1、考研数学一（一元函数微分学）-试卷 3 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)，f“(1)，f(1)一 f(0)或 f(0)f(1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)f(0)B.f“(1)f(1)f(0)f“(0)C.f(1)f(0)f(1)f“(0)D.f“(1)f(0)f(1)f“(0)3.设 f(x)= （分数：2.00）A.F(x)在 x=0 点不连续B.F(x)在 x
2、=0 点不可导C.F(x)在 x=0 点可导，F“(0)=f(0)D.F(x)在 x=0 点可导，但 F“(0)f(0)4.设函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当x0 时，有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)05.设 y=y(x)是二阶线性常系数微分方程 y“+py“+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解，则当 x0时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等
3、于 36.设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点7.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 (x)在 x=0 不连续D.可导且 (x)在 x=0 连续8.设函数 f(x)在 x=a
4、 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)10.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=aC.f(xx)在
5、x=1 处可导，且 f“(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab11.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导12.周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 213.设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f“(1)等于( )（分数：2.00）A.一 1B.01C.1D.0514.( ) （分数：2.00）A.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)B.ln(1
6、+lnx)一 ln(1+2x)C.ln(1+lnx)一 ln(1+2x)D.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)15.已知 y= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 y=lnlnlnx，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.已知 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 f(x)=3x 2 +Ax 3 (x0)，A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f(x)20(x0)（分数：2.00）填空项 1:_19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_20.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在区间0，2上的最小值为
7、1，最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_21.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_23.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.设函数 f(x)满足 f(1)=0，f“(1)=2求极限 （分数：2.00）_26.设函数 f(x)在 x 0 处具有二阶导数，且 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，证明当 f“(x 0 )0，f(x)在 x 0 处取得极小值（分数：2.00）_27.设 f(x)为一 a
8、，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= a a x 一 tf(t)dt (1)证明 F“(x)单调增加 (2)当 x 取何值时，F(x)取最小值 (3)当 F(x)的最小值为 f(a)一 a 2 一 1 时，求函数f(x)（分数：2.00）_28.证明函数恒等式 arctanx= （分数：2.00）_29.设 f(x)在0，b可导，f“(x)0(x(0，b)，t0，b，问 t 取何值时，图 23 中阴影部分的面积最大?最小? （分数：2.00）_30.设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0试证明至少存在一点 (a，b)，使 （分数：2.00）_31.设 f(x)在
9、x=0 处二阶可导，且 （分数：2.00）_考研数学一（一元函数微分学）-试卷 3 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)，f“(1)，f(1)一 f(0)或 f(0)f(1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)f(0)B.f“(1)f(1)f(0)f“(0) C.f(1)f(0)f(1)f“(0)D.f“(1)f(0)f(1)f“(0)解析：解析：由已知 f“(x)0，x0
10、，1，所以函数 f“(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得 f(1)一 f(0)=f“()，(0，1) 因此有 f“(0)f“()f“(1)， 即 f“(0)f(1)一 f(0)f“(1) 故选 B3.设 f(x)= （分数：2.00）A.F(x)在 x=0 点不连续B.F(x)在 x=0 点不可导 C.F(x)在 x=0 点可导，F“(0)=f(0)D.F(x)在 x=0 点可导，但 F“(0)f(0)解析：解析：不必求出 F(x)，利用已知结论判断设 f(x)在a，b连续，则 F(x)= 在a，b可导，且 F“(x)=f(x)(xa，b)，x 0 是a，b某定点 4.设函数
11、f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当x0 时，有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：由 f(x)=f(一 x)可知，f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即 f“(x)为奇函数 f“(x)为偶函数，因此当 x0 时，有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时，有 f“(x)0，f“(x)0故选 C5.设 y=y(x)是二阶线性常系数微分方程 y“+py“+qy=e 3x
12、满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解，则当 x0时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析：解析：用等价无穷小代换和洛必达法则6.设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：因为7.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在
13、x=0 处可导，且 f(0)=0(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 (x)在 x=0 不连续D.可导且 (x)在 x=0 连续 解析：解析：因为8.设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为9.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)解析：解析：由导数定义，
14、知 f“(0)= 0根据极限的保号性，存在 0，使对任意 xU (0)，有 10.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=aC.f(xx)在 x=1 处可导，且 f“(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab 解析：解析：因11.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：显然 f(0)=0，对于极限 为有界变量，故由无穷小量的运
15、算性质可知， =0。因此f(x)在 x=0 处连续，排除 A、B 又因为12.周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 2 解析：解析：因为 f(x)在(一，+)内可导，且 f(x)=f(x+4k)，其中 k 为整数，故有 f“(x)=f“(x+4k) 取 x=1，k=1，可得 f“(1)=f“(5) 又由13.设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f“(1)等于( )（分数：2.00）A.一 1B.01C.1D.05 解析：解析：由微
16、分的定义可知，函数 f(x)在 x 0 点处的增量y 的线性主部即为函数 f(x)在该点处的微分 14.( ) （分数：2.00）A.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x) B.ln(1+lnx)一 ln(1+2x)C.ln(1+lnx)一 ln(1+2x)D.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)解析：解析：二、填空题(总题数：9，分数：18.00)15.已知 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式两边取对数，则有16.已知 y=lnlnlnx，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.已知 （
17、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.设 f(x)=3x 2 +Ax 3 (x0)，A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f(x)20(x0)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：64）解析：解析：要使 f(x)20，只需 3x 5 +A20x 3 ，即 20x 3 3x 5 a(x0) 设 g(x)=20x 3 一 3x 5 ，则 A 至少是 g(x)在(0，+)内的最大值 由于 g“(x)=60x 2 一 15x 4 =15x 2 (4 一 x 2 ) 19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
18、解析：由题意可知，20.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在区间0，2上的最小值为 1，最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：27）解析：解析：令 (x)=4x 3 一 18x 2 +27，则 21.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用洛必达法则，则有22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：运用洛必达法则，23.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sinx 2）解析：解析：三、解答题(总题数：8，分
19、数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.设函数 f(x)满足 f(1)=0，f“(1)=2求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设函数 f(x)在 x 0 处具有二阶导数，且 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，证明当 f“(x 0 )0，f(x)在 x 0 处取得极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 f“(x 0 )0，且由导数定义可知 )解析：27.设 f(x)为一 a，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= a a x 一 tf(t)dt (1)证明 F“(x)单调增
20、加 (2)当 x 取何值时，F(x)取最小值 (3)当 F(x)的最小值为 f(a)一 a 2 一 1 时，求函数f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) F(x)= a a x 一 tf(t)dt= a x (x 一 t)f(t)dt+ x a (t 一 x)f(t)dt =x a x f(t)dt a x tf(t)dt+ x a tf(t)dt 一 x a f(t)dt =x a x f(t)dt 一 a x tf(t)dt a x tf(t)dz+x a x f(t)dt， F“(x)= a x f(t)dt+xf(x)一 xf(x)一 xf(x)+ a x f(t)d
21、t+xf(x) = a x f(t)dt x a f(t)dt 所以 F“(x)=2f(x)0，因此 F“(x)为单调增加的函数 (2)因为 F“(0)= a 0 f(x)dx 一 0 a f(x)dx 且 f(x)为偶函数，所以 F“(0)=0，又因为 F“(0)0，所以 x=0为 F(x)的唯一极小值点，也为最小值点 (3)由 2 0 a tf(t)dt=f(a)一 a 2 一 1，两边求导得 2af(a)=f“(a)一 2a 于是 f“(x)一 2xf(x)=2x， 解得 f(x)=f2xe 2xdx dx+Ce 2xdx = 一 1， 在2 0 a tf(t)dt=f(a)一 a 2
22、一 1 中令 a=0，得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)= )解析：28.证明函数恒等式 arctanx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)在 x(一 1，1)时成立，只需证明： f(x)，g(x)在(一 1，1)内可导，且当 x(一 1，1)时，f“(x)=g“(x)； 存在 x 0 (一 1，1)，使得 f(x 0 )=g(x 0 ) 由初等函数的性质知，f(x)与 g(x)都在(一 1，1)内可导，且容易计算得到 )解析：29.设 f(x)在0，b可导，f“(x)0(x(0，b)，t0，b，问 t 取
23、何值时，图 23 中阴影部分的面积最大?最小? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由图中所围图形，则 S(t)= 0 t f(t)一 f(x)dx+ t b f(x)一 f(t)dx =tf(t)一 0 t f(x)dx+ t b f(x)dx+(t 一 b)f(t)， 因 f(x)在0，b可导，则 S“(t)=tf“(t)+f(t)一f(t)一 f(t)+f(t)+(tb)f“(t) S(t)在0，b连续，也一足有最大值，且只能在 t=0 或 t=b 处取得 S(0)= 0 b f(x)dx 一 bf(0)，S(b)=bf(b)一 0 b f(x)dx， 但 S(b)一 S(0)= )解析：30.设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0试证明至少存在一点 (a，b)，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=x 0 处f(x)最大，则有 f“(x 0 )=0 由 f(a)=0，f(b)=0 有 )解析：31.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
