 )， 当且仅当 x=x 0 时等号成立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)在 x 0 点泰勒展开，即 f(x)=f(x 0 )+f“(x
17、0 )(x-x 0 )+ (x-x 0 ) 2 ， 在 x 0 与 x 之间 由已知 f“(x)0，x(a，b)得 )解析：(2).若 x 1 ，x 2 ，x n (a，b)，且 x i x i+1 (i=1，2，n-1)，则 其中常数 k i 0(i=1，2，n)且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(x 0 )f(x i )-f“(x 0 )(x i -x 0 )，i=1，2，n，当且仅当 x i =x 0 时等号成立 而 x 0 x 1 且 x 0 x n ，将上面各式分别乘以 k i (i=1，2，72)后再求和，有 )解析：15.若 x-1，证明：当 0a1 时，有(1+
18、x) q 1+ax；当 a0 或 a1 时，有(1+x) a 1+ax（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x) a 则有 f“(x)=a(1+x) a-1 ，f“(x)=a(a-1)(1+x) a-2 ， 由 f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+f“(0)x+ x 2 ，(0，1)，可知当 x-1，0a1 时，a(a-1)0，1+0故 )解析：设 x(0，1)，证明下面不等式：（分数：4.00）(1).(1+x)in 2 (1+x)x 2 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 2 -(1+x)ln 2 (1+x)，有 (0)=0，且 “(x
19、)=2x-In 2 (1+x)-2ln(1+x)，“(0)=0 当 x(0，1)时，“(x)= )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 由(1)得，当 x(0，1)时 f“(x)0，知 f(x)单调递减，从而 f(x)f(1)= 又因为 当 x(0，1)时，f“(x)0，知 f(x)单调递减，且 f(x)f(0 + )= ，所以 )解析：16.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(0)=1，只需证 )解析：17.求使不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知不等式等价于 故 g“(x)在0，1上严格单调递减，所以 g“(x)
20、g“(0)=0同理，g(x)在0，1上也严格单调递减，故 g(x)g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)-x 2 0，从而 f“(x)0(0x1)，因此 f(x)在(0，1上也严格单调递减 故使不等式对所有的自然数 n 都成立的最大的数 为 )解析：18.设函数 f(x)在(-，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(-，+)内有界证明：f“(x)在(-，+)内有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在正常数 M 0 ，M 2 ，使得对 x(-，+)，恒有 f(x)M 0 ，f“(x)M 2 由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f“(x)+ f“()， 其中 介于 x
21、 与 x+1 之间，整理得 f“(x)=f(x+1)-f(x)- f“()， 所以 f“(x)f(x+1)+f(x)+ )解析：19.设 n 为自然数，试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：右端不等式等价于证明 从而，当 x0 时，f“(x)单调增，且当 x+时，f“(x)趋于零，所以，当 x0 时，f“(x)0 进而知当 x0 时，f(x)单调减，且当 x+时，f(x)趋于零，于是，当 x0 时，f(x)0所以，对一切自然数 n，恒有 f(n)0，故有 从而右端不等式成立 类似地，引入辅助函数 )解析：已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)-f“(x) 2 0
22、(xR)（分数：4.00）(1).证明：f(x 1 )f(x 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 g(x)=Inf(x)，则 g“(x)= )解析：(2).若 f(0)=1，证明：f(x)e f“(0)x (xR)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f“(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bc（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 用拉格朗日中值定理 当 a=0 时，等号成立 当 a0
23、时，由于 f(x)在区间0，a及b，a+b上满足拉格朗日中值定理，所以，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b)， 1 2 ，使得f(a+b)-f(b)-f(a)-f(0)=af“( 2 )-af“( 1 ) 因为 f“(x)在(0，c)内单调减少，所以 f“( 2 )f“( 1 )，于是， f(a+b)-f(b)-f(a)-f(0)0， 即 f(a+b)f(a)+f(b) 方法二 用函数的单调性 将f(a+b)-f(b)-f(a)-f(0)中的 b 改写为 x，构造辅助函数 F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a)，x0，b， 显然 F(0)=0，又因为 f“(x)在(0，c)内单调减少
24、，所以 F“(x)=f“(a+x)-f“(x)0，于是有 F(b)F(0)=0，即 f(a+b)-f(b)-f(a)0，即 f(a+b)f(a)+f(b)解析：21.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=xsinx+2cosx+x，只需证明 F(x)在(0，)上单调递增 F“(x)=sinx+xcosx-2sinx+=+xcosx-sinx， 由此式很难确定 F“(x)在(0，)上的符号，为此有 F“(x)=-xsinx0，x(0，)， 即函数 F“(x)在(0，)上单调递减，又 F“()=0，所以 F
25、“(x)0，x(0，)，于是 F(b)F(a)，即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a)解析：22.设 bae，证明：a b b a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)= ，其中 lnxlne=1，所以，f“(x)0，即函数 f(x)单调递减所以，当 bae 时， )解析：23.证明：当 x0 时，不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 f(x)=1+x- 由题设条件很难确定 的符号，但是 )解析：24.证明：当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 ，而 cosx0，所以不等式成立 当 上式中，当 ，但是，2xcosx-2sinx+x 3 的符号无法直接确定，为此，令 g(x)=2xcosx-2sinx+x 3 ，则 g(0)=0，且 g“(x)=x 2 +2x(x-sinx)0，所以，当 x 时，g(x)=2xcosx-2sinx+x 3 0从而，当 x 时， )解析：
