1、考研数学一-函数、极限、连续、一元函数微分学及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：20，分数：20.00)1.函数 （分数：1.00）A.B.C.D.2.当 x0 时，x-sinx 是 x3的_A低阶无穷小 B高阶无穷小C等价无穷小 D同阶但非等价无穷小（分数：1.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 =a，g(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.4.下列各式中正确的是_A BC D （分数：1.00）A.B.C.D.5.当 x0 +时，与 等价的无穷小量是_A BC D （分数：1.00）A.B.C.D.6.设 （分数：1.
2、00）A.B.C.D.7.设 在(-，+)内连续，但 （分数：1.00）A.B.C.D.8.设 ，g(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.9.设 f(x)在点 x0的某邻域内有定义，且 f(x)在 x0处间断，则在点 x0处必定间断的函数是_Af(x)sinx Bf(x)+sinxCf 2(x) D|f(x)|（分数：1.00）A.B.C.D.10.设 （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的_A充分必要条件 B充分条件但非必要条件C必要条件但非充分条件 D既非充分条件又非必要条件
3、（分数：1.00）A.B.C.D.12.设 f(x)有连续的导数 f(0)=0，f(0)0，F(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 f(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.14.函数 f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是_A3 B2C1 D0（分数：1.00）A.B.C.D.15.设 y=f(x)是满足微分方程 y“-y-esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_Ax 0的某个邻域内单调增加 Bx 0的某个邻域内单调减少Cx 0处取得极小值 Dx 0处取得极大值（分数：1.00）A.B.C.D.16.设函数 f(x)在 x=a 处可导，则
4、函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分条件是_Af(a)=0 且 f(a)=0 Bf(a)=0 且 f(a)0Cf(a)0 且 f(a)0 Df(a)0 且 f(a)0（分数：1.00）A.B.C.D.17.函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则_A当 f(x)=0 时，必有 f(x)=0B当 f(x)存在时，必有 f(x)=0C当 f(x)=0 时，必有 f(x)=0D当 f(x)存在时，必有 （分数：1.00）A.B.C.D.18.设常数 k0，函数 f(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.19.设函数 （分数：1.00）A.B.C.D.20.设两函数 f(x)及 g(
5、x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处_A必取极大值 B必取极小值C不可能取极值 D是否取极值不能确定（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：20，分数：20.00)21.I= （分数：1.00）填空项 1:_22. （分数：1.00）填空项 1:_23.设 f(x)= （分数：1.00）填空项 1:_24.若 （分数：1.00）填空项 1:_25.已知 f(x)=ex2，f(x)=1-x 且 (x)0，则 （分数：1.00）填空项 1:_26. （分数：1.00）填空项 1:_27.设函数 （分数：1.00）填空项 1:_28.设 （分
6、数：1.00）填空项 1:_29. （分数：1.00）填空项 1:_30.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_31. （分数：1.00）填空项 1:_32.设函数 f(x)= ，y=ff(x)，则 （分数：1.00）填空项 1:_33.设 y=y(x)由方程组 所确定，则 （分数：1.00）填空项 1:_34.设函数 y=y(x)由方程 2xy=x+y 所确定，则 dy|x=0= 1（分数：1.00）填空项 1:_35.设 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=_（分数：1.00）填空项 1:_36.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:
7、_37.设 f(x)在(0，+)上有定义，且 f(1)=a(0)，又对任意 x，y(0，+)，有 f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=_（分数：1.00）填空项 1:_38.函数 y=x+2cosx 在区间0， （分数：1.00）填空项 1:_39.设函数 y=f(x)由方程 e2x+y-cos(xy)=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_（分数：1.00）填空项 1:_40.设 y= （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：26，分数：60.00)41.设函数 f(x)在a，b上连续，x1，x2，xn，是a，b上一个点列，求 （分数：4.00
8、）_42.设 （分数：2.00）_43.求函数 f(x)= 的连续区间，并求极限 （分数：2.00）_44.设 f(x)在 0|x| 时有定义，其中 为正常数，且，求极 （分数：2.00）_45.求函数 f(x)= （分数：2.00）_46.求函数 （分数：2.00）_47.若 x0 时， （分数：2.00）_48.求极限 （分数：2.00）_设 f(x，y)= ，x0，y0，求（分数：4.00）(1).g(x)=*（分数：2.00）_(2).*（分数：2.00）_49.求极限 （分数：2.00）_50.求极限 （分数：2.00）_51.当 x0 时，1-coscos2xcos3x 与 axn
9、为等价无穷小，求 n 与 a 的值（分数：4.00）_52.试讨论函数 （分数：2.00）_53.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_54.设常数 a （分数：2.00）_55.试证 （分数：2.00）_56.证明不等式 （分数：2.00）_57.设 （分数：2.00）_58.试求函数 y=arctanx 在 x=0 处的各阶导数（分数：2.00）_59.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， =0证明：存在一点 (0，1)，使得（分数：2.00）_设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：（分数：4.00）(
10、1).在(a，b)内，g(x)0（分数：2.00）_(2).在(a，b)内至少存在一点 ，使*（分数：2.00）_60.设函数 f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数 f(x)在(a，b)内有界时，函数 f(x)在(a，b)内也有界（分数：2.00）_61.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：存在 ，(a，b)使得 e- f()+f()=1（分数：2.00）_62.设 f(x)在0，1上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=0， f(x)=-1证明：（分数：2.00）_63.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，
11、证明存在一点 (a，b)，使得（分数：2.00）_64.()设 f(x)在a，b上具有三阶连续导数，写出 f(x)在a，b上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式()设函数 f(x)在区间a，b上具有三阶连续导数，证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_考研数学一-函数、极限、连续、一元函数微分学答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：20，分数：20.00)1.函数 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 函数 f(x)在开区间(a，b)内是否有界，需验证 f(x)在(a，b)内是否连续，且 f(x)在区间端点处的极限是否存在显然 x0，1，2 时，f(
12、x)连续。而，可见 f(x)在(-1，0)内连续，且 和2.当 x0 时，x-sinx 是 x3的_A低阶无穷小 B高阶无穷小C等价无穷小 D同阶但非等价无穷小（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据无穷小阶数的定义，因3.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 =a，g(x)= （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 (令 u= )，又 g(0)=0，故当 a=0 时， =g(0)，即 g(x)在点 x=0 处连续；当 a0 时，4.下列各式中正确的是_A BC D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由重要极限结论 ，可立即排除 B、D对于 A、C 选项
13、，只要验算其中之一即可对于 C 选项，因5.当 x0 +时，与 等价的无穷小量是_A BC D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 方法一：当 x0 +时，有等价无穷小量，故用排除法可得，正确选项为 B方法二：因为 ，所以或6.设 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 x0 时，由等价无穷小代换及无穷小阶的定义可知，tanx，ln(1-2x)均为 x 的一阶无穷小；而 1-cosx，1-e -x2均为 x 的二阶无穷小，因此有，故有7.设 在(-，+)内连续，但 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意可知 f(x)在(-，+)内恒成立，因此 a+ebx
14、0由于 ebx0 且 ebx在(-，+)内连续，但 a+ebx0，所以 a0又因 f(x)=0，分子 x，故8.设 ，g(x)= （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由洛必达法则与等价无穷小代换得，其中用到下面的等价无穷小代换：x0 时，ln(1+sin2x2)sin 2x2x 4，tan(1-cosx) 2(1-cosx) 29.设 f(x)在点 x0的某邻域内有定义，且 f(x)在 x0处间断，则在点 x0处必定间断的函数是_Af(x)sinx Bf(x)+sinxCf 2(x) D|f(x)|（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 若 f(x)+sinx 在 x=x0
15、连续，则 f(x)=(f(x)+ sinx)-sinx 在 x=x0连续，与已知矛盾因此f(x)+sinx 在 x0处必间断选 B10.设 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 ，因此 ，即11.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的_A充分必要条件 B充分条件但非必要条件C必要条件但非充分条件 D既非充分条件又非必要条件（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 F(x)在 x=0 可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等，于是有，12.设 f(x)有连续的导数 f(0)=0，f(0)0，F(x)=
16、（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 ，所以 = ，于是当 k=3 时，13.设 f(x)= （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 已知 g(x)为有界函数，因此 =0，所以 f-(0)=0又14.函数 f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是_A3 B2C1 D0（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 对原函数进行恒等变形，即 f(x)=(x+1)(x-2)|x|x+1|x-1|从而可知，f(x)的不可导点为 x=-1，x=0，x=1因为连续函数与绝对值函数相乘时，即 f(x)=g(x)|x|时，只有 g(x)=0 的点，f(x)才可导，而在
17、g(x)0的点，f(x)不可导根据此结论，设 f(x)=g(x)|x|x+1|x-1|，由于 g(-1)=0，g(0)=-20，g(1)=-20，因此 f(x)在 x=-1 处可导，而在 x=0 和 x=1 处不可导，故应选 B15.设 y=f(x)是满足微分方程 y“-y-esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_Ax 0的某个邻域内单调增加 Bx 0的某个邻域内单调减少Cx 0处取得极小值 Dx 0处取得极大值（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由已知方程可得 f“(x)-f(x)=esinx，从而 f“(x0)-f(x0)= ，又 f(x0)=0，则有 f“(
18、x0)=16.设函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分条件是_Af(a)=0 且 f(a)=0 Bf(a)=0 且 f(a)0Cf(a)0 且 f(a)0 Df(a)0 且 f(a)0（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 f(x)在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处必连续当 f(a)0 时，则在 x=a 的某个邻域内有 f(x)0，此时|f(x)|=f(x)，|f(x)|在 x=a 处可导，故选项 C不正确同理，当 f(x)0 时，|f(x)|=-f(x)，|f(x)|在 x=a 处也可导，故排除 D当 f(a)=0 时，设
19、(x)=|f(x)|，则有17.函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则_A当 f(x)=0 时，必有 f(x)=0B当 f(x)存在时，必有 f(x)=0C当 f(x)=0 时，必有 f(x)=0D当 f(x)存在时，必有 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 根据已知条件，取 ，则 f(x)=0而 f(x)=2cosx2- ， f(x)不存在，排除 A；取 f(x)=sinx，则 f(x)=0，f(x)=cosx， f(x)=1，排除 C 和 D；对于选项 B，假设 f(x)=k0，设 k0，则存在 M0，当 xM 时，有 f(x) 由 ，得 ，与 f(x)在(0，+)内有
20、界矛盾因此 k=0，即18.设常数 k0，函数 f(x)= （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f(x)= ，令 f(x)=0，得 x=e当 xe 时，f(x)0，当 0xe 时，f(x)0，在(0，e)和(e，+)内 f(x)分别是单调递增和单调递减的，若在此两个区间有零点，至多各有一个，又 f(e)=k0， =-，19.设函数 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由函数左、右导数的定义， ，20.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处_A必取极大值 B必取极小值C不可能取极值 D是否取极值不能确
21、定（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 取 f(x)=(1-x2)3和 g(x)=二、填空题(总题数：20，分数：20.00)21.I= （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 分子、分母同除以(e x)3，其中根据洛必达法则易知22. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 根据洛必达法则， ，对任意 x(-，+)，有|sinx+cosx|23.设 f(x)= （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 对于不同的 x，先得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点当 x=0 时，f(x)=0；当 x0 时，所以 f
22、(x)的表达式为由于24.若 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-4）解析：解析 因为 ，且 =0，所以 =0，得 a=1，于是由等价无穷小代换25.已知 f(x)=ex2，f(x)=1-x 且 (x)0，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(-，0）解析：解析 由 f(x)= 及 f(x)=1-x，得=1-x，即 2(x)=ln(1-x)，已知 (x)0，所以 (x)= 于是可得方程组26. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 因为 0，arctanx 为有界函数，即|arctanx| ，无穷小量与有界量相乘，结果仍为无穷小量，所以27
23、.设函数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 由题设知则有 又因为 f(x)在(-，+)内连续，f(x)必在 x=c 处连续，所以 ，即 c2+1=28.设 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：c=6，k=3）解析：解析 由题设条件可知 因 x0 时，分母是无穷小，故分子必是无穷小因为 f(x)与 cxk为等价无穷小，因此 =0，由等价无穷小代换 ex-1x， ，得，再对分母 sinx 用等价无穷小代换，得 =3，即29. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 对原极限进行恒等变形，即 ，因为 x0 时，ln(1+x)x，e x-1x
24、，则有，所以30.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：e 2）解析：解析 将 进行恒等变形，即有 ，因此得，(*)当 x0 时，分母为无穷小，所以分子也为无穷小，即有 因此，当 x0 时，所以(*)可写为 ，因此 =2， =0于是31. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 32.设函数 f(x)= ，y=ff(x)，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由题意，有又 f(x)的图形如下图所示由于 1ee 2，故当 1xe 2时，f(x)= ，从而 0f(x)1，进而ff(x)=2ln -1=lnx-1，于是33.设 y=
25、y(x)由方程组 所确定，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由已知参数方程得，在 2y-ty2+et=5 两边对 t 求导，有，整理得 ，于是34.设函数 y=y(x)由方程 2xy=x+y 所确定，则 dy|x=0= 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(ln2-1)dx）解析：解析 方程两边同时对 x 求导，得 ，整理得到 把 x=0 代入原方程得 y=1故35.设 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1) n-1(n-1)!）解析：解析 根据导
26、数定义，有 f(0)=36.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：Acosb）解析：解析 补充定义 f(a)=b，则根据导数的极限定义，有于是37.设 f(x)在(0，+)上有定义，且 f(1)=a(0)，又对任意 x，y(0，+)，有 f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：alnx）解析：解析 在等式 f(xy)=f(x)+f(y)中，令 y=1，得 f(x)=f(x)+f(1)，则 f(1)=0，根据导数的定义，取 xy 为增量，有，因为 f(1)=0，所以 f(x)=38.函数 y=x+2cosx 在区间0， （分数
27、：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 令 y=1-2sinx=0，解得 x= ，把 x=0， 分别代入函数解析式中得，y| x=0=2，因此函数在区间0， 上的最大值为39.设函数 y=f(x)由方程 e2x+y-cos(xy)=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：x-2y+2=0）解析：解析 在方程 e2x+y-cos(xy)=e-1 两边对 x 求导，得e2x+y(2+y)+sin(xy)(y+xy)=0将 x=0，y=1 代入上式，得 y|x=0=-2，则法线斜率为 ，故所求法线方程为 y-1=
28、40.设 y= （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 对已知函数进行恒等变形，即，则 ，所以 y“|x=0=三、解答题(总题数：26，分数：60.00)41.设函数 f(x)在a，b上连续，x1，x2，xn，是a，b上一个点列，求 （分数：4.00）_正确答案：(由 f(x)在a，b上连续知，e f(x)在a，b上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为ef(x)在a，b上的最大值和最小值，于是 0m M，故，由 ，根据夹逼准则，得 )解析：42.设 （分数：2.00）_正确答案：(根据复合函数的定义(1)当 (x)1 时，若 x0，则 (x)=x+21，
29、即 故 x-1；若 x0，则 (x)=x 2-11，即 故 0x(2)当 (x)1 时，若 x0，则 (x)=x+21，即 故-1x0；若 x0，则 (x)=x 2-11，即 故 x 综上所述，有 )解析：43.求函数 f(x)= 的连续区间，并求极限 （分数：2.00）_正确答案：(由已知，由此可知，函数 f(x)在 x=-3 及 x=2 处无定义，因而点 x=-3，x=2 不是函数的连续点，所以 f(x)的连续区间为(-，-3)(-3，2)(2，+)根据初等函数的连续性定义得)解析：44.设 f(x)在 0|x| 时有定义，其中 为正常数，且，求极 （分数：2.00）_正确答案：(即有 ，
30、而，故 )解析：45.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(因为 在 处均为 0，在 x= 处无定义，故函数 f(x)在区间(0，2)内的间断点是 x=在 x= 处， ，故 x= 为 f(x)的可去间断点；同理，x= 也是 f(x)的可去间断点，即为第一类间断点在 处， =+，故 为 f(x)的第二类间断点；同理， )解析：46.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(由 =0，得 x=1，因此 f(x)的间断点为 x=0 以及 x=1 和 x=-1，故 x=0 是 f(x)的第二类间断点，且是无穷间断点)解析：47.若 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(方法一：因为
31、x0 时， ，因由等价无穷小的定义知， ，即 a=-4方法二： )解析：48.求极限 （分数：2.00）_正确答案：( )解析：设 f(x，y)= ，x0，y0，求（分数：4.00）(1).g(x)=*（分数：2.00）_正确答案：( )解析：(2).*（分数：2.00）_正确答案：(由()的结果， )解析：49.求极限 （分数：2.00）_正确答案：( )解析：50.求极限 （分数：2.00）_正确答案：( )解析：51.当 x0 时，1-coscos2xcos3x 与 axn为等价无穷小，求 n 与 a 的值（分数：4.00）_正确答案：(根据题意，当 n=2 时上述极限存在，故)解析：5
32、2.试讨论函数 （分数：2.00）_正确答案：(当 x0 时 f(x)=0，由导数的定义，当 x0 时，则有)解析：53.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(由参数方程求导法则可得令 ，得 t=1当 t=1 时，x= ，y=- ；当 t=-1 时，x=-1，y=1令 =0，得 t=0，此时 列表如下：由上表可知，函数 y(x)的极大值为 y(-1)=1，极小值为 ；曲线 y=y(x)的凹区间为( ，+)，凸区间为(-， )；曲线 y=y(x)的拐点为( ， )解析：54.设常数 a （分数：2.00）_正确答案：(证明 在区间(0，+)内，f(x)=ex-ax 2=0，其等价于 (x)= =0，即两者实根相同，因此，可讨论 (x)=0 在(0
