1、考研数学一（函数、极限、连续）-试卷 2及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)=xsinx ( )（分数：2.00）A.在(-，+)内无界B.在(-，+)内有界C.当 x时为无穷大D.当 x时极限存在3.极限 （分数：2.00）A.a1B.a1C.a0D.与 a无关4.设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小B.设当 xx
2、0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大5.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数为 ( )（分数：2.00）A.f(x)sinxB.f(x)+sinxC.f 2 (x)D.f(x)6.设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( ) （分数：2.00
3、）A.B.C.D.7.设当 x0 时，e tanx -e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.若 f(x)= 在(-，+)上连续，且 （分数：2.00）A.0，k0B.0，k0C.0，k0D.0，k09.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点10.设 f(x)= （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个
4、跳跃间断点B.1个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.2个可去间断点D.2个无穷间断点11.若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是 ( )（分数：2.00）A.第一类间断点B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.若当 x0 时，有 （分数：2.00）填空项 1:_13.当 x0 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_14.当 x 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_15.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知数列 F n = （分数：2.00）填空项 1
5、:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.数列x n 通项 x n = （分数：2.00）_19.设 a 1 =2，a n+1 = （分数：2.00）_20.设 x 1 =1，x n+1 = （分数：2.00）_21.如果数列x n 收敛，y n 发散，那么x n y n 是否一定发散?如果x n 和(y n 都发散，那么x n y n 的敛散性又将如何?（分数：2.00）_22.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?（分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_已知数列x n 的通项
6、 （分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_(2).计算 （分数：2.00）_24.利用夹逼定理证明： （分数：2.00）_25.设 f(x)在 x=0处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f“(0)，f“(0)以及极限 （分数：2.00）_26.设 a0，x 1 0，x n+1 = （分数：2.00）_27.试讨论函数 g(x)= （分数：2.00）_28.求函数 F(x)= （分数：2.00）_29.设 f(x)= （分数：2.00）_30.设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= （分数：2.00）_31.设 f(x)= （分数：2.00）_32.设 f(x)= （
7、分数：2.00）_33.设 f(x；t)= (x-)(t-1)0，xt)，函数 f(x)由下列表达式确定， （分数：2.00）_34.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.00）_35.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k使极限 （分数：2.00）_36.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )-f(x 1 )+f(x 2 )，并且 f(x)在 x=0处连续证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续（分数：2.00）_考研
8、数学一（函数、极限、连续）-试卷 2答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)=xsinx ( )（分数：2.00）A.在(-，+)内无界 B.在(-，+)内有界C.当 x时为无穷大D.当 x时极限存在解析：解析：对于任意给定的正数 M，总存在点 ，使f(x n )=2n+ M，故 f(x)在(-，+)内无界(C)错，对于任意给定的正数 M，无论 x取多么大的正数，总有 x n =2nx(只要n 3.极限 （分数：2.00）A.a1B.a
9、1 C.a0D.与 a无关解析：解析：令4.设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小B.设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大 解析：解析：设 f(x)= ，当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除(A)设 x0 时，令 f
10、(x)=x 2 ，g(x)= 5.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数为 ( )（分数：2.00）A.f(x)sinxB.f(x)+sinx C.f 2 (x)D.f(x)解析：解析：方法一 若 f(x)+sinx在点 x 0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinx-sinx 在点 x 0 处也连续，与已知矛盾 方法二 排除法设 f(x)= 则 f(x)在点 x=0处间断，f(x)sinx0 在 x=0处连续若设 f(x)= 6.设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式
11、中不一定为无穷小的是 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量7.设当 x0 时，e tanx -e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：8.若 f(x)= 在(-，+)上连续，且 （分数：2.00）A.0，k0B.0，k0C.0，k0D.0，k0 解析：解析：分母不为零，故 0；又9.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x
12、)的第二类间断点D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析：由 f(x)的表达式可知 x=0，x=1 为其间断点10.设 f(x)= （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.2个可去间断点D.2个无穷间断点解析：解析：x=0 和 x=1为 f(x)的间断点，其余点连续11.若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是 ( )（分数：2.00）A.第一类间断点 B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定解析：解析：不妨设 f(x)单调增加，
13、且f(x)M，对任一点 x 0 (a，b)，当 xx 0 - 时，f(x)随着 x增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0 + 时，f(x)随着 x减小而减小且有下界，故 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.若当 x0 时，有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：当 x0 时，13.当 x0 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.当 x 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：当 x 时，15.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
14、案：正确答案：1）解析：解析：16.已知数列 F n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为三、解答题(总题数：21，分数：42.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.数列x n 通项 x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 a 1 =2，a n+1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，所以a n 有下界 下面再证明a n 单调递减 )解析：20.设 x 1 =1，x n+1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 即 x n+1 x n ，由数学归纳法可知对
15、一切 n，都有 x n+1 x n 又 x n+1 =1+ ，所以x n 单调增加且有上界，x n 必收敛记 两边取极限，得 a=1+ )解析：21.如果数列x n 收敛，y n 发散，那么x n y n 是否一定发散?如果x n 和(y n 都发散，那么x n y n 的敛散性又将如何?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在题设两种情况下，x n y n 的收敛性都不能确定现在先就x n 收敛，y n 发散的情况来分析利用 这个恒等式，就可得到下述结论：若x n 收敛且不收敛于零，y n 发散，则x n y n 必发散这是因为若x n y n 收敛，且又x n 收敛而极限不等于零，则从
16、上述恒等式及极限相除法则，可知y n 收敛，这与假设矛盾若 ，且y n 发散，则x n y n 可能收敛，也可能发散，如： x n = ，y n =n，则 x n y n =1，于是x n y n 收敛 x n = ，y n =(-1) n n，则 x n y n =(-1) n ，于是x n y n 发散 现在再就x n 和y n 都发散的情况来分析x n y n 的收敛性有下面的结论：若x n 和y n 都发散，且两者至少有一个是无穷大，则x n y n 必发散这是因为如果x n y n 收敛，而x n 为无穷大，从等式 )解析：22.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试
17、说明它们之间的关系?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=x，通常写成分段函数的形式 但也可以写成一个表达式 ，所以函数 (x)=x是初等函数而 )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：已知数列x n 的通项 （分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).计算 （分数：2.00）_正确答
18、案：(正确答案： )解析：24.利用夹逼定理证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)在 x=0处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f“(0)，f“(0)以及极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果 )解析：26.设 a0，x 1 0，x n+1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.试讨论函数 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：g(0)=(e x +) x=0 = )解析：28.求函数 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于函数 F(x)的分段点 x=0，因 故 x=0是函数 F(
19、x)的跳跃间断点 当x0 时， 不存在，故 x=1是函数 F(x)的振荡间断点 )解析：29.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：31.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 由此可见，f(x)在(-，-1，(-1，1)，1，+)内连续，故只需 f(x)在 x=-1，x=两点连续即可因为 )解析：32.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)存(-1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的
20、 f(0)无定义，故 x=0是间断点因为 所以 x=0为跳跃间断点. f(1)无定义，故 x=1是间断点.因为 )解析：33.设 f(x；t)= (x-)(t-1)0，xt)，函数 f(x)由下列表达式确定， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 显然 x=1为间断点，连续区间(-，1)(1，+) )解析：34.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考虑夹逼准则由 f(x)在a，b上连续，知 e f(x) 在a，b上非负连续，且0me f(x) M，其中 M，m 分别为 e f(x) 在a，b上
21、的最大值和最小值，于是 0m M，故 )解析：35.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k使极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因求“0 0 ”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数 u(x) v(x) 化为复合函数 e v(x)lnu(x) ，故 其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得： 根据题设的关系式 f(x)=2f(x+1)-k，得， 由上述结果 f(x)在 x=0处右极限 f(0 + )=1；而其左极限 由于极限 )解析：36.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )-f(x 1 )+f(x 2 )，并且 f(x)在 x=0处连续证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，令 x 2 =0，则 f(x 1 )=f(x 1 )+f(0)，可得f(0)=0，又 f(x)在 z=0处连续，则有 f(x)=f(0)=0，而 f(x 0 +x)-f(x 0 )=f(x 0 )+f(x)-f(x 0 )-f(x)，两边取极限得到 )解析：
