1、考研数学一（函数、极限、连续）-试卷 1及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以下 3个命题， 若数列u n 收敛于 A，则其任意子数列u ni 必定收敛于 A； 若单调数列x n 的某一子数列x ni 收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n 与x 2n+1 都收敛于 A，则数列x n 必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇
2、函数的是( )（分数：2.00）A.f(x)B.f(f(x)C.(f(x)D.(x)4.设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sinx)，则在区间 （分数：2.00）A.f(x)是增函数，(x)是减函数B.f(x)，(x)都是减函数C.f(x)是减函数，(x)是增函数D.f(x)，(x)都是增函数5.设 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一 v(x)，并设 （分数：2.00）A.若 不存在，则B.若 不存在，则C.若D.若 存在，则8.两个无穷小比较的结果是 ( )（分数：2.00）A
3、.同阶B.高阶C.低阶D.不确定9.函数 f(x)=xsinx ( )（分数：2.00）A.在(一，+)内无界B.在(一，+)内有界C.当 x时为无穷大D.当 x时极限存在10.极限 （分数：2.00）A.1B.1C.0D.与 无关11.设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.设当 x+x 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小B.设当 xx 0 时，g(c)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x 0 的某邻域 g(
4、x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 f(x)是奇函数，且对一切 x有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 x(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.对充分大的一切 x，以下 5个函数：100 x ，log 10 x 100 ，e 10x ， （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.极限 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)17.解答题解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.已知 （分数：2.00）_20.确定 a，b，使得 x一(abcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_23.设 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28.设 f(x)连续，f(0)0，f(0)0，F(x) （分数：2.00）_29.设 f(x)在1，)内可导，f“(x)0 且 a
6、0，令 a n .证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_30.设 a0，x 1 0，且定义 x n1 (n1，2，)，证明： （分数：2.00）_31.设 a 1 1，当 n1 时，a n1 （分数：2.00）_32.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)0，f(1)1证明： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)12c； (2)存在拿0，2，使得 2f(0)f(1)3f(2)6f()（分数：2.00）_33.设 （分数：2.00）_34.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_35.设
7、f(x)在a，)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_36.f(x) （分数：2.00）_37.求 f(x) （分数：2.00）_考研数学一（函数、极限、连续）-试卷 1答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以下 3个命题， 若数列u n 收敛于 A，则其任意子数列u ni 必定收敛于 A； 若单调数列x n 的某一子数列x ni 收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n 与x 2n+1 都收敛于 A，则数列x n 必定收敛于 A
8、 正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列u n 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有u n 一 A可知当 n i N 时，恒有u ni 一 A因此数列u ni 也收敛于 A，可知命题正确对于命题，不妨设数列x n 为单调增加的，即 x 1 x 2 x n ，其中某一给定子数列x ni 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 n i N 时，恒有x ni A由于数列x n 为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在 n i nn i+1 ，有一 ni 一 Ax n一 Ax ni
9、+1一 A，从而 x n一 A 可知数列x n收敛于A因此命题正确 对于命题，因*，由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数N1，N 2： 当 2nN 1时，恒有 x 2n一 A； 当 2n+1N 2时，恒有 x 2n+1一 A 取N=maxN1，N 2，则当 nN 时，总有x n一 A因此*可知命题正确故答案选择 D3.设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是( )（分数：2.00）A.f(x)B.f(f(x)C.(f(x)D.(x) 解析：解析：令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有 g(一 x)=(一 x)=(一 (x)=一(x
10、)=一 g(x)4.设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sinx)，则在区间 （分数：2.00）A.f(x)是增函数，(x)是减函数B.f(x)，(x)都是减函数 C.f(x)是减函数，(x)是增函数D.f(x)，(x)都是增函数解析：解析：注意在 内，sinx 是增函数，cosx 是减函数任取 x 1 ，x 2 5.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：6.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：7.设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一 v(x)，并设 （分数：2.00）A.若 不存在，则B.若 不存在，则C.若 D.若 存在，则解析
11、：解析：令 ，当 x0 时可排除 A；令 当 x0 时可排除 B；令8.两个无穷小比较的结果是 ( )（分数：2.00）A.同阶B.高阶C.低阶D.不确定 解析：解析：如 当 x0 时，都是无穷小但9.函数 f(x)=xsinx ( )（分数：2.00）A.在(一，+)内无界 B.在(一，+)内有界C.当 x时为无穷大D.当 x时极限存在解析：解析：对于任意给定的正数 M，总存在着点 故 f(x)在(一，+)内无界C 错，对于任意给定的正数 M，无论 x取多么大的正数，总有 x n =2nx(只要 10.极限 （分数：2.00）A.1B.1 C.0D.与 无关解析：解析：令11.设当 xx 0
12、 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.设当 x+x 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小B.设当 xx 0 时，g(c)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大 解析：解析：设 当 x0 时为无界变量，不是无穷大，令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除A设 x0 时，令 f(x)=x 2 , 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设
13、f(x)是奇函数，且对一切 x有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 x(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：m）解析：解析：令 x=一 1，则 f(1)=f(-1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)一 f(-1)=2f(1)一2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 nk 时，有 f(k)=ka当 n=k+1时，f(k+1)=f(k 一 1)+f(2)=(k一 1)a+2a=(k+1)a，故对
14、一切正整数 n，有 f(n)=na，令 x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0.a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n有 f(n)=一 f(-n)=一(一 m)=na所以对一切整数 n，均有 f(n)=na13.对充分大的一切 x，以下 5个函数：100 x ，log 10 x 100 ，e 10x ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x充分大时，有重要关系：e x x ln x，其中 ，0，故本题填 14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：15.极限 （分数：2.00）填空项 1
15、:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.确定 a，b，使得 x一(abcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yx 一(abcosx)sinx， y1bsin 2 x一(abcosx)cosx， y“
16、bsin2x sin2x(abcosx)sinxasinx2bsin2x， y“acosx4bcos2x， 显然 y(0)0，y“(0)0， 所以令 y“(0)y“(0)0 得 故当 )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln(1x)(axbx 2 )x 一 o(x 2 )一(axbx 2 ) (1a)x 一(b )x 2 o(x 2 )， 由 得 x0 时， ， 于是 )解析：22.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 b一 1； 由 得 a ； 于是 c )解析：23.设 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_正确答案：
17、(正确答案： )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f(x)连续，f(0)0，f(0)0，F(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 f(x)在1，)内可导，f“(x)0 且 a0，令 a n .证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以 f(x)单调减少 又因为 a n1 一 a n f(n1)一
18、f(n1)一 f()0(n，n1)， 所以a n 单调减少 因为 a n f(k)f(x)dxf(n)，而 f(k)f(x)dx0(k1，2，n1) 且 a0，所以存在 X0，当xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，)，故 a n f(n)0，所以 存在 由 a n f(1) ， 而 f(k)一 0(k2，3，n)，所以 a n f(1)，从而 0 )解析：30.设 a0，x 1 0，且定义 x n1 (n1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 )解析：31.设 a 1 1，当 n1 时，a n1 （
19、分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)0，f(1)1证明： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)12c； (2)存在拿0，2，使得 2f(0)f(1)3f(2)6f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)f(x)一 12x，(0)一 1，(1)2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)0，于是 f(c)12c (2)因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m和最大值 M， 由 6m2f(0)f(1)3f(2)6M 得 由介值定理，存在 0，2，使得 )解析：33.设 （分
20、数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 1，因为 )解析：34.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加， 所以当xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x) ， 令 x ，由夹逼定理得 f(x 0 一 0)f(x 0 )；当 xx 0 时，有 故 令 x )解析：35.设 f(x)在a，)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k0，取 0 0，因为 k0，所
21、以存在 X 0 0， 当 xX 0 时，有f(x)一 k ，从而 f(x) )解析：36.f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xk(k0，一 1，一 2，)及 x1 为 f(x)的间断点 f(00) 因为f(00)f(00)，所以 x0 为跳跃间断点； 由 得 x2 为可去间断点； 当 xk(k一 1，一3，一 4，)时， 由 得 xk(k一 1，一 3，一 4，)为第二类间断点； 由 )解析：37.求 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x0，一 1，一 2，及 x1 当 x0 时，f(00) ， f(00) ，则 x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x一 1时， ，则 x一 1为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 xk(k一 2，一 3，)时， )解析：
