1、考研数学三（无穷级数）-试卷 1 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 a 有关3.设常数 k0，则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性与 k 有关4.设 收敛，则下列级数必收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设级数 都发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列叙述正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设幂
2、级数 的收敛半径分别为 R 1 ，R 2 ，且 R 1 R 2 ，设 （分数：2.00）A.R 0 =R 2B.R 0 =R 1C.R 0 R 2D.R 0 R 2二、填空题(总题数：2，分数：4.00)8.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.判断级数 （分数：2.00）_12.判断级数 （分数：2.00）_13.判断级数 （分数：2.00）_14.判断级数 （分数：2.00）_15.设级数 收敛，又 a n b n c n (n=1，
3、2，)证明：级数 （分数：2.00）_设 a 1 =2，a n+1 = （分数：4.00）(1).存在； （分数：2.00）_(2).级数 （分数：2.00）_16.设 u n 0(n=1，2，)，S n =u 1 +u 2 +u n 证明： （分数：2.00）_17.求幂级数 （分数：2.00）_18.求幂级数 （分数：2.00）_19.求幂级数 （分数：2.00）_20.求幂级数 （分数：2.00）_21.求级数 （分数：2.00）_22.求级数 y=x+ （分数：2.00）_23.将 f(x)=1nx 展开成 x 一 2 的幂级数（分数：2.00）_考研数学三（无穷级数）-试卷 1 答案
4、解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 a 有关解析：解析：因为 收敛，所以3.设常数 k0，则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛 D.敛散性与 k 有关解析：解析：因为 绝对收敛， 条件收敛，所以4.设 收敛，则下列级数必收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： (u n +u n+1 )收敛，因为 S n =2(u 1 +u 2 +u
5、n )一 u 1 +u n+1 ，而级数 u n 收敛，所以 (u 1 +u 2 +u n )存在且 存在，由级数收敛的定义， 5.设级数 都发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选(D) 因为 (|u n |+| n |)为正项级数，若 (|u n |+| n |)收敛，因为0|u n |u n |+| n |，0| n |u n |+| n |，根据正项级数的比较审敛法知， | n |都收敛，即 n 都绝对收敛， 6.下列叙述正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：(A)不对，如 u n =(一 3) n 一 1 ，显然 发散；(B)不对，
6、如 u n = (一 1) n u n 发散；(C)正确，因为 =0，存在 N0，当 nN 时，0u n 1，从而 0u n u n 1，由比较审敛法得 收敛；(D)不对，如 u n = 7.设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 ，R 2 ，且 R 1 R 2 ，设 （分数：2.00）A.R 0 =R 2B.R 0 =R 1 C.R 0 R 2D.R 0 R 2解析：二、填空题(总题数：2，分数：4.00)8.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 得 R=三、解
7、答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 根据比值审敛法，级数 )解析：13.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：14.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 收敛，所以级数 )解析：15.设级数 收敛，又 a n b n c n (n=1，2，)证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 a n b n c n ，得 0b n 一 a n c
8、n 一 a n ，因为 (c n 一 a n )收敛，根据正项级数的比较审敛法得 (b n 一 a n )收敛，又 b n =(b n 一 a n )+a n ，则 )解析：设 a 1 =2，a n+1 = （分数：4.00）(1).存在； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a n+1 = 1，又 a n+1 一 a n = 0，所以a n n=1 单调减少，而 a n 0，即a n n=1 是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则， )解析：(2).级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)得 0 a n 一 a n+1 ， 对级数 (a n 一 a n+1 )，
9、S n =(a 1 一 a 2 )+(a 2 一 a 3 )+(a n 一 a n+1 )=2 一 a n+1 ， 因为 存在，所以级数 (a n 一 a n+1 )收敛，根据比较审敛法，级数 )解析：16.设 u n 0(n=1，2，)，S n =u 1 +u 2 +u n 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又S n “ ) n=1 单调增加，所以 存在，于是 )解析：17.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =1 得收敛半径为 R=1，当 x=一 1 时， 发散； 当 x=1 时， 收敛，故幂级数 )解析：18.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：
10、(正确答案：由 =3 得收敛半径为 发散，所以级数的收敛域为 )解析：19.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：幂级数 nx n+1 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1) )解析：20.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x+1=t， =1 得收敛半径为 R=1，当 t=1 时，因为 0，所以收敛区间为一 1t1，从而一 2x0 )解析：21.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 2 +x+1=t，则级数化为 的收敛半径为 R=1，注意到 t=x 2 +x+1= ，又 t=1 时，级数 由 x 2 +x+11 得一 1z0，故级数 的收敛域为一 1，0 令S(x)= ，x=一 1，0 时，S(一 1)=S(0)=1，x(一 1，0)时 )解析：22.求级数 y=x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.将 f(x)=1nx 展开成 x 一 2 的幂级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
