1、考研数学一（无穷级数）-试卷 2 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列各项中正确的是（分数：2.00）A.若 B.若C.若正项级数D.若级数 3.若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不能确定4.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关5.设有级数 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件6.已知 a n 0(n=1，2，)，且 (1)
2、 n1 a n 条件收敛，记 b n =2a 2n1 a 2n ，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛或发散取决于 a n 的具体形式7.下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若幂级数 a n x n 的收敛半径 R0，则 B.若 C.若 a n x n 的收敛域为R，R，则 D.若 a n x n 的收敛域为(R，R)即它的收敛域，则 8.对于任意 x 的值， （分数：2.00）A.0B.1C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_11.幂级数 （分数：2.00）填
3、空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.幂级数 x+ （分数：2.00）填空项 1:_14.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求级数 （分数：2.00）_18.将下列函数在指定点展成幂级数：()f(x)=arcsinx，在 x=0 处； ()f(x)=lnx，在 x=1 及 x=2 处；()f(x)= （分数：2.00）_19.将函数 f(x)=sin(x+a)展开成 x 的幂级数，并求收敛域（分数：2.00
4、）_20.将函数 f(x)= （分数：2.00）_21.已知 a n x n 半径 R=R 0 0，求证级数 （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.求 （分数：2.00）_24.设有级数 u n ， ()若 (u 2n1 +u 2n ) =(u 1 +u 2 )+(u 3 +u 4 )+收敛，求证： u n 收敛 ()设 u 2n1 = （分数：2.00）_25.设 (a n a n1 )收敛，又 b n 是收敛的正项级数，求证： （分数：2.00）_26.设 f(x)在2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= f(x+t)dt，证明级数 （分数：2.00）_27.
5、设有级数 U： v n ，求证： ()若 U，V 均绝对收敛，则 (u n +v n )绝对收敛； ()若 U 绝对收敛，V 条件收敛，则 （分数：2.00）_28.设 a n = （分数：2.00）_29.设有两条抛物线 y=nx 2 + ，记它们交点的横坐标的绝对值为 a n ()求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ； ()求级数 （分数：2.00）_30.设 f(x)是区间，上的偶函数，且满足 （分数：2.00）_31.设 f(x)= ()求 f(x)以 2 为周期的傅氏级数，并指出其和函数 S(x)；()求 （分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）-试卷 2 答案解析(总分
6、：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列各项中正确的是（分数：2.00）A.若 B.若C.若正项级数D.若级数 解析：解析：(A)正确 2u n v n 3.若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.收敛性不能确定解析：解析： a n t n ，t=x 一 1，在 t=2 处收敛 R2，x=2 时 t=1(R，R) a n t n 在 t=1 即 4.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛 C.发散D.敛散性与 a 有关解析：解析
7、： 发散 由莱布尼兹法则知，5.设有级数 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件 C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件解析：解析：由级数收敛性概念知 a n 收敛，即部分和数列S n 收敛由数列收敛性与有界性的关系知。S n 收敛 6.已知 a n 0(n=1，2，)，且 (1) n1 a n 条件收敛，记 b n =2a 2n1 a 2n ，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.收敛或发散取决于 a n 的具体形式解析：解析：由已知条件 (1) n1 a n =a 1 a 2 +a 3 a 4 +a 2n1 a 2n + = (a 2n1 a 2n )
8、(收敛级数的结合律) (*) 由 均发散(若其中之一收敛， 由(*) a n 收敛，得矛盾)因为 a 2n1 +(a 2n1 a 2n )， 而 7.下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若幂级数 a n x n 的收敛半径 R0，则 B.若 C.若 a n x n 的收敛域为R，R，则 D.若 a n x n 的收敛域为(R，R)即它的收敛域，则 解析：解析： 收敛半径，或 R=+，或 0R+，或 R=0，三种情形必有一种成立因而(B)不正确，但 a n x n = ，因而(A)也不正确 (C)也是不正确的如 的收敛域为一1，1) 因此只有(D)正确事实上，若取 (一 1) n x 2n
9、的收敛区间即收敛域为(一 1，1)，而 8.对于任意 x 的值， （分数：2.00）A.0 B.1C.D.解析：解析：考虑级数 x n 的敛散性由 可知幂级数 x n 的收敛半径 R=+，因此级数对任意的 x 值均收敛由级数收敛的必要条件得知 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 S= 收敛，那么由级数的基本性质有 =S+(S 一 u 1 )+(Su 1 u 2 )=3S一 2u 1 u 2 由于 u 1 =S 1 =1，u 2 =S 2 一 u 1 = ，则 10.级数 （分数：2.00）填空项 1
10、:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：考察部分和11.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 2，2)）解析：解析：先求收敛半径 R：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.幂级数 x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，+)）解析：解析：确定 的阶由于 而15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：考察三、解答题(总题数：16，分数：32.00)16.解答题解答
11、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑幂级数 S(x)= x 2n1 ，易求它的收敛域为(，+) 现逐项求导得 逐项求导后虽未得到 S(x)的和函数，但得到 S(x)满足的一阶方程，又 S(0)=0，解初值问题 令 x=1 得原级数的和为 )解析：18.将下列函数在指定点展成幂级数：()f(x)=arcsinx，在 x=0 处； ()f(x)=lnx，在 x=1 及 x=2 处；()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f(x)= 又 这里 f(x)=arcsinx 在 x=1(一 1)处右
12、(左)连续右端级数在 x=1 均收敛，故展式在 x=1 也成立 )解析：19.将函数 f(x)=sin(x+a)展开成 x 的幂级数，并求收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)存在任意阶导数，且 f (n) (x)=sin(x+a+ ，从而有 由于R n (x) 0(由比值判别法可得 收敛，再由级数收敛的必要条件可得 =0) 从而有 )解析：解析：将函数 f(x)展开成 x 的幂级数，通常有两种基本方法：第一种是由泰勒公式直接展开，如本题，解题时要说明 20.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)视为(x 一 1) b n (x 一 1)
13、n 即可因为 利用公式(1117)，并以 代替其中的 x，则有 由于 f(x)的幂级数 )解析：解析：“在点 x 0 =1 处展成幂级数”即展成 x 一 1 的幂级数21.已知 a n x n 半径 R=R 0 0，求证级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 与 的关系并利用比较判别法 注意， 由M(n=0，1，2，)，M0 为某常数，于是 由幂级数在收敛区间内绝对收敛 收敛 由比较原理 )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()求收敛域：原幂级数记为 a n x n ，则由 收敛域为(一，+) ()求和函数 分解法 为了用 e x = ，对原级数进行分解，
14、记原级数的和为 S(x)，则 因此 S(x)=xe x e x +1+ (1xe x ) =e x (x+1)+ )解析：23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先分解 S= =S 1 2S 2 由 ln(1+x)的展式知，S 1 =ln(1+1)=ln2 为求 S 2 ，引进幂级数 S 2 (x)= 因此， S=S 1 2S 2 =ln22S 2 (1)=ln22+ )解析：24.设有级数 u n ， ()若 (u 2n1 +u 2n ) =(u 1 +u 2 )+(u 3 +u 4 )+收敛，求证： u n 收敛 ()设 u 2n1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
15、：()考察 该级数的部分和 S 2n = (S 2n 一 u 2n )=S 一 0=S， 因此 u n 收敛和为 S ()显然， u n =0 考察 (一 1) n1 u n =u 1 一 u 2 +u 3 一 u 4 +， 两两添加括号后的级数 ，其中 )解析：25.设 (a n a n1 )收敛，又 b n 是收敛的正项级数，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数 (a n 一 a n1 )收敛，即其部分和 S m = (a n 一 a n1 )=(a 1 a 0 )+(a 2 一 a 1 )+(a m a m1 )=a m a 0 为收敛数列，从而a n 也是收敛数列我们
16、知道数列收敛则一定有界，设a n M，n=1，2，则a n b n M b n =Mb n 再由于 b n 是收敛的正项级数，这样，利用比较判别法，即知 a n b n 收敛，即 )解析：26.设 f(x)在2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= f(x+t)dt，证明级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)在一 2，2上有连续的导数，则f(x)在一 2，2上连续，设 M为f(x)在一 2，2上的最大值，则 x一 1，1时， 由此可得 F(x)M (2xu)du=2Mx 2 ，x一 1，1 因此 收敛，即 )解析：27.设有级数 U： v n ，求证： ()若
17、 U，V 均绝对收敛，则 (u n +v n )绝对收敛； ()若 U 绝对收敛，V 条件收敛，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 u n +v n u n +v n ， 又 (u n +v n )绝对收敛 ()由假设条件知， u n +v n 发散 用反证法若 u n +v n 收敛 v n = u n +v n u n u n +v n +u n ， 且 v n 收敛，与已知条件矛盾 因此 )解析：28.设 a n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 a n )解析：29.设有两条抛物线 y=nx 2 + ，记它们交点的横坐标的绝对值为 a n ()求这两
18、条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ； ()求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 y=nx 2 + ，又因为两条抛物线所围图形关于 y 轴对称，所以 ()利用()的结果 ，从而 )解析：30.设 f(x)是区间，上的偶函数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)为偶函数，所以 对于右端前一个积分，令 x= +t，则 根据假设 f )解析：31.设 f(x)= ()求 f(x)以 2 为周期的傅氏级数，并指出其和函数 S(x)；()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 其中 因此 该傅氏级数的和函数 其中 S(0)= f(+0)+f( 一 0) ()由 S(0)=0 )解析：
