1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 20 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 处必可导且 f(x 0 )=a。B.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导。C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续。D.以上结论都不对。二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.设函数 f(x)由方程 y 一 x=e x(1y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_4.已知 f(x 0 )=一 1，则 （分数
2、：2.00）填空项 1:_5.已知 y= （分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 f(x)= ，则 y=f(x)的反函数 x=f -1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_9.设 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)=1，f(a)=3。求数列极限 （分数：2.00）_10.求下列函数在指定点处的导数：()y=f(x)=arcsin x ，求 f(0)；()设 f(x)=(a+bx)一(a 一 bx)，其中 (x)
3、在 x=a 处可导，求 f(0)；()设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)= （分数：2.00）_11.设 f(x)= （分数：2.00）_12.利用导数的定义求函数 f(x)=lnx 的导函数。（分数：2.00）_13.求函数 y= （分数：2.00）_14.设 y=x+lnx，求 （分数：2.00）_15.求由方程 siny 2 =cos （分数：2.00）_16.设函数 y=y(x)由 y 一 xe y =1 所确定，试求 （分数：2.00）_17.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 （分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_1
4、9.设 f(x)=sin 6 x+cos 6 x，求 f (n) (x)。（分数：2.00）_20.求函数 y=ln(2x x 一 x 一 1)的 n 阶导数。（分数：2.00）_21.设 y= （分数：2.00）_22.求函数 f(x)=x 2 2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f (n) (0)(n3)。（分数：2.00）_23.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，其中 a0 且 f(a)=0证明：在(a，b)内存在一点 ，使f()= （分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，在(
5、a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0。证明：存在一点 (a，b)，使得 f()+f()=0。（分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)= ，证明：存在 (0， （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b(a0)上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：存在点 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 20 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00
6、）_解析：2.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 处必可导且 f(x 0 )=a。B.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导。C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续。D.以上结论都不对。 解析：解析：本题需将 f(x)在 x=x 0 处的左右导数 f - (x 0 )，f + (x 0 )与在 x=x 0 处的左右极限 区分开。 =a，但不能保证 f(x)在 x 0 处可导，以及在 x=x 0 处连续和极限存在。 例如 f(x)= ，显然，x0 时，f(x)=1，因此 但是 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.设函数 f(x)由方程 y 一 x=e x(1y)
7、确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：将 x=0 代入方程 y 一 x=e x(1y) 可得 y=1，可知 f(0)=1。 在方程两边同时求导可得 y一1=e x(1y) (1 一 y 一 xy)， 将 x=0，y=1 代入上式可得 f(0)=1。 从而由导数的定义可知 4.已知 f(x 0 )=一 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据导数的定义式，有 f(x 0 )= 由于 5.已知 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设函数 f(x)= ，则 y=f(x
8、)的反函数 x=f -1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，f(x)= ，由反函数求导法则，7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为*）解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：9.设 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)=1，f(a)=3。求数列极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对所求极限的表达式进行恒等变形，即 由等价无穷小代换及 f(a)=1，并结合导数的定义，得 )解析：10.求下列函数
9、在指定点处的导数：()y=f(x)=arcsin x ，求 f(0)；()设 f(x)=(a+bx)一(a 一 bx)，其中 (x)在 x=a 处可导，求 f(0)；()设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由导数的定义 ()由 f(x)=(a+bx)一 (a 一 bx)，可知 f(0)=(a)一 (a)=0。 由于题中并未说明 (z)在 x=0 处是否可导，所以利用导数定义。 ()由于题中未说明 f(x)在 x=3 处是否可导，所以须用导数定义进行求解。已知 f(3+x)=3f(x)，所以 )解析：11.设 f(x)= （分数：2.
10、00）_正确答案：(正确答案：()由于 g(x)有二阶连续导数，故当 x0 时，f(x)也具有二阶连续导数，此时一阶导数 f(x)连续；当 x=0 时，需用导数的定义计算 f(0)。 当 x0 时，f(x)= ； 当 x=0 时，由导数定义及洛必达法则，有 ()由()的结论知，x=0 是 f(x)的分段点，且有 )解析：12.利用导数的定义求函数 f(x)=lnx 的导函数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：13.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数求导的链式法则有 )解析：14.设 y=x+lnx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
11、案： )解析：15.求由方程 siny 2 =cos （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数的求导法则在等式 siny 2 =cos 两边对 x 求导， )解析：16.设函数 y=y(x)由 y 一 xe y =1 所确定，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 一 xe y =1 知，x=0 时，y=1，且在方程两端同时对 x 求导，有 y一 e y xye y =0 将 x=0，y=1 代入上式得 y(0)=e。 在一阶导函数等式两端继续对 x 求导得 y“一 ye y ye y x(ye y )=0， 将 x=0，y=1，y(0)=e 代入上式得，y“(0)
12、=2e 2 。)解析：17.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 一 2te -x =0 得 e x dx=2tdt，对等式两边求积分得 e x =t 2 +C，再由x t=C =0 得 C=1，因此 e x =t 2 +1，即 x=ln(1+t 2 )，从而 )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)=sin 6 x+cos 6 x，求 f (n) (x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)=6sin 5 xcosx 一 6cos 5 xsin
13、x=6sinxcosx(sin 2 x 一 cos 2 x) =一 3sin2xcos2x=一 sin4x， f“(x)=一 。 利用 sinx 的高阶导数公式即得 )解析：20.求函数 y=ln(2x x 一 x 一 1)的 n 阶导数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 y=ln(2x+1)(x 一 1)=ln(2x+1)+ln(x 一 1)， )解析：21.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数进行整理得 y=(x+3)+ ，令 所以 13x+12=a(x+1)+B(x 一 4)， 令 x=4 得 5A=64，即 A= ；令 x=一 1 得一 5B=一 1
14、，即 B= 。将 A，B 代入可得 )解析：22.求函数 f(x)=x 2 2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f (n) (0)(n3)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由莱布尼茨公式(uv) (n) =u (n) v (0) +C n 1 u (n1) v+C n 2 u (n2) v“+u (0) v (n) ，及ln(1+x) (k) = (后为正整数)，有 于是 f (n) (0)=(一 1) n3 n(n 一 1)(n 一 3)!= )解析：23.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln1+f(x)=0。
15、 已知 f(x)在 x=0 处 n 阶可导，故 f(x)在 x=0 处连续，从而 =f(0)=0。 利用等价无穷小代换，当 x0 时，ln1+f(x)f(x)，可得 )解析：24.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，其中 a0 且 f(a)=0证明：在(a，b)内存在一点 ，使f()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作辅助函数 F(x)=(b 一 x) a f(x)，由题设 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，已知 f(a)=0，则 F(a)=(ba) a f(a)=0，F(b)=(bb) a f(b)=0。 由上述可知 F(x)在a，b上满足罗尔定理。于是，存
16、在一点 (a，b)，使 F()=0，即 一 a(b) a1 f()+(b) a f()=0， 故 f()= )解析：25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0。证明：存在一点 (a，b)，使得 f()+f()=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=e x f(x)，则 F(x)=e x f(x)+f(x)e x ，显然 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知，必存在一点 (a，b)，使 F()=0， 即 e x f()+f()=0， 但 e x 0，则f()+f()=0故原题得证。)解析：26.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内
17、可导，且 f(0)=0，f(1)= ，证明：存在 (0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作辅助函数 F(x)=f(x)一 x 3 ，由题设可知 F(0)=0，F(1)=0。F(x)满足拉格朗日中值定理，于是在0， ，l上分别应用拉格朗日中值定理。 )解析：27.设 f(x)在a，b(a0)上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：存在点 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作辅助函数 F(x)=x n f(x)，则 F(x)=nx n1 f(x)+x n f(x)，且 F(x)在a，b上应用拉格朗日中值定理，则存在一点 (a，b)，使得 =n n1 f()+ n f()。 另作辅助函数 G(x)=x n ，同理在a，b上应用拉格朗日中值定理，则存在一点 (a，b)，使得 =n n1 。 由以上两式，可得 n n1 =n n1 f()+ n f()，即 )解析：
