1、考研数学一（函数、极限、连续）-试卷 3及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：17，分数：34.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.D.3.下列各题计算过程中正确无误的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.下列各式中正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在(一，+)内有定义， （分数：2.00）A.x=0必是 g(x)的第一类间断点B.x=0必是 g(x)的第二类间断点C.x=0必是 g(x)的连续点D.g(x)在点
2、x=0处的连续性与 a的取值有关6.设 x0 时 ax 2 +bx+ccosx是比 x 2 高阶无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设数列 x n 与 y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必无界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 8.设 x0 时，(1+sinx) x 一 1是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比( （分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(
3、x)有间断点，则( )（分数：2.00）A.(x)必有间断点B.(x) 2 必有间断点C.f(x)必有间断点D.必有间断点10.极限 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等于11.设 xa 时，f(x)与 g(x)分别是 x一 a的 n阶与 m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是 x一 a的 n+m阶无穷小若 nm，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.012.曲线 y= （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有垂直渐近线D.既有水平渐近线也有垂直渐近线13.设函数 f(x)在 x=a的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，
4、则存在 0，当 x(a，a+)时，必有( )（分数：2.00）A.(x一 a)f(x)一 f(a)0B.(x一 a)f(x)一 f(a)0C.0，(xa)D.0，(xa)14.以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是( ) （分数：2.00）A.0B.1C.2D.315.当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小( )（分数：2.00）A.x 2 B.1一 cosxC.一 1D.x一 tanx16.f(x)=xsinx e cosx (xR)是( )（分数：2.00）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数17.设 f(x)= （分数：2.00
5、）A.f(X)在点 x=1连续，在点 x=一 1间断B.f(x)在点 x=1间断，在点 x=一 1连续C.f(x)在点 x=1，x=一 1都连续D.f(x)在点 x=1，x=一 1都间断二、填空题(总题数：10，分数：20.00)18.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 x n = （分数：2.00）填空项 1:_21.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_23.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_24.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_25.设 （分数：2.00）填空项 1:
6、_26.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_27.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_29.求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数（分数：2.00）_30.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_31.求 （分数：2.00）_32.已知两曲线 y=f(x)与 y= 在点(0，0)处的切线相同求此切线的方程，并求极限 （分数：2.00）_33.设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=
7、1，2，) （分数：2.00）_34.求极限 （分数：2.00）_35.求极限 （分数：2.00）_36.求极限 （分数：2.00）_37.证明：(1)对任意正整数 n，都有 成立； (2)设 a n =1+ （分数：2.00）_考研数学一（函数、极限、连续）-试卷 3答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：17，分数：34.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1 C.D.解析：解析：由题设3.下列各题计算过程中正确无误的是( ) （分数：2.00）A.B.C
8、.D. 解析：解析：A 项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则 B 项错误， 是定式，不能用洛必达法则 C 项错误，用洛必达法则求4.下列各式中正确的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由重要极限结论 =e，可立即排除 B、D 对于 A、C 选项，只要验算其中之一即可 对于 C选项，因5.设 f(x)在(一，+)内有定义， （分数：2.00）A.x=0必是 g(x)的第一类间断点B.x=0必是 g(x)的第二类间断点C.x=0必是 g(x)的连续点D.g(x)在点 x=0处的连续性与 a的取值有关 解析：解析：因为 又 g(0)=0，所以当 a=0时，有 =g(0
9、) 也就是说，此时 g(x)在点 x=0处连续，当 a0 时，6.设 x0 时 ax 2 +bx+ccosx是比 x 2 高阶无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意得 (ax 2 +bx+ccosx)=0，得 c=1， 又因为 7.设数列 x n 与 y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必无界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 解析：解析：取 x n =n，y n =0，显然满足，由此可排除 A、B若取 x n =0，y n =n，也满足，又排除C，
10、故选 D8.设 x0 时，(1+sinx) x 一 1是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比( （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：当 x0 时， (1+sinx) x 一 1ln(1+sinx) x 一 1+1=xln(1+sinx)xsinxx 2 ， ( 9.设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（分数：2.00）A.(x)必有间断点B.(x) 2 必有间断点C.f(x)必有间断点D.必有间断点 解析：解析：取 f(x)=1，x(一，+)，(x)= 10.极限 （分数：2.00）A
11、.不存在 B.等于 1C.等于 2D.等于解析：解析：由于11.设 xa 时，f(x)与 g(x)分别是 x一 a的 n阶与 m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是 x一 a的 n+m阶无穷小若 nm，则 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.0解析：解析：此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义： 关于： 故 f(x)g(x)是(x 一 a)的n+m阶无穷小； 关于： 若 nm， 故 f(x)g(x)是(x 一 a)的 nm阶无穷小； 关于： 例如，x0 时，sinx 与一 x均是 x的一阶无穷小，但12.曲线 y= （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐
12、近线C.仅有垂直渐近线D.既有水平渐近线也有垂直渐近线 解析：解析：显然 x=0是函数 y= 的间断点 因为 =，故 x=0是该函数的无穷型间断点，即x=0是该曲线的垂直渐近线. 又因13.设函数 f(x)在 x=a的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a，a+)时，必有( )（分数：2.00）A.(x一 a)f(x)一 f(a)0B.(x一 a)f(x)一 f(a)0C.0，(xa) D.0，(xa)解析：解析：选项 A、B 显然不正确 由 f(a)是 f(x)的极大值，即 f(a)一 f(x)0，可见14.以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个
13、数是( ) （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：逐一进行分析，证明三项均成立 关于：15.当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小( )（分数：2.00）A.x 2 B.1一 cosxC.一 1D.x一 tanx 解析：解析：利用等价无穷小代换 由于 x0 时，1cosx16.f(x)=xsinx e cosx (xR)是( )（分数：2.00）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数 解析：解析：因 f(一 x)=(一 x)sin(一 x)e cos(x) =xsinxe cosx =f(x)， 故 f(x)为偶函数，应选 D17.设 f(x)
14、= （分数：2.00）A.f(X)在点 x=1连续，在点 x=一 1间断B.f(x)在点 x=1间断，在点 x=一 1连续 C.f(x)在点 x=1，x=一 1都连续D.f(x)在点 x=1，x=一 1都间断解析：解析：由函数连续的定义可知，二、填空题(总题数：10，分数：20.00)18.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 x0 时，19.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为20.设 x n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题干可知，将 x n 化简
15、得 21.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6）解析：解析：化为指数函数求极限，则有22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将分子化简后，应用等价无穷小因子代换易知24.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：应用等价无穷小因子代换 因为25.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：因为 26.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正
16、确答案：正确答案：2）解析：解析：27.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：29.求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r“()=asin,ds= ，利用对称性可知，所求的心形线的全长为)解析：30.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 =A(A为常数)，即 f(0)=0，f“(0)=A，并且 (0)
17、=0 )解析：31.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件有 )解析：32.已知两曲线 y=f(x)与 y= 在点(0，0)处的切线相同求此切线的方程，并求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件得 f(0)=0，f(0)= =1， 故所求切线方程为 y=x 由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得 )解析：33.设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=1，2，) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 0x 1 ，则 0x 2 =sinx 1 1 可推得 0x n+1 =sinx n 1，n=1，2，则数列x n 有
18、界 于是 1(因当 x0 时，sinxx)，则有 x n+1 x n ，可见数列x n 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在 )解析：34.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.证明：(1)对任意正整数 n，都有 成立； (2)设 a n =1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 先证明 ln(1+x)x，x0 令 f(x)=x一 ln(1+x)由于 f“(x)=1 一 0，x0， 可知 f(x)在0，+上单调递增又由于 f(0)=0，因此当 x0 时，f(x)f(0)=0也即 ln(1+x)x，x0 可知 g(x)在0，+上单调递增又因 g(0)=0，因此当 x0 时，g(x)g(0)=0即 )解析：
