1、考研数学一-高等数学函数、极限、连续(二)及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：0，分数：0.00)二、填空题(总题数：6，分数：6.00)1. （分数：1.00）填空项 1:_2.设 f(x) （分数：1.00）填空项 1:_3. （分数：1.00）填空项 1:_4. （分数：1.00）填空项 1:_5. （分数：1.00）填空项 1:_6. （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：50，分数：50.00)7.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 （分数：1.00）_8. （分数：1.00）_9. （分数：1.00）_10.设函数 f(x)()
2、求 f(x)的表达式； () 证明函数 f(x)在 （分数：1.00）_11. （分数：1.00）_12.已知当 x0 时 x(a+be x2)sinx 是关于 x 的 5 阶无穷小，求常数 a，b 的值（分数：1.00）_13.设 f(x)是多项式，且 （分数：1.00）_14. （分数：1.00）_15. （分数：1.00）_16.设函数 f(x)在 x=0 点处有 f(0)=0，f(0)=-1，求 （分数：1.00）_17. （分数：1.00）_18.设 0，f(x)在-，上有定义，f(0)=1,且满足试判断极限 （分数：1.00）_19. （分数：1.00）_20.已知当 （分数：1.
3、00）_21. （分数：1.00）_22.确定常数 a，b 的值，使 （分数：1.00）_23. （分数：1.00）_24.设x表示不超过 x 的最大整数，试确定 a 的值，使 （分数：1.00）_25. （分数：1.00）_26. （分数：1.00）_27. （分数：1.00）_28.设 f(x)= (n 为自然数)，试确定常数 ， 的值，使 （分数：1.00）_29. （分数：1.00）_30.求 （分数：1.00）_31.确定常数 （分数：1.00）_32.设 f(x)= （分数：1.00）_33.确定常数。的值，使得 （分数：1.00）_34.设 （分数：1.00）_35.求下列极限：
4、(1) ； (2) （分数：1.00）_36.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_37.设 f(x)在 x=0 的某邻域内可导，且 f(0)=1， （分数：1.00）_38. （分数：1.00）_39.求 （分数：1.00）_40. （分数：1.00）_41.设函数 f(x)对于a，b上任意两点 x1与 x2恒有|f(x 1)-f(x2)|q|x 1-x2|(其中 q 为常数)，且 f(A) f(B) 0，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f()=0（分数：1.00）_42.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_43. （分数：1.00）_44.设 f(t)=
5、et，且 （分数：1.00）_45. （分数：1.00）_46.求 （分数：1.00）_47. （分数：1.00）_48. （分数：1.00）_49.已知 f(x)在a，b上连续，且对任意的 x1a，b，总存在 x2a，b，使得|f(x 2)|= （分数：1.00）_50. （分数：1.00）_51. （分数：1.00）_52.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_53. （分数：1.00）_54. （分数：1.00）_55. （分数：1.00）_56. （分数：1.00）_考研数学一-高等数学函数、极限、连续(二)答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总
6、题数：0，分数：0.00)二、填空题(总题数：6，分数：6.00)1. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 2.设 f(x) （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1 1）解析：解析 由于 ，又 f(x)+g(x)在(-，+)上连续，所以 f(x)+g(x)在点 x=0，x=1 处连续，故有3. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 4. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 评注 由定积分的定义可知，若 f(x)在a，b上可积，则5. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 6. （分数：
7、1.00）填空项 1:_ （正确答案：e -2）解析：解析 利用当 x0 时 tanxx 与 ln(1+x)x 可得三、解答题(总题数：50，分数：50.00)7.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 （分数：1.00）_正确答案：( )解析：8. （分数：1.00）_正确答案：( )解析：9. （分数：1.00）_正确答案：(所求极限的函数 f(x)中含有三角函数且属于“ ”未定式，一般可利用 来计算，该极限可以推广到 ，于是)解析：10.设函数 f(x)() 求 f(x)的表达式； () 证明函数 f(x)在 （分数：1.00）_正确答案：() () 则 F(x)在 上连续，根据闭区间上连
8、续函数的性质可得：F(x)在 上有界，从而 F(x)在 内有界，又当 时 f(x)=F(x)，所以 f(x)在 )解析：11. （分数：1.00）_正确答案：(这是“ ”型未定式，应先化简再用洛必达法则)解析：12.已知当 x0 时 x(a+be x2)sinx 是关于 x 的 5 阶无穷小，求常数 a，b 的值（分数：1.00）_正确答案：(解法一 解法二 )解析：13.设 f(x)是多项式，且 （分数：1.00）_正确答案：( 可设 f(x)-2x3=x2+bx+c，即 f(x)=2x3+x2+bx+c)解析：14. （分数：1.00）_正确答案：( )解析：15. （分数：1.00）_正
9、确答案：( )解析：16.设函数 f(x)在 x=0 点处有 f(0)=0，f(0)=-1，求 （分数：1.00）_正确答案：( )解析：已知函数在一点 a 可导，求关于该函数的某个极限，一般方法是：将所求极限化为函数在 a 点导数定义的形式17. （分数：1.00）_正确答案：( )解析：18.设 0，f(x)在-，上有定义，f(0)=1,且满足试判断极限 （分数：1.00）_正确答案：(解法一 由极限的四则运算法则与洛必达法则可得解法二 利用 并把 ln(1-x)的带皮亚诺余项的二阶麦克劳林公式 ln(1- 代入已知极限，得由此可知 )解析：19. （分数：1.00）_正确答案：( )解析
10、：20.已知当 （分数：1.00）_正确答案：(本题利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系及等价无穷小量代换，求函数的极限由题设可知)解析：21. （分数：1.00）_正确答案：()解析：22.确定常数 a，b 的值，使 （分数：1.00）_正确答案：()解析：23. （分数：1.00）_正确答案：( )解析：24.设x表示不超过 x 的最大整数，试确定 a 的值，使 （分数：1.00）_正确答案：(注意当 xO +时x=0，当 x0 -时x=-1，所以应分别求 x0 +，x0 -时的单侧极限由于)解析：25. （分数：1.00）_正确答案：(这是“-”型未定式，但无法通过通分化为 型，
11、此时令 ，则)解析：26. （分数：1.00）_正确答案：(f(x)在1，2上连续的充分必要条件是所以只需定义 f(1)=1-ln2， )解析：27. （分数：1.00）_正确答案：( )解析：28.设 f(x)= (n 为自然数)，试确定常数 ， 的值，使 （分数：1.00）_正确答案：( )解析：29. （分数：1.00）_正确答案：(由于故 f(x)的间断点为由于所以，点 x=0， )解析：30.求 （分数：1.00）_正确答案：()解析：31.确定常数 （分数：1.00）_正确答案：(利用极限与无穷小的关系可得： ，从而 1+=0所以由题设知：-8-2=0，所以 =-4，=3因此，原极
12、限= )解析：32.设 f(x)= （分数：1.00）_正确答案：()解析：33.确定常数。的值，使得 （分数：1.00）_正确答案：()解析：34.设 （分数：1.00）_正确答案：( )解析：35.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_正确答案：(1) 这是“0 0”型未定式，对于“0 0”和“ 0”型未定式应先利用 f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)来处理利用当 x0 +时 xx-1=exinx-1xlnx 以及(2) )解析：解析 本题用到了 tanxx(x0)，以及36.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_正确答案：(1) 注意到 x2-3x+2=
13、(x-1)(x-2)，当 x1 时 x1，因此 x-10，于是(2) 令 t=sin2(2 x)，则 ，且 x1 时 t0 +，于是)解析：37.设 f(x)在 x=0 的某邻域内可导，且 f(0)=1， （分数：1.00）_正确答案：(分析 本题涉及导数定义，应将 变换为 f(x)，又因，n对应于 x0，从而考虑相应的当 x0 时的 1 型未定式的极限解法一 解法二 所以 )解析：38. （分数：1.00）_正确答案：(这是“0”型的未定式，应化为“ ”或“ ”来处理)解析：39.求 （分数：1.00）_正确答案：( )解析：40. （分数：1.00）_正确答案：(是在点 x=0 处有定义的
14、初等函数，从而它在点 x=0 处连续，于是 )解析：41.设函数 f(x)对于a，b上任意两点 x1与 x2恒有|f(x 1)-f(x2)|q|x 1-x2|(其中 q 为常数)，且 f(A) f(B) 0，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f()=0（分数：1.00）_正确答案：(证 因为任意两点 x1与 x2恒有|f(x 1)-f(x2)|q|x 1-x2|，所以|f(x+x)-f(x)|q|x|由夹逼定理可得： ，从而 )解析：42.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_正确答案：(1) 求数列的极限不可以直接使用洛必达法则，但可先应用洛必达法则求出函数极限 ，而所求数
15、列的极限是这个函数极限中变量 x 取数列 的特例因为(2) 由于所以原极限 )解析：43. （分数：1.00）_正确答案：(由题设知 F(x)是以 x=0 为分界点的分段函数，且在(-，+)上除点 x=1，x=-k 外有定义由 F(x)的定义可知 F(x)在(-，+)上除 x=0，x=1，x=-k 外连续，故只需分别考察F(x)在点 x=0，x=1， 处是否连续由于 ，所以 x=0 是第一类间断点，且是跳跃的；由于 不存在，所以 x=1 是第二类间断点；由于 ，所以 是第一类间断点，且是可去的；由于 ，所以 )解析：44.设 f(t)=et，且 （分数：1.00）_正确答案：() () )解析
16、：45. （分数：1.00）_正确答案：( )解析：46.求 （分数：1.00）_正确答案：( )解析：47. （分数：1.00）_正确答案：( )解析：48. （分数：1.00）_正确答案：(首先由当 0x1 时 f(x)=xsinx可知其次当-1x0 时必有 0x+11，故当-1x0 时有f(x)=2f(x+1)-k=2(x+1)sin(x+1)-k，从而 f(0)=2-k，且 可见为使 f(x)在点 x=0 处连续，必须且只需 ，即)解析：49.已知 f(x)在a，b上连续，且对任意的 x1a，b，总存在 x2a，b，使得|f(x 2)|= （分数：1.00）_正确答案：(证 因为 f(
17、x)在a，b上连续，所以 f(x)l 在a，b上连续由闭区间上连续函数的最值定理可得：|f(x)|在a，b上取得最小值 m不妨假设 x0a，b，使得|f(x 0)|=m0由题设存在 x0a，b，使得 由于 m 是|f(x)|在a，b上取得的最小值，所以 )解析：50. （分数：1.00）_正确答案：(当 x0 时，sin 2xx 2，esin x-1sinxx， ，于是)解析：51. （分数：1.00）_正确答案：(这是“-”型未定式的极限，含有分母，所以应先通分)解析：52.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_正确答案：(1) (2) )解析：53. （分数：1.00）_正确答案：( )解析：54. （分数：1.00）_正确答案：( )解析：解析 若 limf(x)g(x)是“1 ”型未定式，则通常化归limf(x)g(x)=elimg(x)lnf(x)=elimg(x)f(x)-1来计算55. （分数：1.00）_正确答案：()解析：56. （分数：1.00）_正确答案：(因为 )解析：解析 下面写法是错误的：
